Chuyên đề Toán 11 CTST Bài 4. Phép đối xứng tâm có đáp án

⦁ Cả 4 hình đều có tâm đối xứng là điểm O như hình vẽ dưới đây:

⦁ Ta xét hình bông tuyết:

Lấy điểm B trùng O. Khi đó qua O, điểm đối xứng với B là chính nó.

Lấy điểm A bất kì trên hình bông tuyết sao cho A ≠ O.

Khi đó ta luôn xác định được một điểm A’ sao cho O là trung điểm của đoạn AA’.

Tương tự như vậy, mỗi điểm M bất kì khác O trên hình bông tuyết, ta đều xác định được một điểm M’ trên hình sao cho O là trung điểm của đoạn MM’.

Vì vậy phép biến hình biến hình bông tuyết thành chính nó là phép biến hình biến hình biến điểm O thành chính nó và biến mỗi điểm M khác O thành điểm M’ sao cho O là trung điểm của đoạn MM’.

Chứng minh tương tự với hình 8 chiếc lá, hình bình hành và hình bông hoa, ta cũng được kết quả như trên.

Theo đề, ta có M’ = f(M).

Ta thấy f là một quy tắc sao cho ứng với mỗi điểm M đều xác định duy nhất một điểm M’.

Vậy f là một phép biến hình.

⦁ Ta có M’ = ĐI(M).

Suy ra I(1; 1) là trung điểm MM’ với M(2; 2).

Do đó $\{\begin{matrix}{x}_{{M}^{'}}=2{x}_{I}-{x}_{M}=2.1-2=0 \\ {y}_{{M}^{'}}=2{y}_{I}-{y}_{M}=2.1-2=0\end{matrix}$

Suy ra M’ có tọa độ là (0; 0).

⦁ Ta có N’ = ĐI(N).

Suy ra I(1; 1) là trung điểm của NN’ với N(0; –3).

Do đó $\{\begin{matrix}{x}_{{N}^{'}}=2{x}_{I}-{x}_{N}=2.1-0=2 \\ {y}_{{N}^{'}}=2{y}_{I}-{y}_{N}=2.1+3=5\end{matrix}$

Suy ra N’ có tọa độ là N’(2; 5).

⦁ Ta có P’ = ĐI(P).

Suy ra I(1; 1) là trung điểm PP’ với P(–1; –2).

Do đó $\{\begin{matrix}{x}_{{P}^{'}}=2{x}_{I}-{x}_{P}=2.1+1=3 \\ {y}_{{P}^{'}}=2{y}_{I}-{y}_{P}=2.1+2=4\end{matrix}$

Suy ra P’ có tọa độ là P’(3; 4).

Vậy M’(0; 0), N’(2; 5), P’(3; 4).

⦁ Ta xét hình màu đỏ:

Giả sử ta chọn điểm O trên hình màu đỏ như hình vẽ.

Lấy điểm B trùng O. Khi đó qua O, điểm đối xứng với B là chính nó.

Lấy điểm A bất kì trên hình màu đỏ sao cho A ≠ O.

Khi đó ta luôn xác định được một điểm A’ sao cho O là trung điểm của đoạn AA’.

Tương tự như vậy, với mỗi điểm M bất kì khác O trên hình màu đỏ, ta đều xác định được một điểm M’ trên hình sao cho O là trung điểm của đoạn MM’.

Vậy phép đối xứng tâm O biến hình màu đỏ thành chính nó.

⦁ Ta xét hình màu xanh lá:

Giả sử ta chọn điểm I trên hình màu xanh lá như hình vẽ.

Lấy điểm F trùng I. Khi đó qua I, điểm đối xứng với F là chính nó.

Lấy điểm E bất kì trên hình màu xanh lá sao cho E ≠ I.

Khi đó ta luôn xác định được một điểm E’ sao cho I là trung điểm của đoạn EE’.

Tương tự như vậy, với mỗi điểm M bất kì khác I trên hình màu xanh lá, ta đều xác định được một điểm M’ trên hình sao cho I là trung điểm của đoạn MM’.

Vậy phép đối xứng tâm I biến hình màu xanh lá thành chính nó.

⦁ Ta xét hình màu xanh biển:

Giả sử ta chọn điểm H trên hình màu xanh biển như hình vẽ.

Lấy điểm P trùng H. Khi đó qua H, điểm đối xứng với P là chính nó.

Lấy điểm P bất kì trên hình màu xanh biển sao cho P ≠ H.

Khi đó ta luôn xác định được một điểm P’ sao cho H là trung điểm của đoạn PP’.

Tương tự như vậy, với mỗi điểm M bất kì khác H trên hình màu xanh biển, ta đều xác định được một điểm M’ trên hình sao cho H là trung điểm của đoạn MM’.

Vậy phép đối xứng tâm H biến hình màu xanh biển thành chính nó.

Theo đề, ta có Đ$_{O}$(A) = A’.

Suy ra O là trung điểm AA’, do đó OA = OA’.

Chứng minh tương tự, ta được OB = OB’.

Xét ∆OAB và ∆OA’B’, có:

OA = OA’ (chứng minh trên);

$\widehat{AOB}=\widehat{{A}^{'}O{B}^{'}}$ (đối đỉnh);

OB = OB’ (chứng minh trên).

Do đó ∆OAB = ∆OA’B’ (c.g.c).

Suy ra AB = A’B’ (cặp cạnh tương ứng).

Vậy ∆OAB = ∆OA’B’ và A’B’ = AB.