Ngân hàng đề / … / Lớp 11 / Toán / Toán 11 – Chân trời sáng tạo / Chương VII. ĐẠO HÀM. / Bài tập cuối chương 7
Nội dung đề
Phần I. Trắc nghiệm nhiều lựa chọn
Xét ba phát biểu:
( 1 ) (1) ( 1 ) f ( x ) f(x) f ( x ) x = x 0 x = {x_0} x = x 0 f ( x ) f(x) f ( x )
( 2 ) (2) ( 2 ) f ( x ) f(x) f ( x ) x = x 0 x = {x_0} x = x 0 f ( x ) f(x) f ( x )
( 3 ) (3) ( 3 ) f ( x ) f(x) f ( x ) x = x 0 x = {x_0} x = x 0 f ( x ) f(x) f ( x )
Tìm số phát biểu đúng:
A
Đáp án A: 0 0 0
B
Đáp án B: 1 1 1
C
Đáp án C: 2 2 2
D
Đáp án D: 3 3 3
Lời giải do TopStudy biên soạn
Đáp án: C
Phát biểu
( 1 ) (1) ( 1 ) và
( 3 ) (3) ( 3 ) đúng. Chọn
C C C .
Cho hàm số
y = x − 1 y = \sqrt {x - 1} y = x − 1 . Tính đạo hàm của hàm số tại điểm
x 0 = 2 {x_0} = 2 x 0 = 2
A
Đáp án A: 1 4 \frac{1}{4} 4 1
B
Đáp án B: 2 2 2
C
Đáp án C: 1 2 \frac{1}{2} 2 1
D
Đáp án D: 1 3 \frac{1}{3} 3 1
Lời giải do TopStudy biên soạn
Đáp án: C
Chọn C
Xét lim x → 2 f ( x ) − f ( 2 ) x − 2 = lim x → 2 x − 1 − 1 x − 2 \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 2 \right)}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\sqrt {x - 1} - 1}}{{x - 2}} x → 2 lim x − 2 f ( x ) − f ( 2 ) = x → 2 lim x − 2 x − 1 − 1 = lim x → 2 x − 2 ( x − 2 ) ( x − 1 + 1 ) = lim x → 2 1 x − 1 + 1 = 1 2 = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{x - 2}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {\sqrt {x - 1} + 1} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{1}{{\sqrt {x - 1} + 1}} = \frac{1}{2} = x → 2 lim ( x − 2 ) ( x − 1 + 1 ) x − 2 = x → 2 lim x − 1 + 1 1 = 2 1
Tiếp tuyến của đồ thị hàm số
y = x 3 + 2 y = {x^3} + 2 y = x 3 + 2 tại điểm
x 0 = 1 {x_0} = 1 x 0 = 1 có hệ số góc là:
A
Đáp án A: k = − 3 k = - 3 k = − 3
B
Đáp án B: k = 3 k = 3 k = 3
C
Đáp án C: k = 2 k = 2 k = 2
D
Đáp án D: k = − 2 k = - 2 k = − 2
Lời giải do TopStudy biên soạn
Đáp án: B
Chọn B
Ta có hệ số góc k = f ′ ( x 0 ) = f ′ ( 1 ) k = f'\left( {{x_0}} \right) = f'\left( 1 \right) k = f ′ ( x 0 ) = f ′ ( 1 )
f ′ ( 1 ) = lim x → 1 f ( x ) − f ( 1 ) x − 1 = lim x → 1 x 3 + 2 − 3 x − 1 = lim x → 1 x 3 − 1 x − 1 = lim x → 1 ( x − 1 ) ( x 2 + x + 1 ) x − 1 f'\left( 1 \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 1 \right)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^3} + 2 - 3}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^3} - 1}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}{{x - 1}} f ′ ( 1 ) = x → 1 lim x − 1 f ( x ) − f ( 1 ) = x → 1 lim x − 1 x 3 + 2 − 3 = x → 1 lim x − 1 x 3 − 1 = x → 1 lim x − 1 ( x − 1 ) ( x 2 + x + 1 )
= lim x → 1 ( x 2 + x + 1 ) = 3. = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {{x^2} + x + 1} \right) = 3. = x → 1 lim ( x 2 + x + 1 ) = 3. k = 3. k = 3. k = 3.
lim Δ x → 0 Δ y Δ x \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} Δ x → 0 lim Δ x Δ y của hàm số
f ( x ) = 3 x + 1 f\left( x \right) = \sqrt {3x + 1} f ( x ) = 3 x + 1 theo
x x x là:
A
Đáp án A: 3 3 x + 1 \frac{3}{{\sqrt {3x + 1} }} 3 x + 1 3
B
Đáp án B: 3 2 3 x + 1 \frac{3}{{2\sqrt {3x + 1} }} 2 3 x + 1 3
C
Đáp án C: 3 x 2 3 x + 1 \frac{{3x}}{{2\sqrt {3x + 1} }} 2 3 x + 1 3 x
D
Đáp án D: 1 2 3 x + 1 \frac{1}{{2\sqrt {3x + 1} }} 2 3 x + 1 1
Lời giải do TopStudy biên soạn
Đáp án: B
Ta có:
lim Δ x → 0 Δ y Δ x \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} Δ x → 0 lim Δ x Δ y = lim Δ x → 0 3 ( x + Δ x ) + 1 − 3 x + 1 Δ x = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\sqrt {3\left( {x + \Delta x} \right) + 1} - \sqrt {3x + 1} }}{{\Delta x}} = Δ x → 0 lim Δ x 3 ( x + Δ x ) + 1 − 3 x + 1 = lim Δ x → 0 3 3 ( x + Δ x ) + 1 + 3 x + 1 = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{3}{{\sqrt {3\left( {x + \Delta x} \right) + 1} + \sqrt {3x + 1} }} = Δ x → 0 lim 3 ( x + Δ x ) + 1 + 3 x + 1 3 = 3 2 3 x + 1 = \frac{3}{{2\sqrt {3x + 1} }} = 2 3 x + 1 3 .
Cho hàm số
f ( x ) = 2 x − 1 x + 1 f(x) = \frac{{2x - 1}}{{x + 1}} f ( x ) = x + 1 2 x − 1 xác định trên
R \ { − 1 } \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1} \right\} R \ { − 1 } . Đạo hàm của hàm số
f ( x ) f(x) f ( x ) là
A
Đáp án A: f ′ ( x ) = 2 ( x + 1 ) 2 f'\left( x \right) = \frac{2}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} f ′ ( x ) = ( x + 1 ) 2 2
B
Đáp án B: f ′ ( x ) = 3 ( x + 1 ) 2 f'\left( x \right) = \frac{3}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} f ′ ( x ) = ( x + 1 ) 2 3
C
Đáp án C: f ′ ( x ) = − 1 ( x + 1 ) 2 f'\left( x \right) = \frac{{ - 1}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} f ′ ( x ) = ( x + 1 ) 2 − 1
D
Đáp án D: f ′ ( x ) = 1 ( x + 1 ) 2 f'\left( x \right) = \frac{1}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} f ′ ( x ) = ( x + 1 ) 2 1
Lời giải do TopStudy biên soạn
Đáp án: B
Ta có:
f ′ ( x ) = ( 2 x − 1 ) ′ ( x + 1 ) − ( 2 x − 1 ) ( x + 1 ) ′ ( x + 1 ) 2 = 2 x + 2 − 2 x + 1 ( x + 1 ) 2 = 3 ( x + 1 ) 2 f'\left( x \right) = \frac{{{{\left( {2x - 1} \right)}^\prime }\left( {x + 1} \right) - \left( {2x - 1} \right){{\left( {x + 1} \right)}^\prime }}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = \frac{{2x + 2 - 2x + 1}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = \frac{3}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} f ′ ( x ) = ( x + 1 ) 2 ( 2 x − 1 ) ′ ( x + 1 ) − ( 2 x − 1 ) ( x + 1 ) ′ = ( x + 1 ) 2 2 x + 2 − 2 x + 1 = ( x + 1 ) 2 3
Cho hai hàm số
u = u ( x ) u = u\left( x \right) u = u ( x ) ,
v = v ( x ) v = v\left( x \right) v = v ( x ) là các hàm số có đạo hàm trên
R \mathbb{R} R và
v ( x ) ≠ 0 , ∀ x ∈ R v\left( x \right) \ne 0,\forall x \in \mathbb{R} v ( x ) = 0 , ∀ x ∈ R , chọn công thức đạo hàm đúng.
A
Đáp án A: ( u v ) ′ = u ′ v − u v ′ v 2 {\left( {\frac{u}{v}} \right)^\prime } = \frac{{u'v - uv'}}{{{v^2}}} ( v u ) ′ = v 2 u ′ v − u v ′
B
Đáp án B: ( u v ) ′ = u ′ v + u v ′ v 2 {\left( {\frac{u}{v}} \right)^\prime } = \frac{{u'v + uv'}}{{{v^2}}} ( v u ) ′ = v 2 u ′ v + u v ′
C
Đáp án C: ( u v ) ′ = u v ′ − u ′ v v 2 {\left( {\frac{u}{v}} \right)^\prime } = \frac{{uv' - u'v}}{{{v^2}}} ( v u ) ′ = v 2 u v ′ − u ′ v
D
Đáp án D: ( u v ) ′ = u v ′ + u ′ v v 2 {\left( {\frac{u}{v}} \right)^\prime } = \frac{{uv' + u'v}}{{{v^2}}} ( v u ) ′ = v 2 u v ′ + u ′ v
Cho hàm số
f ( x ) = sin 2 x f\left( x \right) = \sin 2x f ( x ) = sin 2 x . Tính
f ′ ( x ) f'\left( x \right) f ′ ( x ) .
A
Đáp án A: f ′ ( x ) = 2 sin 2 x f'\left( x \right) = 2\sin 2x f ′ ( x ) = 2 sin 2 x
B
Đáp án B: f ′ ( x ) = cos 2 x f'\left( x \right) = \cos 2x f ′ ( x ) = cos 2 x
C
Đáp án C: f ′ ( x ) = 2 cos 2 x f'\left( x \right) = 2\cos 2x f ′ ( x ) = 2 cos 2 x
D
Đáp án D: f ′ ( x ) = − 1 2 cos 2 x f'\left( x \right) = - \frac{1}{2}\cos 2x f ′ ( x ) = − 2 1 cos 2 x
Giả sử
u = u ( x ) , v = v ( x ) u = u\left( x \right),v = v\left( x \right) u = u ( x ) , v = v ( x ) là các hàm số có đạo hàm trên tập
K K K . Khẳng định nào sau đây là đúng?
A
Đáp án A: ( u . v ) ′ = u ′ v + v ′ u {\left( {u.v} \right)^\prime } = u'v + v'u ( u . v ) ′ = u ′ v + v ′ u
B
Đáp án B: ( u . v ) ′ = u ′ v ′ {\left( {u.v} \right)^\prime } = u'v' ( u . v ) ′ = u ′ v ′
C
Đáp án C: ( u . v ) ′ = u ′ v ′ + u v {\left( {u.v} \right)^\prime } = u'v' + uv ( u . v ) ′ = u ′ v ′ + uv
D
Đáp án D: ( u . v ) ′ = u ′ v − v ′ u {\left( {u.v} \right)^\prime } = u'v - v'u ( u . v ) ′ = u ′ v − v ′ u
Tính đạo hàm của hàm số
y = sin x x + x sin x y = \frac{{\sin x}}{x} + \frac{x}{{\sin x}} y = x s i n x + s i n x x .
A
Đáp án A: y ′ = cos x − sin x x 2 + sin x − x cos x sin 2 x y' = \frac{{\cos x - \sin x}}{{{x^2}}} + \frac{{\sin x - x\cos x}}{{{{\sin }^2}x}} y ′ = x 2 c o s x − s i n x + s i n 2 x s i n x − x c o s x
B
Đáp án B: y ′ = x cos x − sin x x 2 − sin x − x cos x sin 2 x y' = \frac{{x\cos x - \sin x}}{{{x^2}}} - \frac{{\sin x - x\cos x}}{{{{\sin }^2}x}} y ′ = x 2 x c o s x − s i n x − s i n 2 x s i n x − x c o s x
C
Đáp án C: y ′ = x cos x − sin x x 2 + sin x − cos x sin 2 x y' = \frac{{x\cos x - \sin x}}{{{x^2}}} + \frac{{\sin x - \cos x}}{{{{\sin }^2}x}} y ′ = x 2 x c o s x − s i n x + s i n 2 x s i n x − c o s x
D
Đáp án D: y ′ = x cos x − sin x x 2 + sin x − x cos x sin 2 x y' = \frac{{x\cos x - \sin x}}{{{x^2}}} + \frac{{\sin x - x\cos x}}{{{{\sin }^2}x}} y ′ = x 2 x c o s x − s i n x + s i n 2 x s i n x − x c o s x
Cho hàm số
f ( x ) f\left( x \right) f ( x ) liên tục trên khoảng
( − 1 ; 1 ) \left( { - 1;\,1} \right) ( − 1 ; 1 ) và
f ′ ( x ) = x 1 − x 2 , ∀ x ∈ ( − 1 ; 1 ) f'\left( x \right) = \frac{x}{{1 - {x^2}}},\,\forall x \in \left( { - 1;\,1} \right) f ′ ( x ) = 1 − x 2 x , ∀ x ∈ ( − 1 ; 1 ) . Tính đạo hàm của hàm số
g ( x ) = f ( cos x ) g\left( x \right) = f\left( {\cos x} \right) g ( x ) = f ( cos x ) tại
x = π 4 x = \frac{\pi }{4} x = 4 π .
A
Đáp án A: g ′ ( π 4 ) = − 1 g'\left( {\frac{\pi }{4}} \right) = - 1 g ′ ( 4 π ) = − 1
B
Đáp án B: g ′ ( π 4 ) = 1 g'\left( {\frac{\pi }{4}} \right) = 1 g ′ ( 4 π ) = 1
C
Đáp án C: g ′ ( π 4 ) = − 2 2 g'\left( {\frac{\pi }{4}} \right) = - \frac{{\sqrt 2 }}{2} g ′ ( 4 π ) = − 2 2
D
Đáp án D: g ′ ( π 4 ) = 2 2 g'\left( {\frac{\pi }{4}} \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{2} g ′ ( 4 π ) = 2 2
Tìm gia tốc tức thời của chuyển động có phương trình
S ( t ) = 7 t 5 − 3 t + 2 S\left( t \right) = 7{t^5} - 3t + 2 S ( t ) = 7 t 5 − 3 t + 2 , trong đó
S S S được tính bằng mét (
m m m ) và
t t t được tính bằng giây (
s s s ).
A
Đáp án A: − 140 t 3 - 140{t^3} − 140 t 3
B
Đáp án B: − 140 t 2 - 140{t^2} − 140 t 2
C
Đáp án C: 140 t 140t 140 t
D
Đáp án D: 140 t 3 140{t^3} 140 t 3
Một chất điểm có phương trình chuyển động
s ( t ) = t 3 3 − 2 t 2 + 2 t + 1 s\left( t \right) = \frac{{{t^3}}}{3} - 2{t^2} + 2t + 1 s ( t ) = 3 t 3 − 2 t 2 + 2 t + 1 , trong đó
t > 0 t > 0 t > 0 ,
t t t tính bằng giây,
s ( t ) s\left( t \right) s ( t ) tính bằng mét. Tính gia tốc tức thời của chất điểm tại thời điểm mà vận tốc tức thời của chất điểm bằng
7 7 7 m/s.
A
Đáp án A: − 6 - 6 − 6 m / s 2 m/{s^2} m / s 2
B
Đáp án B: − 14 - 14 − 14 m / s 2 m/{s^2} m / s 2
C
Đáp án C: 6 m / s 2 m/{s^2} m / s 2
D
Đáp án D: 14 m / s 2 m/{s^2} m / s 2
Phần II. Trắc nghiệm đúng sai
Dùng định nghĩa để tính đạo hàm của hàm số
f ( x ) = 2 x 3 f(x) = 2{x^3} f ( x ) = 2 x 3 . Khi đó:
a
Ý a: Với bất kì x 0 {x_0} x 0 f ′ ( x 0 ) = lim x → x 0 f ( x ) − f ( x 0 ) x − x 0 {f^\prime }\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f(x) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}} f ′ ( x 0 ) = x → x 0 lim x − x 0 f ( x ) − f ( x 0 )
b
Ý b: f ′ ( 1 ) = − 6 {f^\prime }(1) = - 6 f ′ ( 1 ) = − 6
c
Ý c: f ′ ( 0 ) = 0 {f^\prime }(0) = 0 f ′ ( 0 ) = 0
d
Ý d: f ′ ( 2 ) = 24 {f^\prime }(2) = 24 f ′ ( 2 ) = 24
Cho hàm số
y = x 2 + 3 x + 1 y = {x^2} + 3x + 1 y = x 2 + 3 x + 1 có đồ thị
( C ) (C) ( C ) . Viết được phương trình tiếp tuyến của
( C ) (C) ( C ) tại giao điểm của
( C ) (C) ( C ) với trục tung. Khi đó:
a
Ý a: Hệ số góc của phương trình tiếp tuyến bằng 3. 3. 3.
b
Ý b: Phương trình tiếp tuyến đi qua điểm A ( 1 ; 3 ) A\left( {1;3} \right) A ( 1 ; 3 )
c
Ý c: Phương trình tiếp tuyến cắt đường thẳng y = 2 x + 1 y = 2x + 1 y = 2 x + 1 0 0 0
d
Ý d: Phương trình tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y = − 1 3 x + 1 y = - \frac{1}{3}x + 1 y = − 3 1 x + 1
Cho hàm số
y = x 2 + 1 x − 3 y = \frac{{{x^2} + 1}}{{x - 3}} y = x − 3 x 2 + 1 . Khi đó:
a
Ý a: y ′ ( 1 ) = 3 2 y'\left( 1 \right) = \frac{3}{2} y ′ ( 1 ) = 2 3
b
Ý b: Tổng các nghiệm của phương trình y ′ = 0 y' = 0 y ′ = 0 − 6 - 6 − 6
c
Ý c: Đồ thị của hàm số y ′ y' y ′ A ( 1 ; − 3 2 ) A\left( {1; - \frac{3}{2}} \right) A ( 1 ; − 2 3 )
d
Ý d: y ′ ( 1 ) < y ′ ( 2 ) y'\left( 1 \right) < y'\left( 2 \right) y ′ ( 1 ) < y ′ ( 2 )
Cho hàm số
y = ln x x y = \frac{{\ln x}}{x} y = x l n x . Các mệnh đề sau đúng hay sai?
a
Ý a: 2 y ′ + x y ′ ′ = − 1 x 2 2y' + xy'' = - \frac{1}{{{x^2}}} 2 y ′ + x y ′′ = − x 2 1
b
Ý b: y ′ + x y ′ ′ = 1 x 2 y' + xy'' = \frac{1}{{{x^2}}} y ′ + x y ′′ = x 2 1
c
Ý c: y ′ + x y ′ ′ = − 1 x 2 y' + xy'' = - \frac{1}{{{x^2}}} y ′ + x y ′′ = − x 2 1
d
Ý d: 2 y ′ + x y ′ ′ = 1 x 2 2y' + xy'' = \frac{1}{{{x^2}}} 2 y ′ + x y ′′ = x 2 1
Phần III. Tự luận
Cho hàm số
y = x 3 + 2 x 2 + 1 y = {x^3} + 2{x^2} + 1 y = x 3 + 2 x 2 + 1 có đồ thị là
( C ) (C) ( C ) . Viết phương trình tiếp tuyến của
( C ) (C) ( C ) tại điểm
M ( 1 ; 4 ) M(1;4) M ( 1 ; 4 ) .
Tính đạo hàm của hàm số sau:
y = − 2 x + 1 ( x + 1 ) 2 y = - \frac{{2x + 1}}{{{{(x + 1)}^2}}} y = − ( x + 1 ) 2 2 x + 1
Cho hàm số
y = f ( x ) = tan x + cot x y = f(x) = \sqrt {\tan x + \cot x} y = f ( x ) = tan x + cot x . Tính
f ′ ( π 4 ) {f^\prime }\left( {\frac{\pi }{4}} \right) f ′ ( 4 π ) .
Một chuyển động có vận tốc được biểu diễn theo đồ thị hình bên. Tính gia tốc của chuyển động tại thời điểm t = 1 ( s ) t = 1(\;s) t = 1 ( s )
Phần IV. Trắc nghiệm trả lời ngắn
Cho chuyển động thẳng xác định bởi phương trình
S = − t 3 + 3 t 2 + 9 t S = - {t^3} + 3{t^2} + 9t S = − t 3 + 3 t 2 + 9 t , trong đó
t t t tính bằng giây và
S S S tính bằng mét. Tính vận tốc của chuyển động tại thời điểm gia tốc triệt tiêu.
Phần V. Tự luận
Một chất điểm chuyển động có phương trình
S = 2 t 4 + 6 t 2 − 3 t + 1 S = 2{t^4} + 6{t^2} - 3t + 1 S = 2 t 4 + 6 t 2 − 3 t + 1 với
t t t tính bằng giây (s) và
S S S tính bằng mét (m). Hỏi gia tốc của chuyển động tại thời điểm
t = 3 ( s ) t = 3(s) t = 3 ( s ) bằng bao nhiêu?
Tất cả đề Bài tập cuối chương 7 · Các bộ sách Toán Lớp 11
