Chuyên đề Toán 11 CTST Bài 5. Phép quay có đáp án

Giả sử chọn điểm O trên mỗi hình như hình vẽ dưới đây.

Trong cả 3 hình đã cho, kích thước của hình trước khi xoay và sau khi xoay không thay đổi.

a) Để tìm phép biến hình biến ∆BAC thành ∆BA’C’, ta tìm phép biến hình biến điểm B thành chính nó, biến điểm A thành điểm A’, biến điểm C thành điểm C’.

Với A(–7; 4), B(–2; 3), C(–5; 0), A’(–3; –2), C’(1; 0), ta có:

$\overrightarrow{BA}=(-5;1),\ \overrightarrow{B{A}^{'}}=(-1;-5),\ \overrightarrow{A{A}^{'}}=(4;-6)$.

Suy ra $BA=B{A}^{'}=\sqrt{26}$ và $A{A}^{'}=2\sqrt{13}$.

Khi đó $\cos \widehat{AB{A}^{'}}=\frac{B{A}^{2}+B{{A}^{'}}^{2}-A{{A}^{'}}^{2}}{2.BA.B{A}^{'}}=\frac{26+26-{(2\sqrt{13})}^{2}}{2.\sqrt{26}.\sqrt{26}}=0$.

Vì vậy $(BA,B{A}^{'})=\widehat{AB{A}^{'}}=90^{\circ}$.

Suy ra phép biến hình biến đoạn thẳng BA thành đoạn thẳng BA’ là phép biến hình biến điểm B thành điểm B, biến điểm A thành điểm A’ sao cho BA’ = BA và góc lượng giác (BA, BA’) = 90° (1)

Thực hiện tương tự, ta được $BC=B{C}^{'}=3\sqrt{2}$ và $(BC,B{C}^{'})=90^{\circ}$.

Suy ra phép biến hình biến đoạn thẳng BC thành đoạn thẳng BC’ là phép biến hình biến điểm B thành điểm B, biến điểm C thành điểm C’ sao cho BC’ = BC và góc lượng giác (BC, BC’) = 90° (2)

Từ (1), (2), ta thu được phép biến hình biến ∆BAC thành ∆BA’C’ là phép biến hình biến điểm B thành chính nó, biến điểm A thành điểm A’ sao cho BA’ = BA và góc lượng giác (BA, BA’) = 90° và biến điểm C thành điểm C’ sao cho BC’ = BC và góc lượng giác (BC, BC’) = 90°.

b) Đặt f(M) = M’. Trong đó, M’ là điểm nằm trên (C) sao cho góc lượng giác (OM, OM’) bằng 60°.

Ta thấy f là một quy tắc sao cho ứng với mỗi điểm M đều xác định duy nhất một điểm M’.

Vậy f là một phép biến hình.

Cách vẽ điểm M’ theo quy tắc trên với góc lượng giác (OM, OM’) bằng –30°:

– Dùng compa vẽ đường tròn (C) tâm O bán kính OM.

– Trên (C) chọn điểm M’ sao cho góc lượng giác (OM, OM’) bằng –30°.

Ta có hình vẽ sau:

a) Để con tàu rẽ sang hướng tây, người lái tàu phải thực hiện phép quay với tâm là tâm của bánh lái và góc quay φ = 90°.

b) Để con tàu rẽ sang hướng đông, người lái tàu phải thực hiện phép quay với tâm là tâm của bánh lái và góc quay φ = –90°.

Ta có Q(O, φ) biến điểm A khác O thành điểm A’ sao cho OA = OA’ và (OA, OA’) = φ nên $\widehat{AO{A}^{'}}=φ$.

Tương tự, ta có Q(O, φ) biến điểm B khác O thành điểm B’ sao cho OB = OB’ và (OB, OB’) = φ nên $\widehat{BO{B}^{'}}=φ$.

Ta có $\widehat{AO{A}^{'}}=\widehat{BO{B}^{'}}\ (=φ)$.

Suy ra $\widehat{AOB}+\widehat{BO{A}^{'}}=\widehat{BO{A}^{'}}+\widehat{{A}^{'}O{B}^{'}}$.

Do đó $\widehat{AOB}=\widehat{{A}^{'}O{B}^{'}}$.

Xét ∆OAB và ∆OA’B’, có:

OA = OA’ (chứng minh trên);

OB = OB’ (chứng minh trên);

$\widehat{AOB}=\widehat{{A}^{'}O{B}^{'}}$ (chứng minh trên).

Vậy ∆OAB = ∆OA’B’ (c.g.c).