Bộ 10 đề thi giữa kì 2 Toán 12 Chân trời sáng tạo cấu trúc mới có đáp án (Đề 6)

Đáp án đúng là: B

Vì ${F'_2}\left( x \right) = 3 + \frac{1}{x}$ nên ${F_2}\left( x \right) = 3x + \ln x$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right)$ trên $\left( {0; + \infty } \right)$.

Đáp án đúng là: B

$\int\limits_1^2 {\left( {2 + f\left( x \right)} \right)dx}$$= \left. {\left( {2x + {x^3}} \right)} \right|_1^2 = 9$.

Đáp án đúng là: A

$T = \int\limits_a^b {f'\left( x \right)dx} = \left. {f\left( x \right)} \right|_a^b = f\left( b \right) - f\left( a \right) = - 4 - 2 = - 6$.

Đáp án đúng là: D

$S = \int\limits_0^1 {\left| {{x^2} - x} \right|} dx$.

Đáp án đúng là: A

$I = \int\limits_0^1 {\left( {\frac{1}{{2x + 1}} + 3\sqrt x } \right)} dx = \left. {\left( {\frac{1}{2}\ln \left| {2x + 1} \right| + 2{x^{\frac{3}{2}}}} \right)} \right|_0^1 = \frac{1}{2}\ln 3 + 2 = \ln \sqrt 3 + 2$.

Đáp án đúng là: C

$\int\limits_1^6 {f\left( x \right)dx}$$= \int\limits_1^4 {f\left( x \right)dx} + \int\limits_4^6 {f\left( x \right)dx}$$= {S_1} - {S_2} = 4 - \frac{4}{3} = \frac{8}{3}$.

Đáp án đúng là: A

Mặt phẳng $\left( P \right):x - 2y - 3z + 1 = 0$ có một vectơ pháp tuyến là $\left( {1; - 2; - 3} \right)$.

Đáp án đúng là: A

Thay tọa độ điểm $M\left( {1;1;\frac{3}{2}} \right)$ vào phương trình mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ ta được $1 - 1 + 2.\frac{3}{2} - 3 = 0$.

Do đó $M \in \left( \alpha \right)$.

Đáp án đúng là: B

Phương trình mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$ là $\frac{x}{3} + \frac{y}{1} + \frac{z}{{ - 2}} = 1$.

Đáp án đúng là: B

Ta có $\overrightarrow {AB} = (1;2;2)$.

Mặt phẳng đi qua $A$ và vuông góc với $AB$ nên nhận $\overrightarrow {AB} = (1;2;2)$ làm vectơ pháp tuyến có phương trình: $1(x - 0) + 2(y - 0) + 2(z - 1) = 0 \Leftrightarrow x + 2y + 2z - 2 = 0$.

Đáp án đúng là: B

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}\left( P \right)//\left( Q \right)\\A\left( {8;0;0} \right) \in \left( P \right)\end{array} \right. \Rightarrow d\left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = d\left( {A,\left( Q \right)} \right) = \frac{{\left| {8 + 2.0 + 2.0 - 4} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {2^2}} }} = \frac{4}{3}.$

Đáp án đúng là: B

Phương trình đoạn chắn của mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$ là: $\frac{x}{2} + \frac{y}{3} + \frac{z}{{ - 1}} = 1$.

Mặt phẳng $\left( P \right)$ song song với mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$ nên

$\left( P \right)\,:$$\frac{1}{2}x + \frac{1}{3}y - z + m = 0\,\,\,\left( {m \ne - 1} \right)$.

Do $D\left( {1;1;1} \right) \in \left( P \right)$có: $\frac{1}{2}.1 + \frac{1}{3}.1 - 1 + m = 0\,\,\, \Leftrightarrow m - \frac{1}{6} = 0 \Leftrightarrow m = \frac{1}{6}$.

Vậy $\left( P \right):\,\frac{1}{2}x + \frac{1}{3}y - z + \frac{1}{6} = 0\,\,\, \Leftrightarrow 3x + 2y - 6z + 1 = 0$.

a) S, b) Đ, c) S, d) Đ

a) $v\left( t \right) = \int {a\left( t \right)dt}$.

b) $a\left( t \right) = s''\left( t \right)$.

c) Có $v\left( t \right) = \int {a\left( t \right)dt} = - \int {3dt} = - 3t + C$.

Mà $v\left( 0 \right) = 15{\rm{m/s}}$ nên $C = 15$.

Do đó $v\left( t \right) = - 3t + 15$.

Xe dừng hẳn khi $v\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow - 3t + 15 = 0 \Leftrightarrow t = 5$.

d) Quãng đường xe đi được là $\int\limits_0^5 {\left( { - 3t + 15} \right)} dt = 37{,}5$.

a) Đ, b) S, c) Đ, d) Đ

a) $\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} = \int\limits_0^1 {\frac{2}{{x + 1}}dx}$.

b) $\int\limits_2^3 {f\left( x \right)dx} = \int\limits_2^3 {\left( {2x - 1} \right)dx}$.

c) $\int\limits_1^3 {f\left( x \right)dx} = \int\limits_1^3 {\left( {2x - 1} \right)dx} = \left. {\left( {{x^2} - x} \right)} \right|_1^3 = 9 - 3 - \left( {1 - 1} \right) = 6$.

d) $\int\limits_0^3 {f\left( x \right)dx} = \int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} + \int\limits_1^3 {f\left( x \right)dx}$$= \int\limits_0^1 {\frac{2}{{x + 1}}dx} + 6$$= \left. {2\ln \left| {x + 1} \right|} \right|_0^1 + 6 = 2\ln 2 + 6 = \ln 4 + 6$.

a) Đ, b) Đ, c) S, d) S

a) $V = \pi \int\limits_0^1 {{{\left( {2 - x} \right)}^2}dx} = \frac{{7\pi }}{3}$.

b) Ta có ${S_1} = \int\limits_0^1 {\sqrt x dx} + \int\limits_1^2 {\left| {2 - x} \right|dx}$$= \left. {\frac{2}{3}{x^{\frac{3}{2}}}} \right|_0^1 + \left. {\left( {2x - \frac{{{x^2}}}{2}} \right)} \right|_1^2$$= \frac{2}{3} + 4 - 2 - \left( {2 - \frac{1}{2}} \right) = \frac{7}{6}$.

c) Ta có ${S_2} = {S_{\Delta OAB}} - {S_1} = \frac{1}{2}.2.2 - \frac{7}{6} = \frac{5}{6}$. (với $A\left( {0;2} \right),B\left( {2;0} \right)$)

d) $V = \pi \int\limits_0^1 {{{\left( {\sqrt x } \right)}^2}dx} + \pi \int\limits_1^2 {{{\left( {2 - x} \right)}^2}dx}$$= \left. {\pi \frac{{{x^2}}}{2}} \right|_0^1 - \left. {\pi \frac{{{{\left( {2 - x} \right)}^3}}}{3}} \right|_1^2$$= \frac{\pi }{2} + \frac{\pi }{3} = \frac{{5\pi }}{6}$.

a) Đ, b) S, c) Đ, d) S

a) Có $\overrightarrow {AB} = \left( {1;2; - 1} \right),\overrightarrow {{n_P}} = \left( {1;1;1} \right)$, $\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {{n_P}} } \right] = \left( {3; - 2; - 1} \right)$.

Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( Q \right)$ là $\left( {3; - 2; - 1} \right)$.

b) Mặt phẳng $\left( Q \right)$ đi qua điểm $A\left( {1; - 1;2} \right)$ và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow n = \left( {3; - 2; - 1} \right)$ có dạng

$3\left( {x - 1} \right) - 2\left( {y + 1} \right) - \left( {z - 2} \right) = 0$ hay $3x - 2y - z - 3 = 0$.

c) Thay tọa độ điểm $M\left( {3;1;2} \right)$ vào phương trình mặt phẳng $\left( Q \right)$ ta được $3.3 - 2.1 - 2 - 3 = 2 \ne 0$.

Do đó điểm $M\left( {3;1;2} \right)$ không thuộc mặt phẳng $\left( Q \right)$.

d) Có $\overrightarrow {{n_R}} = \left( {6; - 4; - 2} \right) = 2\left( {3; - 2; - 1} \right) = 2\overrightarrow {{n_Q}}$ và $- 6 = 2.\left( { - 3} \right)$.

Do đó $\left( Q \right) \equiv \left( R \right)$.

Ta có $\int {\left( {3{x^2} + 1} \right)dx = {x^3} + x + C}$.

Do đó $a = 1;b = 0;c = 1$. Suy ra $a + b + c = 2$.

$\int {\frac{{4x + 1}}{{2x + 3}}dx} = \int {\frac{{2\left( {2x + 3} \right) - 5}}{{2x + 3}}dx} = \int {2dx} - \int {\frac{5}{{2x + 3}}dx}$$= 2x - \frac{5}{2}\ln \left| {2x + 3} \right| + C$$= 2x - \frac{5}{2}\ln \left( {2x + 3} \right) + C$ vì $x \in \left( { - \frac{3}{2}; + \infty } \right)$.

Suy ra $a = 2;b = 5$. Do đó $2a - b = - 1$.

Theo đề ta có $\int\limits_0^5 {\left( {3a{t^2} + bt} \right)dt} = \left. {\left( {a{t^3} + \frac{1}{2}b{t^2}} \right)} \right|_0^5 = 125a + \frac{{25}}{2}b = 150$.

Tương tự ta có $1000a + 50b = 1100$.

Từ đó ta có hệ $\left\{ \begin{array}{l}125a + \frac{{25}}{2}b = 150\\1000a + 50b = 1100\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = 2\end{array} \right.$.

Vậy thể tích nước sau khi bơm được 20 giây là $\int\limits_0^{20} {\left( {3{t^2} + 2t} \right)dt}$$= \left. {\left( {{t^3} + {t^2}} \right)} \right|_0^{20} = 8400$.

Bán kính đường tròn là 4.

Vì cắt vật bởi các mặt phẳng vuông góc với trục $Ox$ tại $x\left( { - 4 \le x \le 4} \right)$.

Suy ra cạnh của tam giác đều là $2\sqrt {16 - {x^2}}$.

Do đó diện tích tam giác đều là $S = \frac{{\sqrt 3 }}{4}{\left( {2\sqrt {16 - {x^2}} } \right)^2} = \sqrt 3 \left( {16 - {x^2}} \right)$.

Thể tích vật thể là $V = \int\limits_{ - 4}^4 {\left[ {\sqrt 3 \left( {16 - {x^2}} \right)} \right]dx} = \frac{{256\sqrt 3 }}{3}$.

Suy ra $a = 256;b = 3$. Do đó $a + b = 259$.

Mặt phẳng $\left( \beta \right)$ song song với mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ nên mặt phẳng $\left( \beta \right)$ có dạng:$x - 2y + 2z + d = 0\left( {d \ne 2} \right)$.

Có $d\left( {M,\left( \beta \right)} \right) = 1 \Leftrightarrow \frac{{\left| {1 - 2.2 + 2.\left( { - 1} \right) + d} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {2^2}} }} = 1 \Leftrightarrow \left| {d - 5} \right| = 3 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}d = 8\left( {TM} \right)\\d = 2\left( {KTM} \right)\end{array} \right.$.

Do đó $\left( \beta \right):x - 2y + 2z + 8 = 0$. Suy ra $b = 2;c = 2;d = 8$.

Vậy $S = 3.2 - 2 + 8 = 12$.

Gọi $A\left( {a;0;0} \right),B\left( {0;b;0} \right),C\left( {0;0;c} \right)$ (điều kiện $a > 0,b > 0,c > 0$).

Độ dài $OA,OB,OC$ theo thứ tự lập thành cấp số nhân có công bội bằng 3.

Suy ra $\left\{ \begin{array}{l}OB = 3OA\\OC = 3OB\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 3a\\c = 3b\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 3a\\c = 9a\end{array} \right.$.

Do đó $A\left( {a;0;0} \right),B\left( {0;3a;0} \right),C\left( {0;0;9a} \right)$.

Khi đó ta có phương trình mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ là $\frac{x}{a} + \frac{y}{{3a}} + \frac{z}{{9a}} = 1$.

Vì $M\left( {1;2;3} \right) \in \left( \alpha \right)$ nên $\frac{1}{a} + \frac{2}{{3a}} + \frac{3}{{9a}} = 1 \Leftrightarrow 6 = 3a \Leftrightarrow a = 2$.

Suy ra $\left( \alpha \right):\frac{x}{2} + \frac{y}{6} + \frac{z}{{18}} = 1 \Leftrightarrow 9x + 3y + z - 18 = 0$.

Do đó $d\left( {O,\left( \alpha \right)} \right) = \frac{{\left| {9.0 + 3.0 + 0 - 18} \right|}}{{\sqrt {{9^2} + {3^2} + {1^2}} }} = \frac{{18\sqrt {91} }}{{91}} \approx 1{,}9$.