Bài tập Vận dụng tọa độ của vectơ để giải quyết một số bài toán liên quan đến thực tiễn lớp 12 (có lời giải)

Hình bên mô tả một sân cầu lông với kích thước tiêu chuẩn quốc tế. Với hệ tọa độ Oxyz được thiết lập như hình bên (đơn vị trên mỗi trục là mét), giả sử AB là một trụ cầu lông để căng lưới, hãy xác định tọa độ của B.

Ở một sân bay, vị trí của máy bay được xác định bởi điểm M trong không gian Oxyz như hình bên. Gọi H là hình chiếu vuông góc của M xuống mặt phẳng (Oxy). Cho biết OM = 50; $\left( {\overrightarrow i ,\overrightarrow {OH} } \right) = 64^\circ ;\left( {\overrightarrow {OH} ,\overrightarrow {OM} } \right) = 48^\circ$. Tìm tọa độ điểm M.

Theo quy định của liên đoàn bóng chuyền quốc tế (FIVB), sân bóng chuyền có hình dạng chữ nhật. Kích thước tiêu chuẩn của sân bóng chuyền là 9m × 18 m. Chiều cao của lưới bóng chuyền là 2,24 m đối với nữ. Ta chọn hệ trục Oxyz cho sân đó như hình vẽ thứ hai (đơn vị trên mỗi trục là mét). Giả sử AB là một trụ để căng lưới bóng chuyền. Hãy xác định tọa độ của vectơ $\overrightarrow {AB}$.

Hình vẽ sau mô tả vị trí của máy bay vào thời điểm 9 giờ 30 phút. Biết các đơn vị trên hình tính theo đơn vị km.

Máy bay đang ở độ cao là

Hình vẽ sau mô tả vị trí của máy bay vào thời điểm 9 giờ 30 phút. Biết các đơn vị trên hình tính theo đơn vị km.

Tọa độ của máy bay là

Một căn phòng có dạng hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' với chiều rộng AB = 4, chiều dài AD = 8, chiều cao AA' = 10 được gắn vào hệ trục Oxyz như hình vẽ. Người ta muốn gắn bức tranh ở vị trí điểm C'. Tìm tọa độ điểm C'.

Hình sau minh họa sơ đồ một ngôi nhà trong không gian Oxyz, trong đó nền nhà, bốn bức tường và hai mái nhà đều là hình chữ nhật.

Tọa độ vectơ $\overrightarrow {AH}$ là

Trong một khu vực đồng bằng, ba khinh khí cầu được thả lên từ cùng một điểm xuất phát O(0; 0; 0). Sau một thời gian bay, vị trí của chúng được xác định như sau:

Khinh khí cầu A cách điểm xuất phát 3 km về phía Tây, 2 km về phía Bắc và cao 1,5 km.

Khinh khí cầu B cách điểm xuất phát 4 km về phía Đông, 3 km về phía Nam và cao 2 km.

Khinh khí cầu C cách điểm xuất phát 2 km về phía Đông, 2 km về phía Nam, cao 2,5 km.

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz với trục Ox hướng về hướng Đông, trục Oy hướng về hướng Bắc, trục Oz hướng lên trời, đơn vị đo trên các trục là kilômét.

Khinh khí cầu nào ở vị trí cao nhất?

Hai chiếc flycam A và B cùng xuất phát từ gốc tạo độ O(0; 0; 0). Sau một thời gian bay, flycam A đến vị trí A cách mặt đất 5 m, cách điểm xuất phát 3 m về phía Nam và 2 m về phía Đông. Flycam B cách mặt đất 5 m, cách điểm xuất phát 6 m về phía Bắc và 6 m về phía Tây. Chọn hệ trục tọa độ Oxyz với trục Ox hướng về phía Nam, trục Oy hướng về phía Đông, trục Oz hướng thẳng đứng lên trời, đơn vị đo trên mỗi trục là mét.

Một công ty xây dựng thiết kế một kho hàng dạng khối lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh dài 7m. Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ. Đơn vị trên mỗi trục là mét. Một robot lấy hàng ở điểm F là trung điểm của đoạn AC'. Khi đó:

Hai chiếc khinh khí cầu bay lên từ cùng một địa điểm. Tại thời điểm t chiếc thứ nhất nằm cách điểm xuất phát 4 km về phía tây và 3 km về phía nam, đồng thời cách mặt đất 1,5 km, chiếc thứ hai nằm cách điểm xuất phát 2 km về phía đông và 5 km về phía bắc, đồng thời cách mặt đất 2 km. Chọn hệ trục Oxyz với gốc O đặt tại điểm xuất phát của hai khinh khí cầu, mặt phẳng (Oxy) trùng với mặt đất với trục Ox hướng về phía tây, trục Oy hướng về phía nam và trục Oz hướng thẳng đứng lên trời (tham khảo hình), đơn vị đo lấy theo kilômét. Giả sử tại thời điểm t vị trí chiếc khinh khí cầu thứ nhất là điểm A, vị trí khinh khí cầu thứ hai là điểm B. Để theo dõi tín hiệu của hai chiếc khinh khí cầu tại hai điểm A và B, người ta bắc trạm ra đa tại vị trí điểm M thuộc mặt phẳng (Oxy). Tín hiệu thu được tốt nhất khi và chỉ khi MA + MB nhỏ nhất. Khi đó M có tọa độ là (a; b; c). Tính a + b + c.

Một thiết bị bay (drone) được gắn bằng 4 dây cáp nối tới 4 điểm cố định trên mái nhà có tọa độ A(0; 0; 20), B(40; 0; 20), C(40; 60; 20), D(0; 60; 20).

Ban đầu drone ở vị trí H$_{0}$ ∈ (ABCD) sao cho H$_{0}$A = H$_{0}$B = H$_{0}$C = H$_{0}$D. Sau đó drone hạ thẳng đứng xuống vị trí H$_{1}$ có độ cao z = 10. Tìm cao độ vectơ $\overrightarrow {{H_0}{H_1}}$.