Bộ 10 đề thi giữa kì 2 Toán 12 Chân trời sáng tạo cấu trúc mới có đáp án (Đề 3)

Cho các hàm số $f\left( x \right),g\left( x \right)$ lần lượt có nguyên hàm $F\left( x \right) = \left( {ax + 2} \right)\sqrt {x - b} ,G\left( x \right) = \frac{3}{{c{x^2}}}$ với $a,b,c \in \mathbb{Z},c \ne 0$.

a) $f\left( x \right) = \frac{a}{{2\sqrt {x - b} }}$.

b) $\int {xG\left( x \right)} dx = 3\ln \left| {cx} \right| + C$.

c) Nếu $c = - 6$ thì $g'\left( x \right) = \frac{3}{{{x^4}}}$.

d) Nếu $f\left( x \right) = \frac{{3x - 5}}{{\sqrt {x - 3} }}$ thì $2{a^2} - 3b = - 1$.

Cho hàm số $y = f\left( x \right) = - 3{x^2} + 6x$. Biết $f\left( x \right)$ có một nguyên hàm $F\left( x \right)$ thỏa mãn $F\left( 0 \right) = 1$.

a) $F\left( x \right) = - {x^3} + 3{x^2} + 1$.

b) $\int\limits_0^1 {{f^2}\left( x \right)dx} = \left. {{F^2}\left( x \right)} \right|_0^1$.

c) Diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$, trục hoành và các đường thẳng $x = \frac{1}{2},x = \frac{3}{2}$ là $F\left( {\frac{1}{2}} \right) - F\left( {\frac{3}{2}} \right)$.

d) Phần tô đậm trong hình sau là hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = F\left( x \right)$, trục hoành và các đường thẳng $x = 0,x = 2$.

Hình vuông $OABC$ có cạnh bằng 4 được chia thành hai phần bởi đường cong $\left( C \right)$ có phương trình $y = \frac{1}{4}{x^2}$. Gọi ${S_1},{S_2}$ lần lượt là diện tích của phần không tô đậm và tô đậm như hình vẽ sau.

a) ${S_2} = \left. {\frac{{{x^3}}}{{12}}} \right|_0^4$.

b) ${S_1} = \int\limits_0^4 {\left( {\frac{{{x^2}}}{4} - 4} \right)dx}$.

c) $0 < {S_1} < 2{S_2}$.

d) Tỉ số $\frac{{{S_1}}}{{{S_2}}}$ là một số nguyên.

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, mặt phẳng $\left( \alpha \right)$qua hai điểm $A\left( {1;2;1} \right),B\left( { - 2;1;3} \right)$ và cách đều hai điểm $C\left( {2; - 1;3} \right),D\left( {0;3;1} \right)$ có dạng $3x + by + cz + d = 0$.

a) Điểm $A\left( {1;2;1} \right)$ cách mặt phẳng $\left( {Oxy} \right)$ một khoảng bằng 1.

b) $I\left( {1;1;2} \right)$ là trung điểm đoạn thẳng $CD$.

c) Nếu $\left( \alpha \right)//CD$ thì $2b - 3c + d = - 31$.

d) Nếu $\left( \alpha \right)$ đi qua trung điểm $I\left( {1;1;2} \right)$ của $CD$ thì $2b - 3c + d = - 16$.

Từ một khúc gỗ hình trụ có đường kính 30 cm, người ta cắt khúc gỗ bởi một mặt phẳng đi qua đường kính đáy và nghiêng với đáy một góc $45^\circ$ để lấy một hình nêm (xem hình minh họa).

Tính thể tích của hình nêm (đơn vị cm$^{3}$).