Bộ 5 đề thi giữa kì 2 Toán 8 Kết nối tri thức (Tự luận) có đáp án - Đề 4

a) Nửa quãng đường dài là: $48:2 = 24\,\,{\rm{(km)}}$

Thời gian anh Nam đi trong nửa đoạn đường đầu là: $\frac{{24}}{x}$ (giờ)

b) Tốc độ ở nửa đoạn đường sau là: $x - 4$ (km/giờ).

Thời gian anh Nam đi trong nửa đoạn đường sau là: $\frac{{24}}{{x - 4}}$ (giờ)

a) Ta có ${x^2} - 4 = \left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right).$

${x^2} + x + 1 = {x^2} + 2 \cdot x \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{3}{4} = {\left( {x + \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{3}{4} \ge \frac{3}{4} > 0$ với mọi $x.$

Khi đó, điều kiện xác định của biểu thức $A$ là ${x^2} - 4 \ne 0,$ $x - 1 \ne 0$ hay $x - 2 \ne 0,$ $x + 2 \ne 0$ và $x - 1 \ne 0$, tức là $x \ne 2,\,\,x \ne - 2$ và $x \ne 1.$

Vậy điều kiện xác định của biểu thức $A$ là $x \ne 2,\,\,x \ne - 2$ và $x \ne 1.$

b) Với $x \ne 2,\,\,x \ne - 2$ và $x \ne 1,$ ta có:

$$A = \frac{{{x^3} - 1}}{{{x^2} - 4}} \cdot \left( {\frac{1}{{x - 1}} - \frac{{x + 1}}{{{x^2} + x + 1}}} \right)$$

$= \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}{{{x^2} - 4}} \cdot \frac{1}{{x - 1}} - \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}{{{x^2} - 4}} \cdot \frac{{x + 1}}{{{x^2} + x + 1}}$

$= \frac{{{x^2} + x + 1}}{{{x^2} - 4}} - \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}{{{x^2} - 4}}$

$= \frac{{{x^2} + x + 1 - \left( {{x^2} - 1} \right)}}{{{x^2} - 4}}$$= \frac{{{x^2} + x + 1 - {x^2} + 1}}{{{x^2} - 4}}$

$$= \frac{{x + 2}}{{{x^2} - 4}} = \frac{{x + 2}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {x - 2} \right)}} = \frac{1}{{x - 2}}.$$

Vậy với $x \ne 2,\,\,x \ne - 2$ và $x \ne 1,$ thì $A = \frac{1}{{x - 2}}.$

c) Ta có $\left| {x + 3} \right| = 1$ suy ra $x + 3 = 1$ hoặc $x + 3 = - 1$

Do đó $x = - 2$ (không thỏa mãn điều kiện) hoặc $x = - 4$ (thỏa mãn điều kiện).

Thay $x = - 4$ vào biểu thức $A = \frac{1}{{x - 2}},$ ta được: $A = \frac{1}{{ - 4 - 2}} = - \frac{1}{6}.$

Vậy $A = - \frac{1}{6}$ khi $\left| {x + 3} \right| = 1.$

a) $- \frac{1}{2}x + 2 = \frac{5}{2}x - 1$

$- \frac{1}{2}x - \frac{5}{2}x = - 1 - 2$

$- 3x = - 3$

$x = 1.$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm $x = 1.$

c) $\frac{{2x - 1}}{3} - \frac{{x + 7}}{4} = \frac{{5 - 3x}}{2}$

$\frac{{4\left( {2x - 1} \right)}}{{12}} - \frac{{3\left( {x + 7} \right)}}{{12}} = \frac{{6\left( {5 - 3x} \right)}}{{12}}$

$8x - 4 - 3x - 21 = 30 - 18x$

$8x - 3x + 18x = 30 + 4 + 21$

$23x = 55$

$x = \frac{{55}}{{23}}.$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm $x = \frac{{55}}{{23}}.$

b) $3\left( {x - 5} \right) + 5x = 2x - 7$

$$3x - 15 + 5x = 2x - 7$$

$$3x + 5x - 2x = 15 - 7$$

$$6x = 8$$

$$x = \frac{4}{3}.$$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm $x = \frac{4}{3}.$

d) ${\left( {x - 3} \right)^3} - 2\left( {x - 1} \right) = x{\left( {x - 2} \right)^2} - 5{x^2}$

${x^3} - 9{x^2} + 27x - 27 - 2x + 2 = x\left( {{x^2} - 4x + 4} \right) - 5{x^2}$

${x^3} - 9{x^2} + 25x - 25 = {x^3} - 4{x^2} + 4x - 5{x^2}$

$21x = 25$

$x = \frac{{25}}{{21}}$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là $x = \frac{{25}}{{21}}.$

Gọi $x$ (món hàng) là số món hàng công ty ABC giao cho khách ngày 05/01/2025 $\left( {x \in \mathbb{N}*} \right).$

Số shipper dự tính là: $\frac{x}{{30}}$ (người).

Số shipper thực tế là: $\frac{x}{{36}}$ (người).

Do số shipper vận chuyển hàng giảm đi 3 người nên ta có phương trình:

$\frac{x}{{30}} - \frac{x}{{36}} = 3$

$$\left( {\frac{1}{{30}} - \frac{1}{{36}}} \right)x = 3$$

$\frac{1}{{180}}x = 3$

$x = 540$ (thỏa mãn).

Vậy ngày 05/01/2025 công ty ABC giao cho khách 540 món hàng.

a) Xét $\Delta ABC$ và $\Delta HBA$ có:

$\widehat {BAC} = \widehat {BHA} = 90^\circ$ và $\widehat B$ là góc chung.

Do đó (g.g).

b) Vì tam giác $ABC$ vuông tại $A,$ theo định lí Pythagore ta có: $B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} = {6^2} + {8^2} = 100.$

Suy ra $BC = 10{\rm{\;cm}}.$

Theo câu a), nên $\frac{{AC}}{{HA}} = \frac{{BC}}{{AB}}$ (tỉ số cạnh tương ứng).

Suy ra $AH = \frac{{AB \cdot AC}}{{BC}} = \frac{{6 \cdot 8}}{{10}} = 4{,}8{\rm{\;cm}}{\rm{.}}$

c) Xét $\Delta ACD$ và $\Delta HCE$ có:

$\widehat {DAC} = \widehat {EHC} = 90^\circ$ và $\widehat {ACD} = \widehat {HCE}$ (do $CD$ là tia phân giác của $\widehat {ACB}).$

Do đó (g.g).

Suy ra $\frac{{AC}}{{HC}} = \frac{{AD}}{{HE}}$ (tỉ số cạnh tương ứng) nên $\frac{{AC}}{{AD}} = \frac{{HC}}{{HE}}$ (*)

d) ⦁ Chứng minh tương tự câu a), ta cũng có: (g.g).

Mà hay nên

Suy ra $\frac{{BH}}{{AH}} = \frac{{AB}}{{CA}}$ (tỉ số cạnh tương ứng), do đó $BH = \frac{{AB}}{{AC}} \cdot AH = \frac{6}{8} \cdot 4{,}8 = 3{,}6{\rm{\;cm}}.$

Khi đó $HC = BC - BH = 10 - 3{,}6 = 6{,}4{\rm{\;cm}}.$

⦁ Ta có $CD$ là phân giác $\widehat {ACB}$ nên $\frac{{CA}}{{CB}} = \frac{{DA}}{{DB}},$ do đó $\frac{{AC}}{{AD}} = \frac{{BC}}{{BD}}.$

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

$$\frac{{AC}}{{AD}} = \frac{{BC}}{{BD}} = \frac{{AC + BC}}{{AD + BD}} = \frac{{AC + BC}}{{AB}} = \frac{{8 + 10}}{6} = 3.$$

Suy ra $AD = \frac{{AC}}{3} = \frac{8}{3}{\rm{\;cm}}$ và $\frac{{HC}}{{HE}} = \frac{{AC}}{{AD}} = 3.$

Khi đó $HE = \frac{{HC}}{3} = \frac{{6{,}4}}{3} = \frac{{32}}{{15}}.$

Ta có $\frac{{{S_{ACD}}}}{{{S_{HCE}}}} = \frac{{\frac{1}{2}AD \cdot AC}}{{\frac{1}{2}HE \cdot HC}} = \frac{{AD \cdot AC}}{{HE \cdot HC}} = \frac{{\frac{8}{3} \cdot 8}}{{\frac{{32}}{{15}} \cdot 6{,}4}} = \frac{{25}}{{16}}.$

Vậy tỉ số diện tích của $\Delta ACD$ và $\Delta HCE$ là $\frac{{25}}{{16}}.$