Bộ 5 đề thi giữa kì 2 Toán 8 Kết nối tri thức (Tự luận) có đáp án - Đề 1

a) Biểu thức biểu thị số sản phẩm phải sản xuất trong một ngày theo kế hoạch là: $\frac{{10\,\,000}}{x}.$

b) Số ngày thực tế công ty may đó thực hiện là: $x - 1$ (ngày)

Số sản phẩm thực tế công ty may đó thực hiện là: $10\,\,000 + 80 = 10\,\,080$ (sản phẩm)

Biểu thức biểu thị số lượng sản phẩm thực tế đã làm được trong một ngày là: $\frac{{10\,\,080}}{{x - 1}}.$

a) Ta có ${x^2} - 1 = \left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right).$

Điều kiện xác định của biểu thức $P$ là $x - 1 \ne 0,$ $x + 1 \ne 0,$ $x \ne 0$ hay $x \ne 1,$ $x \ne - 1$ và $x \ne 0.$

Vậy điều kiện xác định của biểu thức $P$ là $x \ne 1,$ $x \ne - 1$ và $x \ne 0.$

b) Với điều kiện $x \ne 1,$ $x \ne - 1$ và $x \ne 0,$ ta có:

$P = \left( {\frac{{x + 1}}{{x - 1}} - \frac{{x - 1}}{{x + 1}} + \frac{{{x^2} - 3x}}{{{x^2} - 1}}} \right) \cdot \frac{{x + 4}}{x}$

$= \frac{{{{\left( {x + 1} \right)}^2} - {{\left( {x - 1} \right)}^2} + {x^2} - 3x}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} \cdot \frac{{x + 4}}{x}$

$= \frac{{{x^2} + 2x + 1 - \left( {{x^2} - 2x + 1} \right) + {x^2} - 3x}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} \cdot \frac{{x + 4}}{x}$

$= \frac{{4x + {x^2} - 3x}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} \cdot \frac{{x + 4}}{x}$

$= \frac{{{x^2} + x}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} \cdot \frac{{x + 4}}{x}$

$= \frac{{x\left( {x + 1} \right) \cdot \left( {x + 4} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right) \cdot x}}$$= \frac{{x + 4}}{{x - 1}}.$

Vậy với $x \ne 1,$ $x \ne - 1$ và $x \ne 0,$ thì $P = \frac{{x + 4}}{{x - 1}}.$

c) Với $x \ne 1,$ $x \ne - 1$ và $x \ne 0,$ ta có $P = \frac{{x + 4}}{{x - 1}} = \frac{{x - 1 + 5}}{{x - 1}} = 1 + \frac{5}{{x - 1}}.$

Với $x$ nguyên, để $P$ đạt giá trị nguyên thì $\frac{{2025}}{{x - 1}}$ là số nguyên

Do đó $5 \vdots \left( {x - 1} \right)$ hay $x - 1 \in$Ư$\left( 5 \right) = \left\{ {1; - 1;5; - 5} \right\}.$

Ta có bảng sau:

Vậy $x \in \left\{ {1;0;6; - 4} \right\}.$

a) $15 - 4x = x - 5$

$x - 4x = - 5 - 15$

$- 5x = - 20$

$x = 4.$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm $x = 4.$

c) $\frac{{7x - 1}}{6} = \frac{{16 - x}}{5} - 2x$

$\frac{{5\left( {7x - 1} \right)}}{{30}} = \frac{{6\left( {16 - x} \right)}}{{30}} - \frac{{2x \cdot 30}}{{30}}$

$35x - 5 = 96 - 6x - 60x$

$35x + 6x + 60x = 96 + 5$

$101x = 101$

$x = 1.$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm $x = 1.$

b) $x - 3\left( {2 - x} \right) = 2x - 4$

$$x - 6 + 3x = 2x - 4$$

$$x + 3x - 2x = - 4 + 6$$

$$2x = 2$$

$$x = 1.$$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm $x = 1.$

d) ${\left( {x + 3} \right)^2} - 13 = x\left( {x + 4} \right).$

$${x^2} + 6x + 9 - 13 = {x^2} + 4x$$

$2x=4$

x = 2

Vậy phương trình đã cho có nghiệm x =2

Gọi $x$ (học sinh) là số lượng học sinh đi tham quan $(x\in\mathbb{N}^*,\ x>27)$.

Số lượng giáo viên đi tham quan là: $x-27$ (giáo viên).

Giá vé của mỗi học sinh là:

$$375\,000\cdot(100\%-30\%)=262\,500\ \text{(đồng)}.$$

Giá vé của mỗi giáo viên là:

$$375\,000\cdot(100\%-10\%)=337\,500\ \text{(đồng)}.$$

Giá vé của $x$ học sinh là: $262\,500x$ (đồng).

Giá vé của $x-27$ giáo viên là: $337\,500(x-27)$ (đồng).

Vì tổng chi phí tham quan (sau khi giảm giá) là $12\,487\,500$ đồng nên ta có phương trình:

$$262\,500x+337\,500(x-27)=12\,487\,500.$$

$$600\,000x-9\,112\,500=12\,487\,500.$$

$$600\,000x=21\,600\,000 \Rightarrow x=36\ (\text{thỏa mãn}).$$

Số lượng giáo viên tham gia chuyến đi là:

$$36-27=9.$$

Vậy có $36$ học sinh và $9$ giáo viên tham gia chuyến đi.

a) Ta có:

⦁ $AD = DE = EC = \frac{1}{3}AC = \frac{1}{3} \cdot 3a = a.$

⦁ $CD = DE + EC = a + a = 2a.$

Xét $\Delta ABD$ vuông tại $A,$ theo định lí Pythagore ta có:

$B{D^2} = A{B^2} + A{D^2} = {a^2} + {a^2} = 2{a^2}.$

Suy ra $BD = a\sqrt 2 .$

Khi đó: $\frac{{DB}}{{DE}} = \frac{{a\sqrt 2 }}{a} = \sqrt 2$ và $\frac{{DC}}{{DB}} = \frac{{2a}}{{a\sqrt 2 }} = \sqrt 2 .$

b) Theo câu a ta có $\frac{{DB}}{{DE}} = \frac{{DC}}{{DB}} = \sqrt 2 .$

Xét $\Delta BDE$ và $\Delta CDB$ có:

$\widehat {CDB}$ là góc chung và $\frac{{DB}}{{DE}} = \frac{{DC}}{{DB}}$

Do đó (c.g.c).

c) Từ câu c, suy ra $\widehat {DEB} = \widehat {DBC}$ (hai góc tương ứng).

Do đó $\widehat {AEB} + \widehat {ACB} = \widehat {DBC} + \widehat {DCB}.$

Xét $\Delta BCD$ có $\widehat {ADB}$ là góc ngoài tại đỉnh $D$ nên $\widehat {ADB} = \widehat {DBC} + \widehat {DCB}.$

Mà $\Delta ABD$ vuông tại $A$ có $AB = AD = a$ nên là tam giác vuông cân tại $A,$ do đó $\widehat {ADB} = 45^\circ .$

Suy ra $\widehat {AEB} + \widehat {ACB} = \widehat {DBC} + \widehat {DCB} = \widehat {ADB} = 45^\circ .$

Vậy $\widehat {AEB} + \widehat {ACB} = 45^\circ .$

d) Ta có: $BD \cdot BI + CD \cdot CA = BD \cdot \left( {BD + DI} \right) + CD \cdot \left( {CD + AD} \right)$

$= B{D^2} + BD \cdot DI + C{D^2} + CD \cdot AD$

$= B{D^2} + BD \cdot DI + C{D^2} + CD \cdot AD$

Xét $\Delta ABD$ và $\Delta ICD$ có $\widehat {BAD} = \widehat {CID} = 90^\circ$ và $\widehat {ADB} = \widehat {IDC}$ (đối đỉnh).

Do đó (g.g)

Suy ra $\frac{{BD}}{{CD}} = \frac{{AD}}{{IC}}$ (tỉ số cạnh tương ứng), nên $BD \cdot DI = CD \cdot AD.$

Khi đó $BD \cdot BI + CD \cdot CA = B{D^2} + 2BD \cdot DI + C{D^2}$

$= B{D^2} + 2BD \cdot DI + D{I^2} + C{D^2} - D{I^2}$

$= {\left( {BD + DI} \right)^2} + C{D^2} - D{I^2}$

$= B{I^2} + C{D^2} - D{I^2}$

Xét $\Delta ICD$ vuông tại $I,$ theo định lí Pythagore ta có $D{I^2} + I{C^2} = C{D^2}$

Suy ra $I{C^2} = C{D^2} - D{I^2},$ nên $BD \cdot BI + CD \cdot CA = B{I^2} + I{C^2}.$

Lại có, $B{I^2} + I{C^2} = B{C^2}$ (áp dụng định lí Pythagore cho tam giác $BIC$ vuông tại $I).$

Vậy $BD \cdot BI + CD \cdot CA = B{C^2}.$