Bộ 10 đề thi giữa kì 2 Toán 12 Chân trời sáng tạo cấu trúc mới có đáp án (Đề 9)

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có đạo hàm là $f'\left( x \right) = 8{x^3} + \sin x,\forall x \in \mathbb{R}$.

a) Hàm số $y = f\left( x \right)$ là một nguyên hàm của hàm số $f'\left( x \right)$.

b) Biết $f\left( 0 \right) = 3$. Khi đó, $f\left( x \right) = 2{x^4} - \cos x + 3$.

c) $\int {f\left( x \right)dx} = \int {\left( {2{x^4} - \cos x + 3} \right)dx} = \frac{2}{5}{x^5} - \sin x + 3x + C$ với $C$ là hằng số.

d) Biết $F\left( x \right)$ là nguyên hàm của $f\left( x \right)$ thỏa mãn $F\left( 0 \right) = 2$. Khi đó $F\left( 1 \right) = \frac{{32}}{5} - \sin 1$.

Cho hàm số $f\left( x \right) = \sin 2x$ liên tục trên $\mathbb{R}$.

a) $\int\limits_0^\pi {f\left( x \right)dx} = 0$.

b) Biết $F\left( 0 \right) = \frac{1}{2}$ thì $F\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 1$.

c) $\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left( {\cos x - f\left( x \right)} \right)dx = 2}$.

d) $\int\limits_{ - \pi }^\pi {\left| {f\left( x \right)} \right|dx = 4}$.

Gọi $D$ là hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số $y = \sqrt x ,y = \frac{1}{2}\sqrt x$ và hai đường thẳng $x = 0,x = 4$.

a) Gọi ${V_1}$ là thể tích khối tròn xoay được tạo khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = 0,$$y = \sqrt x$, $x = 0,x = 4$ quanh trục $Ox$. Khi đó ${V_1} = \pi \int\limits_0^4 {x{\rm{d}}x} .$.

b) Gọi ${V_2}$ là thể tích khối tròn xoay được tạo khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = 0,$$y = \frac{1}{2}\sqrt x$, $x = 0,x = 4$ quanh trục $Ox$. Khi đó ${V_2} = \pi \int\limits_0^4 {\frac{1}{4}x{\rm{d}}x} .$

c) Giá trị của biểu thức ${V_1} - {V_2}$ bằng $12\pi$.

d) Một vật thể A có hình dạng được tạo thành khi quay hình phẳng $D$quanh trục $Ox$( đơn vị trên hai trục tính theo centimét). Thể tích của vật thể đó (làm tròn đến hàng phần mười theo đơn vị centimét khối) là $37{,}7{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}$.

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho mặt phẳng $\left( P \right)$: $2x - y - 2z + 19 = 0$.

a) $\left( P \right):2x - y - 2z + 19 = 0$ không đi qua điểm $M\left( {2;1;3} \right)$.

b) $\left( P \right):2x - y - 2z + 19 = 0$ song song với mặt phẳng $\left( {P'} \right):2x - y - 2z + 1 = 0$.

c) Khoảng cách từ gốc tọa độ $O$ đến $\left( P \right):2x - y - 2z + 19 = 0$ lớn hơn 6.

d) Mặt phẳng $\left( Q \right)$ song song với mặt phẳng $\left( P \right):2x - y - 2z + 19 = 0$ và cách $\left( P \right)$ một khoảng bằng 5 thì cách gốc tọa độ một khoảng bằng $\frac{{11}}{3}$.

Một sân bóng hình chữ nhật với diện tích $200{{\rm{m}}^{\rm{2}}}$. Người ta muốn trồng cỏ trên sân bóng theo hình một parabol bậc hai sao cho đỉnh của parabol trùng với trung điểm một cạnh của sân bóng như hình vẽ bên. Biết chi phí trồng cỏ là 300 nghìn đồng cho mỗi mét vuông. Xác định chi phí trồng cỏ cần có cho sân bóng trên là bao nhiêu triệu đồng?