Bộ 5 đề thi giữa kì 2 Toán 8 Kết nối tri thức (Tự luận) có đáp án - Đề 3

a) Thời gian xúc $5\,\,000\,\,{{\rm{m}}^{\rm{3}}}$ đầu tiên là: $\frac{{5\,\,000}}{x}$ (ngày).

a) Phần việc còn lại là: $11\,\,600 - 5\,\,000 = 6\,\,600{\rm{ }}\left( {{{\rm{m}}^{\rm{3}}}} \right)$.

Năng suất làm việc ở phần việc còn lại: $x + 25$ $({{\rm{m}}^{\rm{3}}}$/ngày)

Thời gian làm nốt phần việc còn lại: $\frac{{6\,\,600}}{{x + 25}}$ (ngày).

a) Điều kiện xác định của biểu thức $M$ là $\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 2x \ne 0\\x \ne 0\end{array} \right.,$ hay $\left\{ \begin{array}{l}x\left( {x - 2} \right) \ne 0\\x \ne 0\end{array} \right..$

Khi đó $\left\{ \begin{array}{l}x \ne 0\\x - 2 \ne 0\end{array} \right.$ nên $\left\{ \begin{array}{l}x \ne 0\\x \ne 2\end{array} \right..$

Vậy điều kiện xác định của biểu thức $M$ là $x \ne 0$ và $x \ne 2$.

b) Với $x \ne 0$ và $x \ne 2,$ ta có:

$$M = \frac{1}{{{x^2} - 2x}} \cdot \left( {\frac{{{x^2} + 4}}{x} - 4} \right) + 1 = \frac{1}{{x\left( {x - 2} \right)}} \cdot \left( {\frac{{{x^2} + 4}}{x} - \frac{{4x}}{x}} \right) + 1$$

$$= \frac{1}{{x\left( {x - 2} \right)}} \cdot \frac{{{x^2} + 4 - 4x}}{x} + 1 = \frac{1}{{x\left( {x - 2} \right)}} \cdot \frac{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}{x} + 1$$

$$= \frac{{x - 2}}{{{x^2}}} + \frac{{{x^2}}}{{{x^2}}} = \frac{{{x^2} + x - 2}}{{{x^2}}}.$$

Vậy với $x \ne 0$ và $x \ne 2,$ thì $M = \frac{{{x^2} + x - 2}}{{{x^2}}}.$

Ta có $\left| {4 - x} \right| = 2$

Trường hợp 1. $4 - x = 2$

$x = 2$ (không thoả mãn).

Trường hợp 1. $4 - x = - 2$

$x = 6$ (thoả mãn).

Thay $x = 6$ vào biểu thức $M = \frac{{{x^2} + x - 2}}{{{x^2}}},$ ta được: $M = \frac{{{6^2} + 6 - 2}}{{{6^2}}} = \frac{{36 + 6 - 2}}{{36}} = \frac{{10}}{9}.$

Vậy $M = \frac{{10}}{9}$ khi $\left| {4 - x} \right| = 2.$

c) Với $x \ne 0$ và $x \ne 2,$ ta có $M = \frac{{{x^2} + x - 2}}{{{x^2}}} = 1 + \frac{1}{x} - \frac{2}{{{x^2}}}.$

Đặt $\frac{1}{x} = t\,\,\,\left( {t \ne 0;\,\,t \ne \frac{1}{2}} \right),$ khi đó:

$$M = 1 + t - 2{t^2} = - 2\left( {{t^2} - \frac{1}{2}t - \frac{1}{2}} \right) = - 2\left( {{t^2} - 2 \cdot t \cdot \frac{1}{4} + \frac{1}{{16}} - \frac{1}{2} - \frac{1}{{16}}} \right)$$

$$= - 2\left[ {{{\left( {t - \frac{1}{4}} \right)}^2} - \frac{9}{{16}}} \right] = \frac{9}{8} - 2{\left( {t - \frac{1}{4}} \right)^2}.$$

Vì ${\left( {t - \frac{1}{4}} \right)^2} \ge 0$ nên $- 2{\left( {t - \frac{1}{4}} \right)^2} \le 0,$ do đó $P \le \frac{9}{8}.$

Dấu đẳng thức xảy ra khi tức là $t = \frac{1}{4}$ (thoả mãn).

Với $t = \frac{1}{4},$ ta có $\frac{1}{x} = \frac{1}{4},$ suy ra $x = 4.$

Vậy giá trị lớn nhất củ$t - \frac{1}{4} = 0,$a $M$ là $\frac{9}{8}$ khi $x = 4.$

a) $- \frac{1}{2}x + 2 = \frac{5}{2}x - 1$

$- \frac{1}{2}x - \frac{5}{2}x = - 1 - 2$

$- 3x = - 3$

$x = 1.$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm $x = 1.$c) $\frac{x}{{20}} - \frac{{x - 10}}{{25}} = - 2$

$\frac{{5x}}{{100}} - \frac{{4\left( {x - 10} \right)}}{{100}} = - \frac{{200}}{{100}}$

$5x - 4x + 40 = - 200$

$x = - 240$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm $x = - 240.$

b) $2x - 1 - \left( {4x - 1} \right) = x + 6$

$2x - 1 - 4x + 1 = x + 6$

$2x - 4x - x = 6$

$- 3x = 6$

$x = - 2$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm $x = - 2.$

d) ${\left( {x - 5} \right)^2} - 13 = x\left( {x - 12} \right)$

$${x^2} - 10x + 25 - 13 = {x^2} - 12x$$

$${x^2} - {x^2} + 12x - 10x = 13 - 25$$

$$2x = - 12$$

$x = - 6.$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm $x = - 6.$

Gọi nồng độ muối trong dung dịch I là $x\,\,\left( \% \right)$ $\left( {x > 0} \right).$

Khi đó khối lượng muối có trong dung dịch I là: $200 \cdot \frac{x}{{100}} = 2x$ (g).

Do nồng độ muối trong dung dịch I lớn hơn nồng độ muối trong dung dịch II là 20% nên nồng độ muối trong dung dịch II là $x - 20\,\,\left( \% \right).$

Khi đó khối lượng muối có trong dung dịch II là: $300 \cdot \frac{{x - 20}}{{100}} = 3\left( {x - 20} \right)$ (g).

Khối lượng muối trong dung dịch sau khi trộn hai dung dịch là: $2x + 3\left( {x - 20} \right)$ (g).

Khối lượng dung dịch muối sau khi trộn hai dung dịch là: $200 + 300 = 500$ (g).

Do sau khi trộn hai dung dịch I và II thì được một dung dịch có nồng độ muối là 33% nên ta có phương trình: $\frac{{2x + 3\left( {x - 20} \right)}}{{500}} \cdot 100\% = 33\%$

$2x + 3x - 60 = 33 \cdot 5$

$5x = 225$

$x = 45$ (thỏa mãn).

Vậy nồng độ muối của dung dịch I và II lần lượt là $45\%$ và $25\% .$

a) Ta có $ABCD$ là hình bình hành nên $\widehat {ABC} = \widehat {ADC}$ $\left( 1 \right)$ (tính chất hình bình hành)

Mà $\widehat {HBC} = 180^\circ - \widehat {ABC}$ $\left( 2 \right)$ (hai góc kề bù)

$\widehat {KDC} = 180^\circ - \widehat {ADC}$ $\left( 3 \right)$ (hai góc kề bù)

Từ $\left( 1 \right)$, $\left( 2 \right)$, $\left( 3 \right)$ suy ra $\widehat {HBC} = \widehat {KDC}.$

Xét $\Delta CHB$ và $\Delta CKD$ có:

$\widehat {BHC} = \widehat {DKC} = 90^\circ$ và $\widehat {HBC} = \widehat {KDC}$

Do đó (g.g).

Suy ra $\frac{{CH}}{{CK}} = \frac{{CB}}{{CD}}$ (tỉ số cạnh tương ứng), hay $\frac{{CH}}{{CB}} = \frac{{CK}}{{CD}}$ (tính chất tỉ lệ thức).

b) Ta có $\widehat {ABC}$ là góc ngoài của $\Delta BHC$ nên $\widehat {ABC} = \widehat {BHC} + \widehat {BCH} = 90^\circ + \widehat {BCH}$$\left( 4 \right)$

Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $BC\,{\rm{//}}\,AD$ và $AB = CD$ (tính chất hình bình hành)

Mà $CK \bot AD$ nên $CK \bot BC$ nên $\widehat {BCK} = 90^\circ .$

Do đó $\widehat {KCH} = \widehat {BCK} + \widehat {BCH} = 90^\circ + \widehat {BCH}$ $\left( 5 \right)$

Từ $\left( 4 \right)$ và $\left( 5 \right)$ suy ra $\widehat {ABC} = \widehat {KCH}.$

Theo câu a, $\frac{{CH}}{{CB}} = \frac{{CK}}{{CD}}$ mà $AB = CD$ nên $\frac{{CH}}{{CB}} = \frac{{CK}}{{BA}}.$

Xét $\Delta CHK$ và $\Delta BCA$ có: $\widehat {KCH} = \widehat {ABC}$ và $\frac{{CH}}{{CB}} = \frac{{CK}}{{BA}}$

Do đó (c.g.c).

c) Kẻ $BE \bot AC$ tại $E$ $\left( {E \in AC} \right).$

Xét $\Delta AEB$ và $\Delta AHC$ có: $\widehat {AEB} = \widehat {AHC} = 90^\circ$ và $\widehat {HAC}$ là góc chung.

Do đó (g.g).

Suy ra $\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{AE}}{{AH}}$ (tỉ số cạnh tương ứng) nên $AB \cdot AH = AC \cdot AE$$\left( 6 \right)$

Xét $\Delta BCE$ và $\Delta CAK$ có:

$\widehat {BEC} = \widehat {CKA} = 90^\circ$ và $\widehat {BCE} = \widehat {CAK}$ (hai góc so le trong, $BC\,{\rm{//}}\,DA)$

Do đó (g.g).

Suy ra $\frac{{BC}}{{CA}} = \frac{{CE}}{{AK}}$ (tỉ số cạnh tương ứng) nên $BC \cdot AK = AC \cdot CE$

Mà $BC = AD$ nên $AD \cdot AK = AC \cdot CE$ $\left( 7 \right)$

Từ $\left( 6 \right)$ và $\left( 7 \right)$ suy ra: $AB \cdot AH + AD \cdot AK = AC \cdot AE + AC \cdot CE$

Hay $AB \cdot AH + AD \cdot AK = AC\left( {AE + CE} \right) = A{C^2}.$

d) Do $ABCD$ là hình bình hành nên $AB\,{\rm{//}}\,CD;\;AD\,{\rm{//}}\,BC$ (tính chất hình bình hành)

Hay $AM\,{\rm{//}}\,CD;\;AD\,{\rm{//}}\,NC.$

Vì $AD\,{\rm{//}}\,NC$ nên do đó $\frac{{IN}}{{ID}} = \frac{{IC}}{{IA}}$ (tỉ số cạnh tương ứng) $\left( 8 \right)$

Vì $AM\,{\rm{//}}\,DC$ nên do đó $\frac{{ID}}{{IM}} = \frac{{IC}}{{IA}}$ (tỉ số cạnh tương ứng) $\left( 9 \right)$

Từ $\left( 8 \right)$ và $\left( 9 \right)$ suy ra $\frac{{IN}}{{ID}} = \frac{{ID}}{{IM}},$ nên $IM \cdot IN = I{D^2}.$