Chuyên đề Toán 11 CTST Bài 2. Phép tịnh tiến có đáp án

Gọi E là một điểm bất kì trên hình ngôi sao A và E’ là một điểm trên hình ngôi sao B có vị trí tương ứng với điểm E trên hình ngôi sao A (hình vẽ).

Ta đặt $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{E{E}^{'}}$.

Lấy điểm F bất kì trên hình ngôi sao A sao cho F ≠ E.

Lấy điểm F’ sao cho $\overrightarrow{F{F}^{'}}=\overrightarrow{u}$.

Khi đó điểm F’ là một điểm trên hình ngôi sao B có vị trí tương ứng với điểm F trên hình ngôi sao A.

Tương tự như vậy, với mỗi điểm M bất kì trên hình ngôi sao A, ta lấy điểm M’ sao cho $\overrightarrow{M{M}^{'}}=\overrightarrow{u}$ thì từ hình ngôi sao A là tập hợp điểm M, ta được tập hợp các điểm M’ tạo thành hình ngôi sao B.

Vậy phép dời hình cần tìm là phép biến hình biến mỗi điểm M bất kì thành điểm M’ sao cho $\overrightarrow{M{M}^{'}}=\overrightarrow{u}$.

a) Quan sát Hình 1, ta thấy các vectơ $\overrightarrow{A{A}^{'}},\ \overrightarrow{B{B}^{'}},\ ...,\ \overrightarrow{E{E}^{'}}$ cùng hướng và có độ dài bằng nhau.

Vậy $\overrightarrow{A{A}^{'}}=\overrightarrow{B{B}^{'}}=\overrightarrow{C{C}^{'}}=\overrightarrow{D{D}^{'}}=\overrightarrow{E{E}^{'}}$.

b) Ta đặt $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{A{A}^{'}}=\overrightarrow{B{B}^{'}}=\overrightarrow{C{C}^{'}}=\overrightarrow{D{D}^{'}}=\overrightarrow{E{E}^{'}}$.

Khi đó tồn tại phép biến hình biến điểm A thành điểm A’ sao cho $\overrightarrow{A{A}^{'}}=\overrightarrow{u}$.

Tương tự như vậy, ta thấy phép biến hình đó cũng biến các điểm B, C, D, E thành các điểm B’, C’, D’, E’ sao cho $\overrightarrow{B{B}^{'}}=\overrightarrow{C{C}^{'}}=\overrightarrow{D{D}^{'}}=\overrightarrow{E{E}^{'}}=\overrightarrow{u}$.

Vậy có phép biến hình biến các điểm A, B, C, D, E thành các điểm A’, B’, C’, D’, E’.

Giả sử A’ là ảnh của A qua phép đồng nhất f. Tức là, A’ = f(A).

Suy ra A’ ≡ A hay AA’ = 0.

Khi đó $\overrightarrow{A{A}^{'}}=\overrightarrow{0}$.

Tương tự như vậy, với mỗi điểm M bất kì, ta lấy điểm M’ là ảnh của điểm M qua phép đồng nhất f.

Khi đó ta cũng có $\overrightarrow{M{M}^{'}}=\overrightarrow{0}$.

Vậy phép đồng nhất là một phép tịnh tiến theo $\overrightarrow{0}$.

Từ Hoạt động khám phá 1, ta có $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{A{A}^{'}}=\overrightarrow{B{B}^{'}}=\overrightarrow{C{C}^{'}}=\overrightarrow{D{D}^{'}}=\overrightarrow{E{E}^{'}}$.

Ta đặt $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{u}$.

Khi đó phép tịnh tiến theo $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{u}$ biến các điểm A, B, C, D, E thành điểm A’, B’, C’, D’, E’.

Dựng ∆AA’M vuông tại M (như hình vẽ).

Ta có AM = 1 (đơn vị), A’M = 10 (đơn vị) (do cạnh mỗi ô vuông là 1 đơn vị).

Suy ra $A{A}^{'}=\sqrt{A{M}^{2}+{A}^{'}{M}^{2}}=\sqrt{{1}^{2}+{10}^{2}}=\sqrt{101}$.

Khi đó $|\overrightarrow{v}|=|\overrightarrow{A{A}^{'}}|=A{A}^{'}=\sqrt{101}$.

Vậy độ dài vectơ tịnh tiến của phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow{v}$ là $\sqrt{101}$.

a) Ta có ${T}_{\overrightarrow{u}}(A)={A}^{'}$, suy ra $\overrightarrow{A{A}^{'}}=\overrightarrow{u}$.

${T}_{\overrightarrow{u}}(M)={M}^{'}$, suy ra $\overrightarrow{M{M}^{'}}=\overrightarrow{u}$.

Khi đó $\overrightarrow{A{A}^{'}}=\overrightarrow{M{M}^{'}}\ (=\overrightarrow{u})$.

Suy ra AA’ = MM’ và AA’ // MM’.

Vì vậy tứ giác AMM’A’ là hình bình hành.

Vậy $\overrightarrow{{A}^{'}{M}^{'}}=\overrightarrow{AM}$.

b) Gọi d’ là giá của $\overrightarrow{{A}^{'}{M}^{'}}$.

Vì A’M’ // AM (do tứ giác AMM’A’ là hình bình hành).

Nên d’ // d.

Vậy khi điểm M thay đổi trên d thì điểm M’ thay đổi trên d’ thỏa mãn $\overrightarrow{M{M}^{'}}=\overrightarrow{u}$.