Bài tập Vận dụng tọa độ của vectơ để giải quyết một số bài toán liên quan đến thực tiễn lớp 12 (có lời giải)

Đáp án đúng là: B

Tọa độ điểm B(6,7; 6,1; 1,55).

Đáp án đúng là: D

Tam giác OMH vuông tại H, có OH = OM.cos48° ≈ 33,5; OC = MH = OM.sin48° ≈ 37,2.

Tam giác OAH vuông tại A, có OA = OH.cos64° ≈ 14,7; OB = AH = OH.sin64° ≈ 30,1.

Suy ra $\overrightarrow {OM} = \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OH} = \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} = 14{,}7\overrightarrow i + 30{,}1\overrightarrow j + 37{,}2\overrightarrow k$.

Vậy M(14,7; 30,1; 37,2).

Dùng dữ liệu sau để trả lời các câu hỏi ở bài 3, bài 4, bài 5

Cần trục chân đế là kiểu cột quay được sử dụng để phục vụ công việc xếp dỡ hàng hóa chủ yếu ngoài các cảng bến, bãi (hình ảnh minh họa). Ta chọn hệ trục Oxyz thỏa mãn trục Ox trùng với trục chân đế, trục Oy vuông góc với trục Ox và trục Oz trùng với trục cần cẩu (theo đơn vị mét, như hình vẽ). Gọi M là vị trí tại đỉnh cần cẩu, H là hình chiếu của M lên (Oxy). Biết tay cần KM của cần trục dài 50m, trục cần OK dài 50m, $\left( {\overrightarrow k ,\overrightarrow {KM} } \right) = 60^\circ ;\left( {\overrightarrow i ,\overrightarrow {OH} } \right) = 45^\circ$.

Đáp án đúng là: C

Ta gọi E là hình chiếu của M lên Oz.

Ta có EK = MK.cos60° = 50.cos60° = 25 m z$_{M}$ = OE = OK + KE = 50 + 25 = 75 m.

Đáp án đúng là: C

Ta gọi E là hình chiếu của M lên Oz.

Ta có ME = MK.sin60° = $50.\frac{{\sqrt 3 }}{2} = 25\sqrt 3$. Suy ra $OH = ME = 25\sqrt 3$ m.

Gọi P, Q lần lượt là hình chiếu của M lên Ox, Oy.

Vì $\left( {\overrightarrow i ,\overrightarrow {OH} } \right) = 45^\circ \Rightarrow OP = OQ = OH.\frac{{\sqrt 2 }}{2} = \frac{{25\sqrt 6 }}{2}$.

Vậy điểm $H\left( {\frac{{25\sqrt 6 }}{2};\frac{{25\sqrt 6 }}{2};0} \right)$.

Đáp án đúng là: C

Vì $H\left( {\frac{{25\sqrt 6 }}{2};\frac{{25\sqrt 6 }}{2};0} \right)$ và OE = 75 nên $M\left( {\frac{{25\sqrt 6 }}{2};\frac{{25\sqrt 6 }}{2};75} \right)$.

Mà K Oz nên K(0; 0; 50).

Vậy $\overrightarrow {KM} = \left( {\frac{{25\sqrt 6 }}{2};\frac{{25\sqrt 6 }}{2};25} \right)$.

Đáp án đúng là: C

Gọi tọa độ điểm A(x$_{A}$; y$_{A}$; z$_{A}$).

Vì một nửa chiều dài của sân là 9 m nên x$_{A}$= 9.

Do chiều rộng của sân là 9 m nên y$_{A}$ = 9.

Điểm A (Oxy) nên z$_{A}$ = 0.

Do đó tọa độ điểm A(9; 9; 0).

Độ dài đoạn thẳng AB = 2,24 m nên B(9; 9; 2,24).

Vậy ta có $\overrightarrow {AB} = \left( {0;0;2{,}24} \right)$.

Đáp án đúng là: B

Máy bay đang ở độ cao là 9 km.

Đáp án đúng là: B

Tọa độ của máy bay là (150; 300; 9).

Đáp án đúng là: A

Ta có $\overrightarrow {AB} = 4\overrightarrow i ;\overrightarrow {AD} = 8\overrightarrow j ;\overrightarrow {AA'} = 10\overrightarrow k$.

Mà $\overrightarrow {AC'} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AA'} = 4\overrightarrow i + 8\overrightarrow j + 10\overrightarrow k$.

Do đó $C'\left( {4;8;10} \right)$.

Đáp án đúng là: D

Vì nền nhà là hình chữ nhật nên OABC là hình chữ nhật, suy ra x$_{A}$ = x$_{B}$ = 4; y$_{C}$ = y$_{B}$ = 5.

Do điểm A nằm trên trục Ox nên tọa độ điểm A(4; 0; 0); điểm C nằm trên trục Oy nên tọa độ điểm C(0; 5; 0).

Tường nhà là hình chữ nhật nên OCHE là hình chữ nhật, suy ra y$_{H}$ = y$_{C}$ = 5; z$_{H}$ = z$_{E}$ = 3.

Do H nằm trên mặt phẳng (Oyz) nên tọa độ điểm H(0; 5; 3).

Vậy $\overrightarrow {AH} = \left( { - 4;5;3} \right)$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Ta có D(3; 2; 4) và H(2; 1,5; 1).

Do đó $\overrightarrow {DH} = \left( { - 1; - 0{,}5; - 3} \right)$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Gọi M(x; y; z).

Vì M là trung điểm của AB nên $\overrightarrow {AM} = \overrightarrow {MB}$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 6 - x\\y = 4 - y\\z = 2 - z\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = 2\\z = 1\end{array} \right.$ Þ M(3; 2; 1).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Gọi C(x; y; z).

Vì drone vẫn tiếp tục bay theo quán tính, giữ nguyên hướng với vận tốc như trước đó trong cùng khoảng thời gian nên $\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {BC}$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4 = x - 6\\4 = y - 4\\4 = z - 5\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 10\\y = 8\\x = 9\end{array} \right.$Þ C(10; 8; 9).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Gọi D(x; y; z). Ta có $\overrightarrow {AB} = \left( {3; - 4; - 1} \right),\overrightarrow {DC} = \left( { - x;3 - y;1 - z} \right)$.

Để ABCD là hình bình hành thì $\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC}$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3 = - x\\ - 4 = 3 - y\\ - 1 = 1 - z\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 3\\y = 7\\z = 2\end{array} \right.$ÞD(−3; 7; 2).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Sau một thời gian khinh khí cầu A ở vị trí A(−3; 2; 1,5), khinh khí cầu B ở vị trí B(4; −3; 2), khinh khí cầu C ở vị trí C(2; −2; 2,5).

Vì z$_{C}$ > z$_{B}$ > z$_{A}$ nên khinh khí cầu C ở vị trí cao nhất.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.

a) Đúng. ABCD là hình chữ nhật mà KA = KB = KC = KD nên điểm K nằm trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) tại tâm hình chữ nhật.

b) Đúng. Gọi I(x; y; z) là tâm của hình chữ nhật ABCD.

Khi đó $\overrightarrow {AI} = \left( {x;y;z - 12} \right);\overrightarrow {IC} = \left( {8 - x;6 - y;12 - z} \right)$.

Vì $\overrightarrow {AI} = \overrightarrow {IC}$ nên $\left\{ \begin{array}{l}x = 8 - x\\y = 6 - y\\z - 12 = 12 - z\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 4\\y = 3\\z = 12\end{array} \right.$Þ I(4; 3; 12).

Khi đó K(4; 3; 8).

c) Sai. Nếu camera hạ thêm 2m thì hoành độ và tung độ của K không thay đổi.

d) Đúng. $\overrightarrow {OK} = \left( {4;3;8} \right)$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng.

a) Đúng. $\overrightarrow {AB} = \left( {4 - 1;5 - 2;0} \right) = \left( {3;3;0} \right)$.

b) Sai. Vì $\overrightarrow {BC}$ cùng hướng và cùng độ dời với $\overrightarrow {AB}$nên $\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {BC}$.

c) Đúng. Gọi C(x; y; z). Khi đó $\overrightarrow {BC} = \left( {x - 4;y - 5;z} \right)$.

Vì $\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AB}$ nên $\left\{ \begin{array}{l}x - 4 = 3\\y - 5 = 3\\z = 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 7\\y = 8\\z = 0\end{array} \right.$ Þ C(7; 8; 0).

d) Đúng. $\overrightarrow {AC} = \left( {7 - 1;8 - 2;0} \right) = \left( {6;6;0} \right)$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Đúng. d) Đúng.

a) Sai. A(3; 2; 5).

b) Đúng. B(−6; −6; 5).

c) Đúng. $\overrightarrow {AB} = \left( { - 9; - 8;0} \right)$.

d) Đúng. $\overrightarrow {BA} = \left( {9;8;0} \right)$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Sai. d) Sai.

Ta có A(2; y; 0,5); B(−1; −1; 0,3); C(x; 5; 0,4).

Khi đó $\overrightarrow {AB} = \left( { - 3; - 1 - y; - 0{,}2} \right),\overrightarrow {BC} = \left( {x + 1;6;0{,}1} \right)$.

Vì A, B , C thẳng hàng nên $\frac{{ - 3}}{{x + 1}} = \frac{{ - 1 - y}}{6} = \frac{{ - 0{,}2}}{{0{,}1}} = - 2$ $\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 0{,}5\\y = 11\end{array} \right.$.

a) Sai. A(2; 11; 0,5).

b) Đúng. B(−1; −1; 0,3).

c) Sai. C(0,5; 5; 0,4).

d) Sai. Ba khinh khí cầu ở ba độ cao khác nhau nên chúng không cùng nằm trên mặt phẳng song song với mặt đất.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng. A(0; 0; 0), B(7; 0; 0), D(0; 7; 0), A'(0; 0; 7).

b) Đúng. Có $\overrightarrow {OC'} = \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OD} + \overrightarrow {OA'} = 7\overrightarrow i + 7\overrightarrow j + 7\overrightarrow k$ Þ C'(7; 7; 7).

c) Đúng. Giả sử F(a; b; c).

Ta có $\overrightarrow {OF} = \overrightarrow {FC'}$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 7 - a\\b = 7 - b\\c = 7 - c\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{7}{2}\\b = \frac{7}{2}\\c = \frac{7}{2}\end{array} \right. \Rightarrow F\left( {\frac{7}{2};\frac{7}{2};\frac{7}{2}} \right)$.

d) Sai. Có $\overrightarrow {FD} = \left( {0 - \frac{7}{2};7 - \frac{7}{2};0 - \frac{7}{2}} \right) = \left( { - \frac{7}{2};\frac{7}{2}; - \frac{7}{2}} \right)$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 1

Ta có A(4; 3; 1,5); B(−2; −5; 2).

Gọi A'(4; 3; −1,5) là điểm đối xứng với A(4; 3; 1,5) qua mặt phẳng (Oxy).

Ta có MA + MB = MA' + MB ≥ A'B.

Suy ra MA + MB nhỏ nhất khi A', M, B thẳng hàng.

Với M(x; y; 0). Ta có $\overrightarrow {MA'} = \left( {4 - x;3 - y; - 1{,}5} \right),\overrightarrow {A'B} = \left( { - 6; - 8;3{,}5} \right)$.

Khi đó ta có $\frac{{4 - x}}{{ - 6}} = \frac{{3 - y}}{{ - 8}} = \frac{{ - 1{,}5}}{{3{,}5}} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{10}}{7}\\y = - \frac{3}{7}\end{array} \right.$$\Rightarrow M\left( {\frac{{10}}{7}; - \frac{3}{7};0} \right)$.

Suy ra $a = \frac{{10}}{7};b = - \frac{3}{7};c = 0$. Vậy a + b + c = 1.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: −56

Ta có $\overrightarrow {AB} = \left( { - 150; - 150;4} \right),\overrightarrow {BC} = \left( {a - 250;b - 200;c - 10} \right)$.

Vì hướng máy bay không đổi nên $\overrightarrow {AB}$ và $\overrightarrow {BC}$ cùng hướng. Do vận tốc của máy bay không đổi và thời gian bay từ A đến B bằng thời gian bay từ B đến C nên AB = BC.

Do đó $\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {BC}$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a - 250 = - 150\\b - 200 = - 150\\c - 10 = 4\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 100\\b = 50\\c = 14\end{array} \right.$.

Khi đó 5a + 3b + 21c = 5×(−100) + 3×50 + 21×14 = −56.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: −10

4 điểm A, B, C, D tạo thành hình chữ nhật.

H$_{0}$A = H$_{0}$B = H$_{0}$C = H$_{0}$D và H$_{0}$ ∈ (ABCD) nên H$_{0}$ là tâm hình chữ nhật.

Drone hạ thẳng đứng nên chỉ thay tọa độ z.

Gọi H$_{0}$(x; y; z).

Có $\overrightarrow {A{H_0}} = \left( {x;y;z - 20} \right);\overrightarrow {{H_0}C} = \left( {40 - x;60 - y;20 - z} \right)$.

Vì $\overrightarrow {A{H_0}} = \overrightarrow {{H_0}C}$ nên $\left\{ \begin{array}{l}x = 40 - x\\y = 60 - y\\z - 20 = 20 - z\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 20\\y = 30\\z = 20\end{array} \right.$ Þ H$_{0}$(20; 30; 20).

Khi đó H$_{1}$(20; 30; 10).

Vậy $\overrightarrow {{H_0}{H_1}} = \left( {0;0; - 10} \right)$.

Vậy cao độ của vectơ $\overrightarrow {{H_0}{H_1}}$ là −10.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: −300

Từ giả thiết ta có A(−400; 300; 150); B(200; −500; 50).

Khi đó $\overrightarrow {AB} = \left( {600; - 800; - 100} \right)$.

Vậy x + y + z = −300.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 5

Độ cao giảm là z$_{A}$ – z$_{B}$ = 8 – 3 = 5.