Toán · Lớp 11

Chuyên đề Toán 11 CTST Bài 6. Phép vị tự có đáp án

17 câu · 26 phút · Ngân hàng đề TopStudy. Đáp án và lời giải do TopStudy biên soạn, mở ngay dưới từng câu.

Nội dung đề

Phần I. Tự luận

Câu 1

1 điểm

Trong sách báo, tranh ảnh hay trong thực tế có những hình ảnh với hình dạng hoàn toàn giống nhau, chỉ khác nhau về kích thước. Những hình như vậy có liên quan gì về mặt hình học và phép biến hình nào đã tạo ra hình này từ hình kia?

Hình minh hoạ

Xem đáp án và lời giải

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

⦁ Những hình như vậy có cùng hình dạng nhưng khác kích thước.

⦁ Ta xét cụ thể một hình là hình hai con mèo:

Hình minh hoạ

• Giả sử O là điểm cố định trên hình hai con mèo, M là một điểm trên hình con mèo 1 (như hình vẽ).

Lấy điểm M’ là điểm sao cho $\overrightarrow{O{M}^{'}}=k\overrightarrow{OM}$ (k > 0), khi đó điểm M’ có vị trí trên hình con mèo 2 tương ứng với điểm M trên hình con mèo 1.

Lấy điểm A’ sao cho $\overrightarrow{O{A}^{'}}=k\overrightarrow{OA}$ , với k > 0, ta được điểm A’ có vị trí trên hình con mèo 2 tương ứng với điểm A trên hình con mèo 1.

Tương tự như vậy, với mỗi điểm B bất kì trên hình con mèo 1, ta lấy điểm B’ sao cho $\overrightarrow{O{B}^{'}}=k\overrightarrow{OB}$ (k > 0) thì ta được tập hợp các điểm B’ tạo thành hình con mèo 2.

Vì vậy phép biến hình biến hình con mèo 1 thành hình con mèo 2 là phép biến hình biến mỗi điểm N bất kì thành điểm N’ sao cho $\overrightarrow{O{N}^{'}}=k\overrightarrow{ON}$ .

• Chứng minh tương tự với các hình ảnh khác, ta cũng được kết quả như trên.

Vậy phép biến hình cần tìm là phép biến hình biến mỗi điểm M bất kì trên hình kia thành điểm M’ trên hình này sao cho $\overrightarrow{O{M}^{'}}=k\overrightarrow{OM}$ , với O là điểm cố định và k là một số thực, k ≠ 0.

Câu 2

1 điểm

Trong Hình 1, cho biết A’, B’, C’ lần lượt là trung điểm của OA, OB, OC.

a) Xét xem hai tam giác ABC và A’B’C’ đồng dạng không?

b) Thảo luận nhóm để tìm xem có phép biến hình nào biến tam giác ABC thành tam giác A’B’C’ không?

Hình minh hoạ

Xem đáp án và lời giải

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

Hình minh hoạ

Câu 3

1 điểm

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm M(3; 9). Tìm tọa độ các điểm M

_{1}

và M

_{2}

lần lượt là ảnh của M qua các phép vị tự V

_{(O, 3)}

và V

_{(O, –2)}

Xem đáp án và lời giải

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

Ta có $\overrightarrow{OM}=(3;9)$ .

⦁ Gọi M1(x1; y1), ta có $\overrightarrow{O{M}_{1}}=({x}_{1};{y}_{1})$ .

Theo đề, ta có V(O, 3)(M) = M1.

Suy ra $\overrightarrow{O{M}_{1}}=3\overrightarrow{OM}$ .

Do đó $\{\begin{matrix}{x}_{1}=3.3=9 \\ {y}_{1}=3.9=27\end{matrix}$

Vì vậy tọa độ M1(9; 27).

⦁ Gọi M2(x2; y2), ta có $\overrightarrow{O{M}_{2}}=({x}_{2};{y}_{2})$ .

Theo đề, ta có V(O, –2)(M) = M2.

Suy ra $\overrightarrow{O{M}_{2}}=-2\overrightarrow{OM}$ .

Do đó $\{\begin{matrix}{x}_{2}=-2.3=-6 \\ {y}_{2}=-2.9=-18\end{matrix}$

Vì vậy tọa độ M2(–6; –18).

Vậy M1(9; 27) và M2(–6; –18).

Câu 4

1 điểm

Thước vẽ truyền là một dụng cụ gồm bốn thanh gỗ hoặc kim loại được ghép với nhau nhờ bốn khớp xoay tại các điểm A, B, C, D sao cho ABCD là hình bình hành và ba điểm O, D, D’ thẳng hàng. Khi sử dụng, người vẽ ghim cố định điểm O xuống mặt giấy (thước vẫn có thể xoay quanh O). Đặt hai cây bút tại hai điểm D và D’. Khi đầu bút D vẽ hình ℋ, đầu bút D’ sẽ tự động vẽ truyền cho ta hình ℋ ’ là ảnh của ℋ.

Hình minh hoạ

a) Xác định tâm và tỉ số k của phép vị tự được sử dụng trong cây thước vẽ truyền ở Hình 5.

Hình minh hoạ

b) Nếu ngược lại cho đầu bút D’ vẽ hình ℋ ’ khi đó đầu bút D sẽ tự động vẽ truyền cho ta hình ℋ là ảnh của ℋ ’. Xác định phép vị tự trong trường hợp này.

Xem đáp án và lời giải

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

a) Do ba điểm O, D, D’ thẳng hàng (giả thiết), suy ra $\overrightarrow{O{D}^{'}}=k\overrightarrow{OD}$ .

Do đó V(O, k)(D) = D’ và OD’ = |k|.OD.

Vì D, D’ nằm cùng phía đối với O nên k > 0.

Suy ra $k=\frac{O{D}^{'}}{OD}$ .

Ta có AB // BD’ (do ABCD là hình bình hành) và ba điểm O, D, D’ thẳng hàng (giả thiết).

Khi đó áp dụng định lí Thales, ta được $k=\frac{OD}{O{D}^{'}}=\frac{OA}{OB}$ .

Vậy phép vị tự cần tìm là ${V}_{(O,\frac{OA}{OB})}$ .

b) Từ câu a, ta có $\overrightarrow{O{D}^{'}}=k\overrightarrow{OD}$ (k > 0).

Suy ra $\overrightarrow{OD}=\frac{1}{k}\overrightarrow{O{D}^{'}}$ .

Khi đó ${V}_{(O,\frac{1}{k})}({D}^{'})=D$ .

Ta có $\frac{1}{k}=1:\frac{OA}{OB}=\frac{OB}{OA}$ .

Vậy phép vị tự cần tìm là ${V}_{(O,\frac{OB}{OA})}$ .

Câu 5

1 điểm

Gọi M’ và N’ lần lượt là ảnh của M và N qua phép vị tự V $_{(O, k)}$ . Từ các hệ thức: $\overrightarrow{O{M}^{'}}=k\overrightarrow{OM}$ , $\overrightarrow{O{N}^{'}}=k\overrightarrow{ON}$ , $\overrightarrow{{M}^{'}{N}^{'}}=\overrightarrow{O{N}^{'}}-\overrightarrow{O{M}^{'}}$ . Biểu thị vectơ $\overrightarrow{{M}^{'}{N}^{'}}$ theo vectơ $\overrightarrow{MN}.$

Hình minh hoạ

Xem đáp án và lời giải

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

Ta có $\overrightarrow{{M}^{'}{N}^{'}}=\overrightarrow{O{N}^{'}}-\overrightarrow{O{M}^{'}}$

$=k\overrightarrow{ON}-k\overrightarrow{OM}$

$=k(\overrightarrow{ON}-\overrightarrow{OM})$

$=k\overrightarrow{MN}$ .

Vậy $\overrightarrow{{M}^{'}{N}^{'}}=k\overrightarrow{MN}$ .

Câu 6

1 điểm

Gọi A’, B’ và C’ lần lượt là ảnh của ba điểm thẳng hàng A, B, C qua phép vị tự V(O, k). Cho biết $\overrightarrow{BA}=m\overrightarrow{BC}$ , hai vectơ $\overrightarrow{{B}^{'}{A}^{'}}$ và $m\overrightarrow{{B}^{'}{C}^{'}}$ có bằng nhau không?

Hình minh hoạ

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 6

Câu 7

1 điểm

Cho tam giác ABC có G, H, O lần lượt là trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác. Gọi A’, B’, C’ lần lượt là trung điểm các cạnh BC, CA, AB.

a) Tìm phép vị tự biến tam giác ABC thành tam giác A’B’C’.

b) Chứng minh ba điểm H, G, O thẳng hàng.

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 7

Câu 8

1 điểm

Cho phép vị tự V $_{(O, k)}$ và đường tròn (C) tâm I bán kính r. Xét điểm M thuộc (C), gọi I’ và M’ là ảnh của I và M qua phép vị tự V $_{(O, k)}$ .

a) Tính I’M’ theo r và k.

b) Khi cho điểm M chạy trên đường tròn (C) thì M’ chạy trên đường nào?

Hình minh hoạ

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 8

Câu 9

1 điểm

Vẽ Hình 11 ra giấy kẻ ô li và tìm ảnh của tứ giác ABCD qua phép vị tự ${V}_{(O,-\frac{1}{2})}$ .

Hình minh hoạ

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 9

Câu 10

1 điểm

Các phép biến hình sau có phải là phép vị tự không: phép đối xứng tâm, phép đối xứng trục, phép đồng nhất, phép tịnh tiến theo vectơ khác

\overrightarrow{0}

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 10

Câu 11

1 điểm

Các khẳng định sau đúng hay sai?

a) Phép vị tự luôn có điểm bất động.

b) Phép vị tự không thể có quá một điểm bất động.

c) Nếu phép vị tự có hai điểm bất động phân biệt thì mọi điểm đều bất động.

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 11

Câu 12

1 điểm

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) có phương trình:

(C): x $^{2}$ + y $^{2}$ + 4x – 2y – 4 = 0.

Viết phương trình ảnh của (C)

a) qua phép vị tự tâm O, tỉ số k = 2;

b) qua phép vị tự tâm I(1; 1), tỉ số k = –2.

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 12

Câu 13

1 điểm

Hãy xác định phép vị tự biến đường tròn (O; R) thành đường tròn (O’; R’) (R ≠ R’) trong các trường hợp sau:

a) Hai đường tròn cắt nhau.

b) Hai đường tròn tiếp xúc ngoài.

c) Hai đường tròn tiếp xúc trong.

d) Hai đường tròn đựng nhau.

e) Hai đường tròn ở ngoài nhau.

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 13

Câu 14

1 điểm

Cho hai đường tròn (I; R) và (I’; R’) (Hình 12) có tâm phân biệt và bán kính khác nhau. Hãy chứng minh có hai phép vị tự biến đường tròn (I; R) thành đường tròn (I’; R’).

Hình minh hoạ