Đề kiểm tra Phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit (có lời giải) - Đề 1

Ta có ${\log _3}\left( {{{\log }_{\frac{1}{2}}}x} \right) < 1$ $\Leftrightarrow 0 < {\log _{\frac{1}{2}}}x < {3^1}$ $\Leftrightarrow {\left( {\frac{1}{2}} \right)^0} > x > {\left( {\frac{1}{2}} \right)^3}$ $\Leftrightarrow 1 > x > \frac{1}{8}$.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $S = \left( {\frac{1}{8};1} \right)$.

Điều kiện $x > 0$

Phương trình $\Leftrightarrow {\log _3}\left( {6 + x} \right) + {\log _3}x = 3 \Leftrightarrow {\log _3}x\left( {6 + x} \right) = 3 \Leftrightarrow {x^2} + 6x - 27 = 0$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3\\x = - 9(L)\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 3$. Vậy phương trình có $1$ nghiệm.

Vậy số nghiệm của phương trình là $1$.

Ta có:${\left( {\frac{2}{3}} \right)^{{x^2} - x + 1}} > {\left( {\frac{2}{3}} \right)^{2x - 1}} \Leftrightarrow {x^2} - x + 1 < 2x - 1 \Leftrightarrow {x^2} - 3x + 2 < 0 \Leftrightarrow 1 < x < 2 \Rightarrow S = \left( {1\,;\,2} \right)$.

Vậy $a = 1;b = 2 \Rightarrow b - a = 1$.

Ta có: ${\log _2}\left( {3x - 2} \right) > {\log _2}\left( {6 - 5x} \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3x - 2 > 6 - 5x\\6 - 5x > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 1\\x < \frac{6}{5}\end{array} \right. \Leftrightarrow 1 < x < \frac{6}{5}.$

Vậy $S = a + b = 1 + \frac{6}{5} = \frac{{11}}{5}.$

Ta có: ${2^x} < 3 - \frac{2}{{{2^x}}} \Leftrightarrow {\left( {{2^x}} \right)^2} - 3.\left( {{2^x}} \right) + 2 < 0 \Leftrightarrow 1 < {2^x} < 2 \Leftrightarrow 0 < x < 1$.

Tập nghiệm của bất phương trình là: $S = \left( {0\,;\,1} \right)$.

Suy ra $a = 0$ và $b = 1$ nên $5a + 3b = 3$.

Ta có ${2^{2x}} < {2^{x + 6}} \Leftrightarrow 2x < x + 6 \Leftrightarrow x < 6$.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $S = \left( { - \infty ;6} \right)$.

Điều kiện $\left\{ \begin{array}{l}x > 0\\x - 3 > 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow x > 3$.

Ta có ${\log _2}x + {\log _2}\left( {x - 3} \right) = 2$$\Leftrightarrow {\log _2}\left( {{x^2} - 3x} \right) = 2$$\Leftrightarrow {x^2} - 3x - 4 = 0$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1{\rm{ }}\left( {loai} \right)\\x = 4{\rm{ }}\left( {t/m} \right)\end{array} \right.$.

Vậy phương trình có một nghiệm $x = 4$.

Đặt $t = {2^x}$ với $t > 0$

Khi đó phương trình trở thành ${t^2} - 2mt + 2m - 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1\\t = 2m - 1\end{array} \right.$

Với $t = 1$ $\Rightarrow {2^x} = 1 \Leftrightarrow x = 0$

Với $t = 2m - 1 \Rightarrow {2^x} = 2m - 1$

ycbt$\Leftrightarrow {2^x} = 2m - 1 > 1 \Leftrightarrow m > 1$

kết hợp với điều kiện suy ra $1<m<5\overset{m\in ℤ}{\rightarrow }m\in \{2;3;4\}$

Vì chu kì bán rã của chất phóng xạ radi ${}^{226}Ra$ là 1602 năm nên ta có:

$\frac{A}{2} = A.{e^{ - 1602.r}} \Leftrightarrow \frac{1}{2} = {e^{ - 1602.r}} \Leftrightarrow \ln 2 = 1602.r \Leftrightarrow$$r = \frac{{\ln 2}}{{1602}}$.

Vậy 5 gam ${}^{226}Ra$ sau 4000 năm phân hủy sẽ còn lại số gam là:

$S = A.{e^{ - r.t}} = 5.{e^{ - 4000.\frac{{\ln 2}}{{1602}}}} \approx 0{,}886$ (gam).

Sau $4$ phút ta có: $S\left( 4 \right) = S\left( 0 \right){.5^4}$$\Rightarrow S\left( 0 \right) = \frac{{S\left( 4 \right)}}{{{5^4}}} = 1000.$

Tại thời điểm $t$ số lượng vi khuẩn $C$ là $390625000$ con nên ta có:

$S\left( t \right) = S\left( 0 \right){.5^t}$$\Leftrightarrow {5^t} = \frac{{S\left( t \right)}}{{S\left( 0 \right)}} \Leftrightarrow {5^t} = \frac{{390625000}}{{1000}}$$\Leftrightarrow {5^t} = 390625 \Leftrightarrow t = {\log _5}390625 = 8$.

a) Sai

b) Đúng

c) Đúng

d) Đúng

Nếu $0 < a < 1,b > 0$ thì tập nghiệm của bất phương trình $\left( 1 \right)$ là $S = \left( { - \infty ;lo{g_b}a} \right)$.

a) Đúng

b) Sai

c) Sai

d) Sai

Ta có ${3^x} > 0$, $\forall x \in \mathbb{R}$ nên ${3^x} = m + 1$ có nghiệm $\Leftrightarrow m + 1 > 0 \Leftrightarrow m > - 1$.

Từ đó ta loại được đáp án b và d

Xét đáp án a, phương trình có nghiệm dương thì ${3^x} > {3^0} = 1$ nên $m + 1 > 1 \Leftrightarrow m > 0$.

Từ đó đáp án a đúng.

Xét đáp án c, ta thấy sai vì ở đây thiếu điều kiện $m > - 1$.

a) Sai

b) Sai

c) Sai

d) Đúng

Điều kiện $x > 0$.

Chia cả hai vế của phương trình cho ${3^{2\log x}}$ ta được $4{\left( {\frac{3}{2}} \right)^{2\log x}} - {\left( {\frac{3}{2}} \right)^{\log x}} - 18 = 0$.

Đặt $t = {\left( {\frac{3}{2}} \right)^{\log x}}$, $t > 0$.

Ta có $4{t^2} - t - 18 = 0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = \frac{9}{4}\\t = - 2\left( L \right)\end{array} \right.$.

Với $t = \frac{9}{4}$ $\Rightarrow {\left( {\frac{3}{2}} \right)^{\log x}} = \frac{9}{4}$ $\Leftrightarrow \log x = 2$ $\Leftrightarrow x = 100$.

Vậy $a = 100 = {10^2}$.

a) Sai

b) Sai

c) Đúng

d) Sai

$${2^{\left| {\frac{{28}}{3}x + 4} \right|}} = {16^{{x^2} - 1}} \Leftrightarrow {2^{\left| {\frac{{28}}{3}x + 4} \right|}} = {2^{4{x^2} - 4}} \Leftrightarrow \left| {\frac{{28}}{3}x + 4} \right| = 4{x^2} - 4\,\,\left( 1 \right).$$

TH1: Nếu $x > - \frac{3}{7}.$ PT $\left( 1 \right):$ $\frac{{28}}{3}x + 4 = 4{x^2} - 4 \Leftrightarrow 4{x^2} - \frac{{28}}{3}x - 8 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3\,\,\,\,\left( {TM} \right)\\x = - \frac{2}{3}\,\,\,\left( L \right)\end{array} \right.$

TH1: Nếu $x \le - \frac{3}{7}.$ PT $\left( 1 \right):$ $- \frac{{28}}{3}x - 4 = 4{x^2} - 4 \Leftrightarrow 4{x^2} + \frac{{28}}{3}x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\,\,\,\,\left( L \right)\\x = - \frac{7}{3}\,\,\,\left( {TM} \right)\end{array} \right.$

Phương trình có tập nghiệm $S = \left\{ { - \frac{7}{3};\,3} \right\}$.

$\sqrt 2 \cdot {2^{3x + 1}} = 8 \Leftrightarrow {2^{3x + 1}} = 4\sqrt 2 \Leftrightarrow 3x + 1 = {\log _2}4\sqrt 2 = \frac{5}{2} \Leftrightarrow x = \frac{1}{2}$.

Vậy phương trình có nghiệm là $x = \frac{1}{2}$.

${3^{{x^2} - 4x + 5}} > \frac{1}{9} \Leftrightarrow {3^{{x^2} - 4x + 5}} > {3^{ - 2}} \Leftrightarrow {x^2} - 4x + 5 > - 2$ (do $3 > 1$). $\Leftrightarrow {x^2} - 4x + 7 > 0 \Leftrightarrow x \in \mathbb{R}$.

Vậy nghiệm của bất phương trình là $x \in \mathbb{R}$.

Điều kiện: $x > 0.(*)$

$\begin{array}{llllllllllllllllllll}{{{\log }_2}3 + {{\log }_5}x \ge 1 + {{\log }_2}3 \cdot {{\log }_5}x}&{ \Leftrightarrow {{\log }_5}x \cdot \left( {1 - {{\log }_2}3} \right) - \left( {1 - {{\log }_2}3} \right) \ge 0}\\{}&{ \Leftrightarrow \left( {1 - {{\log }_2}3} \right)\left( {{{\log }_5}x - 1} \right) \ge 0.}\end{array}$

Khi đó, do $1 - {\log _2}3 < 0$ và cơ số $5 > 1$ nên bất phương trình trở thành:

${\log _5}x \le 1 \Rightarrow x \le 5.{\rm{ }}$

Kết hợp với điều kiện $(*)$, ta được nghiệm của bất phương trình là $0 < x \le 5$.

Xét bất phương trình:

$\begin{array}{llllllllllllllllllll}{99200000 \cdot {e^{0{,}93\% .t}} > 120000000 \Leftrightarrow {e^{0{,}93\% .t}} > \frac{{75}}{{62}}}&{ \Leftrightarrow 0{,}93\% .t > \ln \left( {\frac{{75}}{{62}}} \right)}\\{}&{ \Leftrightarrow t > 20{,}468.}\end{array}$

Vậy từ năm 2043 trở đi thì dân số nước ta vượt quá 120 triệu người.

Ta có: $A = 500$ triệu đồng, lãi suất $r/$ năm, $n = 2$ năm, $T = 599823000$ đồng.

Theo công thức lãi kép, ta có:

$\begin{array}{llllllllllllllllllll}{T = A{{(1 + r)}^n}}&{ \Leftrightarrow 599823000 = 500000000{{(1 + r)}^2}}\\{}&{ \Leftrightarrow r = \sqrt {\frac{{599823}}{{500000}}} - 1 \approx 0{,}095.}\end{array}$

Vậy lãi suất mà bác Thảo vay ngân hàng là xấp xỉ $9{,}5\%$.

Theo giả thiết, ta có phương trình:

$\frac{{80}}{{100}}{Q_o} = {Q_o} \cdot \left( {1 - {e^{ - \frac{{3t}}{2}}}} \right) \Rightarrow {e^{ - \frac{{3t}}{2}}} = \frac{1}{5} \Rightarrow - \frac{{3t}}{2} = - \ln 5 \Rightarrow t \approx 1{,}07{\rm{ }}$giờ

Vậy thời gian nạp pin của điện thoại là khoảng 1,07 giờ.