Bài tập Vận dụng đạo hàm và khảo sát hàm số để giải quyết một số vấn đề liên quan đến thực tiễn lớp 12 (có lời giải)

Đáp án đúng là: D

Ta có v(t) = s'(t) = −3t$^{2}$ + 12t.

Có v(t) = 0 −3t$^{2}$ + 12t = 0 t = 0 hoặc t = 4.

Vậy tại thời điểm t = 4 s thì vận tốc của chất điểm bằng 0.

Đáp án đúng là: A

Có v(t) = S'(t) = 3t$^{2}$ +8t; a(t) = v'(t) = 6t + 8.

Thời điểm vận tốc bằng 11 m/s ứng với 3t$^{2}$ +8t = 11 t = 1 (giây).

Gia tốc của vật cần tìm là a(1) = 6 + 8 =14 (m/s$^{2}$).

Đáp án đúng là: B

Ta có v(t) = s' = −6t$^{2}$ + 48t +9.

Xét hàm số v(t) = −6t$^{2}$ + 48t +9, t [0; 10].

Ta có v'(t) = −12t + 48 = 0 t = 4 (thỏa mãn).

Ta có v(0) = 9; v(4) = 105; v(10) = −111 $\Rightarrow \mathop {\max }\limits_{\left[ {0;10} \right]} v\left( t \right) = v\left( 4 \right) = 105$.

Đáp án đúng là: A

a) Ta có v(t) = s'(t) = −t$^{2}$ + 8t + 9 v(3) = 24 m/s.

b) Vật đứng yên khi v(t) = 0 −t$^{2}$ + 8t + 9 = 0 t = −1 (ktm) hoặc t = 9 (tm).

Quãng đường vật chuyển động được đến thời điểm t = 9 là:

$s\left( 9 \right) = - \frac{1}{3}{.9^3} + {4.9^2} + 9.9 = 162$ (m).

c) Có a(t) = v'(t) = −2t + 8.

Gia tốc của vật tại thời điểm t = 3 giây là a(3) = 2 m/s$^{2}$.

d) Xét hàm v(t) = −t$^{2}$ + 8t + 9; v'(t) = −2t + 8; v'(t) = 0 t = 4.

Bảng biến thiên của hàm số v(t) = −t$^{2}$ + 8t + 9 với t ∈ [0; 9].

Trong 9 giây đầu tiên, vật tăng vận tốc khi t [0; 4].

Đáp án đúng là: B

A. Dân số của quốc gia vào năm 2030 là: N(7) = 100e$^{0{,}012.7}$ = 100e$^{0{,}084}$ ≈ 108,763 (triệu người)

B. Dân số của quốc gia vào năm 2035 là: N(12) = 100e$^{0{,}012.12}$ = 100e$^{0{,}144}$ ≈ 115,488 (triệu người)

C. Trên đoạn [0; 50] ta có: N'(t) = 0,012.100.e$^{0{,}012t}$ = 1,2e$^{0{,}012t}$ > 0, ∀t [0; 50].

Do đó, hàm số N(t) đồng biến trên đoạn [0; 50].

D. Ta có: N'(t) = 1,2e$^{0{,}012t}$ .

Với tốc độ tăng dân số của quốc gia đó là 1,6 triệu người/ năm ta có:

$1{,}6 = 1{,}2{e^{0{,}012t}} \Leftrightarrow {e^{0{,}012t}} = \frac{4}{3} \Leftrightarrow t = \frac{{250\ln \frac{4}{3}}}{3} \approx 23{,}97$.

Vậy vào năm 2046 thì tốc độ tăng dân số của quốc gia đó là 1,6 triệu người/ năm.

Đáp án đúng là: C

Gọi x là chiều rộng của đáy thùng, x > 0, đơn vị m.

chiều dài của đáy thùng là: 2x.

Ta có V = x.2x.h = 10 $h = \frac{5}{{{x^2}}}$.

Chi phí làm đáy thùng là: 2x$^{2}$.75 = 150x$^{2}$ (đơn vị nghìn đồng).

Chi phí làm diện tích xung quanh là : $\left( {2x.\frac{5}{{{x^2}}} + 2.2x.\frac{5}{{{x^2}}}} \right).55 = \frac{{1650}}{x}$ (đơn vị nghìn đồng).

Chi phí làm thùng là : $T = 150{x^2} + \frac{{1650}}{x}$ (đơn vị nghìn đồng).

Xét hàm số $T = 150{x^2} + \frac{{1650}}{x}$, với x > 0.

Ta có $T'\left( x \right) = 300x - \frac{{1650}}{{{x^2}}}$ ; $T'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = \sqrt[3]{{\frac{{11}}{2}}}$.

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên T(x) đạt giá trị nhỏ nhất tại $x = \sqrt[3]{{\frac{{11}}{2}}}$.

Vậy chi phí ít nhất bằng $T = 150{\left( {\sqrt[3]{{\frac{{11}}{2}}}} \right)^2} + \frac{{1650}}{{\sqrt[3]{{\frac{{11}}{2}}}}} \approx 1402000$ đồng.

Đáp án đúng là: A

Xét hàm số N(t) = 1000 + 30t$^{2}$ – t$^{3}$ (0 t 30).

Có N'(t) = 60t – 3t$^{2}$; N'(t) = 0 t = 0 hoặc t = 20.

Ta có bảng biến thiên

Với t = 20 giây thì số vi khuẩn lớn nhất.

Đáp án đúng là: A

Đặt OP = x (0 < x < 4) BP = 4 – x; $AP = \sqrt {4 + {x^2}}$.

Khoảng thời gian để anh Ba từ vị trí xuất phát đến được điểm B là:

${t_{\left( x \right)}} = {t_{AP}} + {t_{PB}} = \frac{{\sqrt {4 + {x^2}} }}{6} + \frac{{4 - x}}{{10}}\,\,\left( h \right)\, \Rightarrow {t'_{\left( x \right)}} = \frac{x}{{6\sqrt {4 + {x^2}} }} - \frac{1}{{10}}$.

${t'_{\left( x \right)}} = 0 \Leftrightarrow \frac{x}{{6\sqrt {4 + {x^2}} }} - \frac{1}{{10}} = 0 \Leftrightarrow 3\sqrt {4 + {x^2}} = 5x \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}0 < x < 4\\4{x^2} = 9\end{array} \right. \Leftrightarrow x = \frac{3}{2}.$

Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên suy ra khoảng thời gian ngắn nhất để anh Ba từ vị trí xuất phát đến được điểm B là: ${t_{\min }} = \frac{2}{3}\,\left( h \right)\, = \frac{2}{3}.60\,\left( {ph\'u t} \right) = 40\,ph\'u t.$

</></>

Đáp án đúng là: D

Xét $P'\left( t \right) = \frac{{ - {t^2} - 2t + 3}}{{{{\left( {{t^2} + t + 4} \right)}^2}}} = \frac{{\left( {t - 1} \right)\left( { - t - 3} \right)}}{{{{\left( {{t^2} + t + 4} \right)}^2}}}$.

$P'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = - 3\\t = 1\end{array} \right.$.

Ta thấy hàm số đạt cực đại tại t = 1 và P'(t) < 0,∀t (1; +∞) nên sau 1 giờ thì vi khuẩn bắt đầu giảm.

Đáp án đúng là: B

Có $S'\left( t \right) = \frac{6}{5}{t^2} - 126t + 3240$; S'(t) = 0 t = 45 (tm) hoặc t = 60 (tm).

Có S(1) = 77,4; S(45) = 51575; S(60) = 50900.

Vậy ngày thứ 45 có lượng gạo xuất khẩu cao nhất.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Vận tốc chuyển động của vật được xác định theo công thức:

v(t) = s¢(t) = -3t$^{2}$ + 12t + 5.

Ta có: v¢(t) = -6t + 12; v¢(t) = 0 Û t = 2.

Bảng biến thiên:

Do đó, vận tốc chất điểm lớn nhất là 17 m/s khi t = 2 giây.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Xét hàm V¢ = $\frac{9}{{10}}$t$^{2}$ - $\frac{1}{{100}}$t$^{3}$ (0 £ t £ 90);

V¢¢ = $\frac{9}{5}$t - $\frac{3}{{100}}$t$^{2}$ Þ V¢¢ = 0 Û t = 0 và t = 60 (thỏa mãn).

Ta có bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên hàm số V¢ đồng biến trên (0; 60) và nghịch biến trên (60; 90) nên tốc độ bơm giảm từ phút 60 đến phút 90.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Ta có: v(t) = s¢(t) = t$^{2}$ – 6t + 5.

v¢(t) = 2t – 6 = 0 Û t = 3.

Bảng biến thiên:

Vận tốc tăng, tức hàm số đồng biến. Dựa vào bảng biến thiên, trên khoảng (3; +¥) thì hàm số đồng biến.

Vậy trong khoảng thời gian (3; +¥) vận tốc của vật tăng.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Đặt kích thước các cạnh như hình vẽ:

Ta có: $\frac{x}{{\sqrt 2 }} + y\sqrt 2 + \frac{x}{{\sqrt 2 }} = 6 \Leftrightarrow x + y = 3\sqrt 2 \Leftrightarrow y = 3\sqrt 2 - x$ với 0 < x < $3\sqrt 2$.

Thể tích của khối hộp tạo thành V = x$^{2}$y = x$^{2}$ $\left( {3\sqrt 2 - x} \right)$.

Ta có: V¢ = 3x$\left( {2\sqrt 2 - x} \right)$= 0 Û x = $2\sqrt 2$ (vì 0 < x < $3\sqrt 2$)

Bảng biến thiên:

Vậy max V = $8\sqrt 2$ khi x = $2\sqrt 2$, y = $\sqrt 2$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Gọi H là trung điểm của BC Þ BH = CH = $\frac{a}{2}$.

Đặt BM = x $\left( {0 < x < \frac{a}{2}} \right)$.

Ta có: MN = 2MH = a – 2x, QM = BM∙tan60° = x$\sqrt 3$.

Diện tích hình chữ nhật MNPQ là: S(x) = (a – 2x)x$\sqrt 3$ = a$\sqrt 3$x - 2$\sqrt 3$x$^{2}$ .

Ta có: S'(x) = $\sqrt 3$(a – 4x) = 0 Û x = $\frac{a}{4}$.

Bảng biến thiên:

Vậy vị trí điểm M là BM = $\frac{a}{4}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Sai.

a) Đúng. Hàm v(t) = x¢(t

) = 3t$^{2}$ – 12t + 9.

b) Đúng. Hàm a(t) = v¢(t) = 6t – 12.

c) Sai. Tập xác định: D = [0; +¥) và a(t) = 0 Û t = 2.

Bảng biến thiên:

Vậy trong khoảng từ t = 0 đến t = 2 thì vận tốc của chất điểm giảm.

d) Sai. Từ t = 2 trở đi thì vận tốc của chất điểm tăng.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Sai. d) Sai.

a) Đúng. Nồng độ khí CO$_{2}$ trong phòng tại thời điểm t = 0 là f(0) = $400 + \frac{{2000 \cdot 0}}{{{0^2} + 5}} = 400$ (ppm).

b) Sai.

Ta có: f¢(t) = $\frac{{2000({t^2} + 5) - 2000t \cdot 2t}}{{{{\left( {{t^2} + 5} \right)}^2}}} = \frac{{ - 2000{t^2} + 10000}}{{{{\left( {{t^2} + 5} \right)}^2}}}$ với t ³ 0.

c) Sai.

Ta có: f¢(t) = 0 Þ -2000t$^{2}$ + 10000 = 0 Û t = $\sqrt 5$ (do t ³ 0).

Vậy nghiệm của phương trình f¢(t) = 0 là t = $\sqrt 5$.

d) Sai.

Bảng biến thiên:

Khi đó nồng độ khí CO$_{2}$ cao nhất đo được trong phòng thí nghiệm (làm tròn đến hàng đơn vị) là 847 (ppm).

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.

a) Đúng. Ta có doanh thu của công ty bằng giá bán của mỗi sản phẩm nhân với số sản phẩm được bán ra. Suy ra hàm doanh thu của công ty là f(x) = x‧p(x).

b) Đúng. Ta có: f(x) = x‧p(x) = x(1000 – 25x) = -25x$^{2}$ + 1000x. Suy ra f'(x) = -50x + 1000.

c) Sai. f'(x) = 0 Û -50x + 1000 = 0 Û x = 20. Vậy f'(x) = 0 có nghiệm là x = 20.

d) Đúng.

Bảng biến thiên:

Vậy doanh thu đạt giá trị lớn nhất bằng 10 000 triệu đồng, khi đó có 20 sản phẩm được bán ra.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng. Đường cao lăng trụ là AD = AB = 30 cm không đổi.

Khi đó V = 30‧S$_{AEG}$.

b) Sai. Gọi I là trung điểm cạnh EG Þ AI ^ EG trong tam giác AEG Þ IG = 15 – x (0 < x < 15).

Ta có: AI = $\sqrt {{x^2} - {{(15 - x)}^2}} = \sqrt {30x - 225}$ với x Î $\left( {\frac{{15}}{2};15} \right)$

S$_{D}$$_{AEG}$ = $\frac{1}{2}$AI∙EG = $\frac{1}{2}$(30 – 2x)$\sqrt {30x - 225} = \sqrt {15} \cdot \sqrt {{{(15 - x)}^2}(2x - 15)}$

c) Đúng. Bài toán trở thành tìm x Î $\left( {\frac{{15}}{2};15} \right)$ để f(x) = (15 – x)$^{2}$(2x – 15) lớn nhất.

f'(x) = −2(15 – x)(2x – 15) + 2(15 – x)$^{2}$ = 6x$^{2}$ – 150x + 900;

f'(x) = 0 Û x = 10 hoặc x = 15.

Bảng biến thiên:

Vậy giá trị của x để thể tích khối lăng trụ lớn nhất khi x = 10.

d) Sai. Thể tích lớn nhất là: $30 \cdot \sqrt {15} \cdot \sqrt {125} = 750\sqrt 3$ (cm$^{3}$).

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Sai.

a) Đúng. C'(x) = 250 – 4x + 0,15x$^{2}$.

b) Đúng. C'(50) = 250 − 4×50 + 0,15×50$^{2}$ = 425.

c) Sai. Chi phí để sản xuất bộ bàn ghế thứ 51 là

C(51) – C(50) = 29180,55 − 28750 = 430,55 nghìn đồng.

d) Sai. Giá trị C'(50) xấp xỉ chi phí sản xuất bộ bàn ghế thứ 51.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 13

Ta có: v(t) = s¢(t) = -3t$^{2}$ + 12t + 1; v¢(t) = -6t + 12 = 0 Û t = 2.

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên, vận tốc tức thời của chất điểm đạt giá trị lớn nhất bằng 13 tại t = 2s.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 14

Ta có: v(t) = s¢(t) = $2t{e^{{t^2} + 3}} + 2{e^{3t + 1}} + 6t{e^{3t + 1}}$ Þ v(1) = 2e$^{4}$ + 2e$^{4}$ + 6e$^{4}$ = 10e$^{4}$ (km/s).

Vậy m = 10; n = 4 Þ T = m + n = 10 + 4 = 14.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 231

Ta có: N(x) = -x$^{2}$ + 30x + 6 Þ N¢(x) = -2x + 30 = 0 Û x = 15.

Bảng biến thiên:

Vậy nếu công ty dành 15 triệu cho việc quảng cáo thì công ty sẽ bán được nhiều nhất là 231 lô hàng.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 16

Gọi số máy móc công ty sử dụng để sản xuất là x (x Î ℕ, x > 0).

Thời gian cần để sản xuất hết 8000 quả bóng là: $\frac{{8000}}{{30x}}$ (giờ).

Tổng chi phí sản xuất là: P(x) = 200x + $\frac{{8000}}{{30x}}$∙192 = 200x + $\frac{{51200}}{x}$ (nghìn đồng).

Ta có: P'(x) = 200 - $\frac{{51200}}{{{x^2}}}$= 0 Û x$^{2}$ = 256 Û $\left[ \begin{array}{l}x = 16\\x = - 16\,\,\,(L)\end{array} \right.$.

Bảng biến thiên:

Vậy công ty nên sử dụng 16 máy để chi phí hoạt động là thấp nhất.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 80

Gọi x (nghìn đồng) là giá tiền một vé

y là số người mua vé tương ứng.

Ta có giá tiền tỉ lệ nghịch với số người mua vé nên y = ax + b (a < 0).

Khi x = 100 thì y = 360. Khi x = 90 thì y = 420 nên ta có hệ phương trình:

$\left\{ \begin{array}{l}100a + b = 360\\90a + b = 420\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 6\\b = 960\end{array} \right.$. Do đó: y = -6x + 960.

Doanh thu của rạp chiếu phim là T(x) = xy = x(-6x + 960) = -6x$^{2}$ + 960x với 0 < x £ 100.

T¢(x) = -12x + 960 = 0 Û x = 80.

Bảng biến thiên:

Vậy khi giá vé là 80 nghìn đồng thì doanh thu của rạp là lớn nhất.