Bài tập Ứng dụng đạo hàm để giải quyết một số vấn đề liên quan đến thực tiễn lớp 12 (có lời giải)

Ta có: $v\left( t \right) = s'\left( t \right) = - 3{t^2} + 12t + 1$.

Nhận xét: $v\left( t \right)$ có đồ thị là một parabol nên trong $5s$ đầu tiên vận tốc tức thời cúa chất điểm đạt giá trị lớn nhất bằng $13$ tại $t = 2s$.

Ta có: $v\left( t \right) = s'\left( t \right) = 2t{e^{{t^2} + 3}} + 2{e^{3t + 1}} + 6t{e^{3t + 1}} \Rightarrow v\left( 1 \right) = 2{e^4} + 2{e^4} + 6{e^4} = 10{e^4}$ (km/s)

Vậy $\left\{ \begin{array}{l}m = 10\\n = 4\end{array} \right. \Rightarrow T = m + n = 10 + 4 = 14$

Xét hàm số: $h\left( t \right) = 2 + 24{,}5t - 4{,}9{t^2}$. Tập xác định của hàm số là $\mathbb{R}$.

Ta có: $h'\left( t \right) = - 9{,}8t + 24{,}5;\,\,h'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow - 9{,}8t + 24{,}5 = 0 \Leftrightarrow t = \frac{5}{2}$

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt cực đại tại $t = \frac{5}{2}$

Vậy thời điểm vật đạt độ cao lớn nhất là $t = \frac{5}{2}$ giây

Ta có: $f'\left( t \right) = \frac{{ - 5000{{\left( {1 + 5{e^{ - t}}} \right)}^\prime }}}{{{{\left( {1 + 5{e^{ - t}}} \right)}^2}}} = \frac{{25000{e^{ - t}}}}{{{{\left( {1 + 5{e^{ - t}}} \right)}^2}}}$. Tốc độ bán hàng là lớn nhất khi $f'\left( t \right)$ lớn nhất.

Đặt $h\left( t \right) = \frac{{25000{e^{ - t}}}}{{{{\left( {1 + 5{e^{ - t}}} \right)}^2}}}$ có $h'\left( t \right) = \frac{{ - 25000{e^{ - t}}{{\left( {1 + 5{e^{ - t}}} \right)}^2} - 2.\left( { - 5{e^{ - t}}} \right).\left( {1 + 5{e^{ - t}}} \right).25000{e^{ - t}}}}{{{{\left( {1 + 5{e^{ - t}}} \right)}^4}}}$

$\begin{array}{l} = \frac{{ - 25000{e^{ - t}}\left( {1 + 5{e^{ - t}}} \right)\left( {1 + 5{e^{ - t}} - 10{e^{ - t}}} \right)}}{{{{\left( {1 + 5{e^{ - t}}} \right)}^4}}} = \frac{{ - 25000{e^{ - t}}\left( {1 - 5{e^{ - t}}} \right)}}{{{{\left( {1 + 5{e^{ - t}}} \right)}^3}}}\\h'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow \frac{{ - 25000{e^{ - t}}\left( {1 - 5{e^{ - t}}} \right)}}{{{{\left( {1 + 5{e^{ - t}}} \right)}^3}}} = 0 \Leftrightarrow 1 - 5{e^{ - t}} = 0 \Leftrightarrow {e^{ - t}} = \frac{1}{5} \Leftrightarrow t = \ln 5\,\,\left( {thoa\,\,man} \right)\end{array}$

Ta có bảng biến thiên với $t \in \left[ {0; + \infty } \right)$:

Vậy sau khi phát hành khoảng $\ln 5 \approx 1{,}6$ năm thì thì tốc độ bán hàng là lớn nhất.

Xét hàm số $N\left( t \right) = 1000 + \frac{{100t}}{{100 + {t^2}}}\left( {t > 0} \right)$.

Ta có: $N'\left( t \right) = \frac{{100.\left( {100 + {t^2}} \right) - 100t.2t}}{{{{\left( {100 + {t^2}} \right)}^2}}} = \frac{{100.\left( {100 - {t^2}} \right)}}{{{{\left( {100 + {t^2}} \right)}^2}}}$.

Khi đó, với $t > 0,\,\,N'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow 100 - {t^2} = 0 \Leftrightarrow {t^2} = 100 \Leftrightarrow t = 10$.

Bảng biến thiên của hàm số $N\left( t \right)$ như sau:

Căn cứ bảng biến thiên, ta thấy:

Trên khoảng $\left( {0; + \infty } \right)$ hàm số $N\left( t \right)$ đạt giá trị lớn nhất bằng 1005 tại $t = 10$.

Vậy số lượng vi khuẩn lớn nhất kể từ khi thực hiện cấy vi khuẩn vào môi trường dinh dưỡng là 1005 con.

Ta có: $V' = 2kRr - 3k{r^2}$. Nhận xét $V' = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{r = 0}\\{r = \frac{{2R}}{3}}\end{array}} \right.$.

Ta có $f\left( 0 \right) = 0;\,\,f\left( {\frac{{2R}}{3}} \right) = \frac{{4k{R^3}}}{{27}}$

Vậy bán kính của khí quản khi ho bằng $\frac{2}{3}$ bán kính khí quản lúc bình thường thì tốc độ không khí đi vào là lớn nhất.

Gọi $x$ là số lần tăng giá 100 nghìn đồng $\left( {x > 0} \right)$. Khi đó, số căn được cho thuê là: $100 - x$ (căn)

Tổng số tiền thu được trong một tháng là:

$\begin{array}{l}\left( {100 - x} \right)\left( {8000000 + 100000x} \right) = 100000\left( {100 - x} \right)\left( {80 + x} \right) = 100000\left( { - {x^2} + 20x + 8000} \right)\\ = 100000\left[ { - {{\left( {x - 10} \right)}^2} + 8100} \right] \le 810000000,\forall x > 0\end{array}$

Dấu "=" xảy ra khi $x = 10$ (thỏa mãn)

Vậy để thu được doanh thu là lớn nhất thì người quản lí nên đặt giá thuê mỗi căn hộ là: $8000000 + 100000.10 = 9000000$ (đồng).

Tập xác định: $D = \left( {0;120} \right]$.

Đạo hàm $C'\left( v \right) = - \frac{{16000}}{{{v^2}}} + \frac{5}{2} = \frac{{5\left( {v - 80} \right)\left( {v + 80} \right)}}{{2{v^2}}} = 0 \Leftrightarrow v = - 80$ (loại) hoặc $v = 80$.

Trên khoảng $\left( {0;80} \right),C'\left( v \right) < 0$ nên hàm số nghịch biến trên khoảng này.

Trên khoảng $\left( {80;120} \right),C'\left( v \right) > 0$ nên hàm số đồng biến trên khoảng này.

Cực trị: Hàm số đạt cực tiểu tại $v = 80,{C_{CT}} = C\left( {80} \right) = 400$.

Giới hạn vô cực và tiệm cận: $\mathop {\lim }\limits_{v \to {0^ + }} C\left( v \right) = \mathop {\lim }\limits_{v \to {0^ + }} \left( {\frac{{16000}}{v} + \frac{5}{2}v} \right) = + \infty$ nên đường thẳng $v = 0$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Bảng biến thiên:

Đồ thị hàm số có điểm cực tiểu $\left( {80;400} \right)$ và đi qua các điểm $\left( {40;500} \right),\left( {100;410} \right)$, $\left( {120;\frac{{1300}}{3}} \right)$ như hình.

Quan sát đồ thị hàm số, ta nhận thấy hàm số đạt GTNN khi $v = 80$ và GTNN là 400.

Như vậy, để tiết kiệm tiền xăng nhất, tài xế nên chạy xe với tốc độ trung bình là 80 km/h.

Giả sử giá thuê mỗi căn hộ là $x$ triệu đồng/1 tháng và số căn hộ cho thuê là $y$.

Khi đó tổng số tiền thu được sẽ là $x.y$.

Theo đề bài, ta có: $y = 20 - 5\left( {x - 2} \right)$ (vì cứ mỗi lần tăng giá thuê mỗi căn hộ thêm 200 nghìn đồng/1 tháng thì có thêm một căn hộ bị bỏ trống).

Do đó ta cần tìm giá trị của $x$ sao cho hàm số $f\left( x \right) = x\left[ {20 - 5\left( {x - 2} \right)} \right]$ đạt giá trị lớn nhất.

Ta có: $f'\left( x \right) = 30 - 10x$$= 0 \Rightarrow 30 - 10x = 0 \Rightarrow x = 3$

Cuối cùng ta kiểm tra xem điểm cực này có phải là điểm cực đại hay không:

Xác định khoảng: $\left[ { - \infty ;3} \right],\,\,\left[ {3; + \infty } \right]$

Chọn ${x_1} = 2 \Rightarrow f\left( x \right) = 10$ , chọn ${x_2} = 4 \Rightarrow f\left( x \right) = - 10$

Vì đạo hàm dương với mọi $x < 3$ là âm với mọi $x > 3 \Rightarrow$ hàm số cực đại tại $x = 3$

Vì vậy, công ty nên cho thuê mỗi căn hộ với giá 3 triệu đồng/1 tháng để tổng số tiền thu được là lớn nhất.

Vận tốc khi cá bơi ngược dòng sẽ là $v - 6\,$(km/h).

Thời gian để bơi quãng đường $300\;$km là $t = \frac{{300}}{{v - 6}}\left( h \right)$.

Năng lượng tiêu hao là $E\left( v \right) = 300c\frac{{{v^3}}}{{v - 6}}\,\left( J \right)$.

Do $c > 0 \Rightarrow E{\left( v \right)_{\min }} \Leftrightarrow \frac{{{v^3}}}{{v - 6}} = {\left( {f\left( v \right)} \right)_{\min }}$.

Với $v > 6$ ta có $f'\left( v \right) = \frac{{3{v^2}\left( {v - 6} \right) - {v^3}}}{{{{\left( {v - 6} \right)}^2}}} = \frac{{2{v^3} - 18v}}{{{{\left( {v - 6} \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{v = 0}\\{v = 9.}\end{array}} \right.$

Lập bảng biến thiên ta nhận $v = 9$ (do $v > 6$).

Vậy để năng lượng tiêu hao là thấp nhất thì vận tốc là $9$(km/h).

Ta có đạo hàm của thể tích:

${V}^{'}(t)=-0{,}06424+2.0{,}0085043t-3\cdot 0{,}0000679{t}^{2}=0\Leftrightarrow [\begin{matrix}t\approx 79{,}53138\notin ({0}^{^{\circ}};{30}^{^{\circ}}) \\ t\approx 3{,}9665.\end{matrix}$

Lập bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên, khối lượng riêng lớn nhất của vật khi thể tích nhỏ nhất lúc vật có nhiệt độ xấp xỉ gần bằng ${4}^{^{\circ}}C$

Ta có $N\left( x \right) = - {x^2} + 30x + 6 \Rightarrow N'\left( x \right) = - 2x + 30 \Rightarrow N'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 15.$

Đồng thời, ta cũng có $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{N\left( 0 \right) = 6}\\{N\left( {15} \right) = 231}\\{N\left( {30} \right) = 6}\end{array} \Rightarrow {{\max }_{x \in [0;30]}}N\left( x \right) = 231 \Leftrightarrow x = 15.} \right.$

Vậy nếu công ti dành 15 triệu cho việc quảng cáo thì công ti sẽ bán được nhiều nhất là 231 lô hàng.

Gọi $x$ là số lần giảm $0{,}25\$$. Cước thuê bao hàng tháng lúc này là $40 - 0{,}25x$ với $0 \le x \le 160$ (do mức cước không thể âm), và số thuê bao mới là $1000x$.

Do đó, tổng số thuê bao là $100000 + 1000x$.

Hàm doanh thu được cho bởi R = (số thuê bao) x (cước mỗi thuê bao trả)

$$R = \left( {100000 + 1000x} \right)\left( {40 - 0{,}25x} \right) = 1000\left( {100 + x} \right)\left( {40 - 0{,}25x} \right) = 1000\left( {4000 + 15x - 0{,}25{x^2}} \right)$$

Đạo hàm $R' = 0$, ta được $R' = 1000\left( {15 - 0{,}5x} \right) = 0 \Leftrightarrow x = 30.{\rm{ }}$

Vì tập xác định của $R$ là khoảng đóng [0; 160] nên $R$ đạt cực đại tại $x = 30$ hoặc tại các điểm đầu mút của đoạn [0; 160].

Ta có: $R\left( 0 \right) = 4000000;\,\,R\left( {30} \right) = 4225000\,;\,\,R\left( {160} \right) = 0$

Vậy doanh thu tối đa khi $x = 30$. Điều này tương ứng với 30 lần giảm $0{,}25\$$, tức là cước thuê bao hàng tháng là $40\$ - 7{,}5\$ = 32{,}5\$$.

Số thuê bao tại mức cước này là $100000 + 30.\left( {1000} \right) = 130000$.

Đạo hàm $n'\left( t \right) = 0$ ta có $n'\left( t \right) = {t^2} - 12t + 32 = 0 \Leftrightarrow \left( {t - 4} \right)\left( {t - 8} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{t = 4}\\{t = 8.}\end{array}} \right.$

Vì tập xác định của $n$ là một khoảng đóng $\left[ {0;12} \right]$ nên $n$ đạt cực đại tuyệt đối tại $t = 0,t = 4,t = 8$ hoặc $t = 12$:

$n\left( 0 \right) = \frac{{{0^3}}}{3} - 6\left( {{0^2}} \right) + 32.0 = 0;\,\,n\left( 4 \right) = \frac{{{4^3}}}{3} - 6\left( {{4^2}} \right) + 32.4 = \frac{{160}}{3}$

$n\left( 8 \right) = \frac{{{8^3}}}{3} - 6\left( {{8^2}} \right) + 32.8 = \frac{{128}}{3};\,\,n\left( {12} \right) = \frac{{{{12}^3}}}{3} - 6\left( {{{12}^2}} \right) + 32.12 = \frac{{288}}{3} = 96$

Do đó $n$ đạt cực đại khi $t = 12$ (năm).

Ta có : $v = s' = - 3{t^2} + 12t + 17$

Ta đi tìm giá trị lớn nhất của $v = - 3{t^2} + 12t + 17$ trên khoảng $\left( {0;8} \right)$

Mặt khác: $v' = - 6{t^2} + 12$$= 0 \Rightarrow t = 2$

Bảng biến thiên:

Vậy vận tốc lớn nhất trong khoảng 8 giây đầu tiên là: $29$(m/s).

Gọi số máy móc công ty sử dụng để sản xuất là $x\left( {x \in {\rm N},\,\,x > 0} \right)$.

Thời gian cần để sản xuất hết $8000$ quả bóng là: $\frac{{8000}}{{30x}}$.

Tổng chi phí để sản xuất là: $P\left( x \right) = 200x + \frac{{8000}}{{30x}}.192 = 200x + \frac{{51200}}{x}$

Ta có: $P'\left( x \right) = 200 - \frac{{51200}}{{{x^2}}} = 0 \Leftrightarrow {x^2} = 256 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 16\\x = - 16\left( {loai} \right)\end{array} \right.$.

Bảng biến thiên:

Vậy công ty nên sử dụng $16$ máy để chi phí hoạt động là thấp nhất.

Gọi độ dài đoạn dây gấp tam giác đều là $x$ thì độ dài đoạn dây gấp hình vuông là $60 - x$(mét)

Khi đó $x = 3a \Leftrightarrow a = \frac{x}{3} \Rightarrow {S_1} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{{x^2}\sqrt 3 }}{{36}}$

Mặt khác: $60 - x = 4b \Rightarrow b = \frac{{60 - x}}{4} \Rightarrow {S^2} = {b^2} = {\left( {\frac{{60 - x}}{4}} \right)^2}$

Khi đó ${S_1} + {S_2} = \frac{{{x^2}\sqrt 3 }}{{36}} + {\left( {\frac{{60 - x}}{4}} \right)^2} \Leftrightarrow f\left( x \right) = \frac{{\left( {9 + 4\sqrt 3 } \right){x^2} - 1080x + 32400}}{{144}}$

Dễ dàng tính được ${\left( {{S_1} + {S_2}} \right)_{\min }} = \min \,f\left( x \right) = f\left( {\frac{{540}}{{9 + 4\sqrt 3 }}} \right) \approx 97{,}87\,\left( {{{\rm{m}}^2}} \right)$.

Gọi độ dài đoạn dây gấp đường tròn là $x$ thì độ dài đoạn dây gấp hình vuông là $30 - x$(mét)

Khi đó $x = 2\pi a \Leftrightarrow a = \frac{x}{{2\pi }} \Rightarrow {S_1} = \pi {a^2} = \frac{{{x^2}}}{{4\pi }}$

Mặt khác: $30 - x = 4b \Rightarrow b = \frac{{30 - x}}{4} \Rightarrow {S^2} = {b^2} = {\left( {\frac{{30 - x}}{4}} \right)^2}$

Khi đó ${S_1} + {S_2} = \frac{{{x^2}}}{{4\pi }} + {\left( {\frac{{30 - x}}{4}} \right)^2} \Leftrightarrow f\left( x \right) = \frac{{\left( {\pi + 4} \right){x^2} - 60\pi x + 900\pi }}{{16\pi }}$

Dễ dàng tính được ${\left( {{S_1} + {S_2}} \right)_{\min }} = \min \,f\left( x \right) = f\left( {\frac{{30\pi }}{{\pi + 4}}} \right) \approx 31{,}51\,\left( {{{\rm{m}}^2}} \right)$.

Gọi chiều dài, chiều rộng của hộp là $2x$ và $x$$(x > 0)$.

Khi đó, ta có thể tích của cái hộp là: $V = 2{x^2}.h \Rightarrow 2{x^2}.h = 48 \Leftrightarrow {x^2}.h = 24$

Do giá thành làm đáy và mặt bên hộp là $3$, giá thành làm nắp hộp là $1$nên giá thành làm hộp là

$$L = 3\left( {2{x^2} + 2xh + 4xh} \right) + 2{x^2}$$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số không âm ta được:

$L = 8{x^2} + 9xh + 9xh \ge$$3\sqrt[3]{{8{x^2}.9xh.9xh}}$$= 3\sqrt[3]{{648{{\left( {{x^2}h} \right)}^2}}} = 216$

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi: $\left\{ \begin{array}{l}8{x^2} = 9xh\\{x^2}h = 24\end{array} \right.$$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{9h}}{8}\\\frac{{{9^2}}}{{{8^2}}}.{h^3} = 24\end{array} \right.$$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3\\h = \frac{8}{3}\end{array} \right.$

Vậy $m = 8$,$n = 3$ và $m + n = 11$.

Cạnh của tấm bìa là $a = \sqrt S = \sqrt {900} = 30\,\,{\rm{cm}}$, đáy sẽ là hình vuông có cạnh bằng $30 - 2x$.

Thể tích thu được là: $V = {\left( {30 - 2x} \right)^2}x = f\left( x \right)$ với $0 \le x \le \frac{a}{1} = 15$

Dễ dàng tính được: ${V_{{\rm{max}}}} = \max f\left( x \right) = f\left( 5 \right) = 2000\,\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}} \right)$

Gọi độ dài của hàng rào song sông với bờ sông là $x$ với $x > 0$

Gọi độ dài của mỗi hàng rào trong ba hàng rào song song nhau là $y$ với $y > 0$

Diện tích đất mà bác nông dân rào được là: $xy\left( {{m^2}} \right)$

Tổng chi phí là $15\,\,000\,\,000$ đồng nên ta có phương trình:

$x60000 + 3y50000 = 15000000 \Rightarrow 6x + 15y = 1500$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương ta có:

$6x + 15y \ge 2\sqrt {6x.5y} = > 1500 \ge 2\sqrt {90xy} = > xy \le 6250$

Vậy diện tích lớn nhất mà bác nông dân có thể tạo rào là $6250\left( {\;{m^2}} \right)$

Đặt các điểm như hình vẽ.

Đặt $DF = x$, $x > 0$, ta có $\Delta ADF$ đồng dạng với $\Delta BED$ nên $\frac{{EB}}{{ED}} = \frac{{AF}}{{DF}}$$\Rightarrow EB = \frac{{ab}}{x}$

Gọi $l$ là chiều dài của que sào, ta có ${l^2} = A{B^2} = {\left( {x + b} \right)^2} + {\left( {a + \frac{{ab}}{x}} \right)^2} = f\left( x \right)$.

Đạo hàm: $f'\left( x \right) = 2\left( {x + b} \right) - 2\frac{{ab}}{{{x^2}}}\left( {a + \frac{{ab}}{x}} \right) = 2\left( {x + b} \right)\left( {1 - \frac{{{a^2}b}}{{{x^3}}}} \right)$; $f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = \sqrt[3]{{{a^2}b}} = 12$.

Dễ dàng suy ra được $\min \,f\left( x \right) = f\left( {12} \right) = 1125$

Vậy giá trị nhỏ nhất của que sào là $l = \sqrt {1125} = 15\sqrt 5$.