Chuyên đề Toán 11 CTST Bài 2. Phép tịnh tiến có đáp án

Gọi E là một điểm bất kì trên hình ngôi sao A và E’ là một điểm trên hình ngôi sao B có vị trí tương ứng với điểm E trên hình ngôi sao A (hình vẽ).

Ta đặt $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{E{E}^{'}}$.

Lấy điểm F bất kì trên hình ngôi sao A sao cho F ≠ E.

Lấy điểm F’ sao cho $\overrightarrow{F{F}^{'}}=\overrightarrow{u}$.

Khi đó điểm F’ là một điểm trên hình ngôi sao B có vị trí tương ứng với điểm F trên hình ngôi sao A.

Tương tự như vậy, với mỗi điểm M bất kì trên hình ngôi sao A, ta lấy điểm M’ sao cho $\overrightarrow{M{M}^{'}}=\overrightarrow{u}$ thì từ hình ngôi sao A là tập hợp điểm M, ta được tập hợp các điểm M’ tạo thành hình ngôi sao B.

Vậy phép dời hình cần tìm là phép biến hình biến mỗi điểm M bất kì thành điểm M’ sao cho $\overrightarrow{M{M}^{'}}=\overrightarrow{u}$.

a) Quan sát Hình 1, ta thấy các vectơ $\overrightarrow{A{A}^{'}},\ \overrightarrow{B{B}^{'}},\ ...,\ \overrightarrow{E{E}^{'}}$ cùng hướng và có độ dài bằng nhau.

Vậy $\overrightarrow{A{A}^{'}}=\overrightarrow{B{B}^{'}}=\overrightarrow{C{C}^{'}}=\overrightarrow{D{D}^{'}}=\overrightarrow{E{E}^{'}}$.

b) Ta đặt $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{A{A}^{'}}=\overrightarrow{B{B}^{'}}=\overrightarrow{C{C}^{'}}=\overrightarrow{D{D}^{'}}=\overrightarrow{E{E}^{'}}$.

Khi đó tồn tại phép biến hình biến điểm A thành điểm A’ sao cho $\overrightarrow{A{A}^{'}}=\overrightarrow{u}$.

Tương tự như vậy, ta thấy phép biến hình đó cũng biến các điểm B, C, D, E thành các điểm B’, C’, D’, E’ sao cho $\overrightarrow{B{B}^{'}}=\overrightarrow{C{C}^{'}}=\overrightarrow{D{D}^{'}}=\overrightarrow{E{E}^{'}}=\overrightarrow{u}$.

Vậy có phép biến hình biến các điểm A, B, C, D, E thành các điểm A’, B’, C’, D’, E’.

Giả sử A’ là ảnh của A qua phép đồng nhất f. Tức là, A’ = f(A).

Suy ra A’ ≡ A hay AA’ = 0.

Khi đó $\overrightarrow{A{A}^{'}}=\overrightarrow{0}$.

Tương tự như vậy, với mỗi điểm M bất kì, ta lấy điểm M’ là ảnh của điểm M qua phép đồng nhất f.

Khi đó ta cũng có $\overrightarrow{M{M}^{'}}=\overrightarrow{0}$.

Vậy phép đồng nhất là một phép tịnh tiến theo $\overrightarrow{0}$.

Từ Hoạt động khám phá 1, ta có $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{A{A}^{'}}=\overrightarrow{B{B}^{'}}=\overrightarrow{C{C}^{'}}=\overrightarrow{D{D}^{'}}=\overrightarrow{E{E}^{'}}$.

Ta đặt $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{u}$.

Khi đó phép tịnh tiến theo $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{u}$ biến các điểm A, B, C, D, E thành điểm A’, B’, C’, D’, E’.

Dựng ∆AA’M vuông tại M (như hình vẽ).

Ta có AM = 1 (đơn vị), A’M = 10 (đơn vị) (do cạnh mỗi ô vuông là 1 đơn vị).

Suy ra $A{A}^{'}=\sqrt{A{M}^{2}+{A}^{'}{M}^{2}}=\sqrt{{1}^{2}+{10}^{2}}=\sqrt{101}$.

Khi đó $|\overrightarrow{v}|=|\overrightarrow{A{A}^{'}}|=A{A}^{'}=\sqrt{101}$.

Vậy độ dài vectơ tịnh tiến của phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow{v}$ là $\sqrt{101}$.

a) Ta có ${T}_{\overrightarrow{u}}(A)={A}^{'}$, suy ra $\overrightarrow{A{A}^{'}}=\overrightarrow{u}$.

${T}_{\overrightarrow{u}}(M)={M}^{'}$, suy ra $\overrightarrow{M{M}^{'}}=\overrightarrow{u}$.

Khi đó $\overrightarrow{A{A}^{'}}=\overrightarrow{M{M}^{'}}\ (=\overrightarrow{u})$.

Suy ra AA’ = MM’ và AA’ // MM’.

Vì vậy tứ giác AMM’A’ là hình bình hành.

Vậy $\overrightarrow{{A}^{'}{M}^{'}}=\overrightarrow{AM}$.

b) Gọi d’ là giá của $\overrightarrow{{A}^{'}{M}^{'}}$.

Vì A’M’ // AM (do tứ giác AMM’A’ là hình bình hành).

Nên d’ // d.

Vậy khi điểm M thay đổi trên d thì điểm M’ thay đổi trên d’ thỏa mãn $\overrightarrow{M{M}^{'}}=\overrightarrow{u}$.

Vậy ảnh của đường tròn (C) là đường tròn (C’) có phương trình là: (x – 5)$^{2}$ + (y + 1)$^{2}$ = 4.

Ta thấy ô tô được nâng từ vị trí A đến vị trí B.

Khi đó chiếc xe ô tô được tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{AB}$ từ mặt đất lên vị trí cần thiết.

Vậy người thợ sửa xe đã dùng kích nâng thủy lực để đưa ô tô từ mặt đất đến vị trí cần thiết thông qua phép tịnh tiến theo $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{AB}$.

Theo đề, ta có ${T}_{\overrightarrow{u}}(M)={M}^{'}$, suy ra $\overrightarrow{M{M}^{'}}=\overrightarrow{u}$.

Ta lại có ${T}_{\overrightarrow{v}}({M}^{'})={{M}^{'}}^{'}$, suy ra $\overrightarrow{{M}^{'}{{M}^{'}}^{'}}=\overrightarrow{v}$.

Ta có $\overrightarrow{M{{M}^{'}}^{'}}=\overrightarrow{M{M}^{'}}+\overrightarrow{{M}^{'}{{M}^{'}}^{'}}=\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}$.

Do đó ${T}_{\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}}(M)={{M}^{'}}^{'}$.

Vậy có phép tịnh tiến theo $\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}$ biến điểm M thành điểm M’’.

Do A, B cố định nên $\overrightarrow{AB}$ là vectơ không đổi.

Từ dữ kiện $\overrightarrow{M{M}^{'}}+\overrightarrow{MA}=\overrightarrow{MB}$, áp dụng quy tắc hình bình hành, ta có tứ giác ABM’M là hình bình hành.

Do đó $\overrightarrow{M{M}^{'}}=\overrightarrow{AB}$.

Vì vậy M’ là ảnh của M qua phép tịnh tiến ${T}_{\overrightarrow{AB}}$.

Vậy khi M thay đổi trên đường tròn (O) thì M’ nằm trên ảnh của đường tròn (O) là đường tròn (O’) qua phép tịnh tiến ${T}_{\overrightarrow{AB}}$.

Kẻ đường kính BB’.

Do B, C cố định trên (O) nên B’, C cũng cố định trên (O).

Suy ra $\overrightarrow{{B}^{'}C}$ là vectơ không đổi.

Ta có $\widehat{BC{B}^{'}}=90^{\circ}$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O)).

Suy ra BC ⊥ B’C.

Mà AH ⊥ BC (do H là trực tâm của ∆ABC).

Do đó AH // B’C (1)

Chứng minh tương tự, ta được AB’ // CH (2)

Từ (1), (2), suy ra tứ giác AHCB’ là hình bình hành.

Suy ra AH = B’C.

Mà AH // B’C (chứng minh trên).

Vì vậy $\overrightarrow{AH}=\overrightarrow{{B}^{'}C}$.

Do đó $H={T}_{\overrightarrow{{B}^{'}C}}(A)$.

Vậy khi A thay đổi trên đường tròn (O) thì trực tâm H của tam giác ABC luôn nằm trên ảnh của đường tròn (O) là đường tròn (O’) qua ${T}_{\overrightarrow{{B}^{'}C}}$.

⦁ Gọi E1 là một điểm trên hình mũi tên (A) và $\overrightarrow{u}$ có phương song song với trục đối xứng của hình mũi tên (A), độ dài bằng độ dài từ điểm đầu tới điểm cuối của mũi tên (A) (hình vẽ).

Lấy điểm E2 sao cho $\overrightarrow{{E}_{1}{E}_{2}}=\overrightarrow{u}$.

Khi đó E2 là một điểm trên hình mũi tên (B) có vị trí tương ứng với điểm E1 trên hình mũi tên (A).

Tương tự như vậy, với mỗi điểm M1 bất kì trên hình mũi tên (A), ta lấy điểm M2 sao cho $\overrightarrow{{M}_{1}{M}_{2}}=\overrightarrow{u}$ thì ta được tập hợp các điểm M2 tạo thành hình mũi tên (B).

Do đó phép tịnh tiến theo $\overrightarrow{u}$ biến hình mũi tên (A) thành hình mũi tên (B).

⦁ Ta gọi (D) là hình mũi tên nằm bên dưới hình mũi tên (A) và bên trái hình mũi tên (C) (như hình vẽ).

Gọi E3 là một điểm trên hình mũi tên (D) có vị trí tương ứng với điểm E1 trên hình mũi tên (A).

Giả sử $\overrightarrow{x}$ là vectơ có phương vuông góc với trục đối xứng của hình mũi tên (A), độ dài bằng độ dài từ điểm E1 đến điểm E3 (hình vẽ).

Tức là, $\overrightarrow{x}=\overrightarrow{{E}_{1}{E}_{3}}$.

Lấy điểm E4 sao cho tứ giác E1E2E4E3 là hình bình hành.

Áp dụng quy tắc hình bình hành, ta được $\overrightarrow{{E}_{1}{E}_{4}}=\overrightarrow{{E}_{1}{E}_{2}}+\overrightarrow{{E}_{1}{E}_{3}}=\overrightarrow{u}+\overrightarrow{x}$.

Lúc này, ta thấy E4 là một điểm trên hình mũi tên (C) có vị trí tương ứng với điểm E1 trên hình mũi tên (A).

Tương tự như vậy, với mỗi điểm M1 bất kì trên hình mũi tên (A), ta lấy điểm M4 sao cho $\overrightarrow{{M}_{1}{M}_{4}}=\overrightarrow{u}+\overrightarrow{x}$ thì ta được tập hợp các điểm M4 tạo thành hình mũi tên (C).

Do đó phép tịnh tiến theo $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{u}+\overrightarrow{x}$ biến hình mũi tên (A) thành hình mũi tên (C).