Đề kiểm tra Phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit (có lời giải) - Đề 1

Ta có ${\log _3}\left( {{{\log }_{\frac{1}{2}}}x} \right) < 1$ $\Leftrightarrow 0 < {\log _{\frac{1}{2}}}x < {3^1}$ $\Leftrightarrow {\left( {\frac{1}{2}} \right)^0} > x > {\left( {\frac{1}{2}} \right)^3}$ $\Leftrightarrow 1 > x > \frac{1}{8}$.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $S = \left( {\frac{1}{8};1} \right)$.

Điều kiện $x > 0$

Phương trình $\Leftrightarrow {\log _3}\left( {6 + x} \right) + {\log _3}x = 3 \Leftrightarrow {\log _3}x\left( {6 + x} \right) = 3 \Leftrightarrow {x^2} + 6x - 27 = 0$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3\\x = - 9(L)\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 3$. Vậy phương trình có $1$ nghiệm.

Vậy số nghiệm của phương trình là $1$.

Ta có:${\left( {\frac{2}{3}} \right)^{{x^2} - x + 1}} > {\left( {\frac{2}{3}} \right)^{2x - 1}} \Leftrightarrow {x^2} - x + 1 < 2x - 1 \Leftrightarrow {x^2} - 3x + 2 < 0 \Leftrightarrow 1 < x < 2 \Rightarrow S = \left( {1\,;\,2} \right)$.

Vậy $a = 1;b = 2 \Rightarrow b - a = 1$.

Ta có: ${\log _2}\left( {3x - 2} \right) > {\log _2}\left( {6 - 5x} \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3x - 2 > 6 - 5x\\6 - 5x > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 1\\x < \frac{6}{5}\end{array} \right. \Leftrightarrow 1 < x < \frac{6}{5}.$

Vậy $S = a + b = 1 + \frac{6}{5} = \frac{{11}}{5}.$

Ta có: ${2^x} < 3 - \frac{2}{{{2^x}}} \Leftrightarrow {\left( {{2^x}} \right)^2} - 3.\left( {{2^x}} \right) + 2 < 0 \Leftrightarrow 1 < {2^x} < 2 \Leftrightarrow 0 < x < 1$.

Tập nghiệm của bất phương trình là: $S = \left( {0\,;\,1} \right)$.

Suy ra $a = 0$ và $b = 1$ nên $5a + 3b = 3$.