Bộ 10 đề thi giữa kì 2 Toán 12 Chân trời sáng tạo cấu trúc mới có đáp án (Đề 6)

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$. Gọi ${S_1};{S_2}$ là diện tích của hình phẳng tương ứng như trong hình vẽ. Biết ${S_1} = 4$ và ${S_2} = \frac{4}{3}$. Tính $\int\limits_1^6 {f\left( x \right)dx}$.

Một chiếc xe đang chuyển động đều với tốc độ ${v_0} = 15{\rm{m/s}}$ thì gặp chướng ngại vật rồi phanh gấp với gia tốc không đổi là $a = - 3{\rm{m/}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}$. Kí hiệu $v\left( t \right)$ là tốc độ của xe, $a\left( t \right)$ là gia tốc của xe, $s\left( t \right)$ là quãng đường xe đi được cho đến thời điểm $t$ giây kể từ lúc phanh xe.

a) $v\left( t \right) = a'\left( t \right)$.

b) $a\left( t \right) = s''\left( t \right)$.

c) Tính từ lúc phanh xe, sau 4 giây thì xe dừng hẳn.

d) Quãng đường xe đi được tính từ lúc phanh xe đến khi dừng hẳn nằm trong khoảng từ 35 mét đến 40 mét.

Cho hàm số $y = f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{2}{{x + 1}}\;{\rm{khi}}\;0 \le x < 1\\2x - 1\;{\rm{khi}}\;1 \le x \le 3\end{array} \right.$.

a) Tích phân $\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} = \int\limits_0^1 {\frac{2}{{x + 1}}dx}$.

b) Tích phân $\int\limits_2^3 {f\left( x \right)dx} = \int\limits_2^3 {\frac{2}{{x + 1}}dx}$.

c) Tích phân $\int\limits_1^3 {f\left( x \right)dx} = 6$.

d) Tích phân $\int\limits_0^3 {f\left( x \right)dx} = 6 + \ln 4$.

Gọi $\left( H \right)$ là hình giới hạn bởi đồ thị các hàm số $y = \sqrt x ,y = 2 - x$ và trục hoành. Kí hiệu diện tích hình $\left( H \right)$ là ${S_1}$ và diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = 2 - x,y = \sqrt x$ và trục $Oy$ là ${S_2}$.

a) Thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = 2 - x,x = 0,x = 1$ và trục $Ox$ xung quanh trục $Ox$ bằng $\frac{{7\pi }}{3}$.

b) Giá trị ${S_1} = \frac{7}{6}$.

c) ${S_1} = {S_2}$.

d) Thể tích khối tròn xoay được tạo bởi khi quay hình $\left( H \right)$ quanh trục $Ox$ bằng $\pi$.

Trong không gian tọa độ $Oxyz$, cho mặt phẳng $\left( P \right):x + y + z + 1 = 0$ và hai điểm $A\left( {1; - 1;2} \right),B\left( {2;1;1} \right)$. Gọi $\left( Q \right)$ là mặt phẳng chứa $A,B$ và vuông góc với mặt phẳng $\left( P \right)$.

a) Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( Q \right)$ là $\left( {3; - 2; - 1} \right)$.

b) Phương trình mặt phẳng $\left( Q \right)$ là $3x - 2y - z + 3 = 0$.

c) Điểm $M\left( {3;1;2} \right)$ không thuộc mặt phẳng $\left( Q \right)$.

d) Mặt phẳng $\left( Q \right)$ song song với mặt phẳng $\left( R \right):6x - 4y - 2z - 6 = 0$.

Một vật có kích thước và hình dáng như hình vẽ dưới đây. Đáy là hình tròn giới hạn bởi đường tròn ${x^2} + {y^2} = 16$, cắt vật bởi các mặt phẳng vuông góc với trục $Ox$ ta được thiết diện là tam giác đều. Khi đó thể tích của vật thể có dạng $\frac{{a\sqrt 3 }}{b}$ với $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản. Tính $S = a + b$.