Bài tập Tính độ dài vectơ khi biết tích vectơ với một số lớp 10 (có lời giải)

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A.

Do tam giác ABC đều cạnh 4 nên: AB = AC = BC = 4

⇒ $|\overrightarrow{BC}|=BC$= 4

Ta có: $|-\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}|=|-\frac{1}{2}|.|\overrightarrow{BC}|=\frac{1}{2}.4=2$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C.

Do O là tâm của hình vuông ABCD nên O là trung điểm của AC và BD nên ta có:

$\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AO}$; $\frac{1}{2}\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{OB}$.

$\Rightarrow \frac{1}{2}\overrightarrow{AC}+\frac{1}{2}\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{AB}$

$\Rightarrow |\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}+\frac{1}{2}\overrightarrow{DB}|=|\overrightarrow{AB}|=AB=3$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A.

Ta có: $2\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AD}=2(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD})=2\overrightarrow{AC}$ (áp dụng quy tắc hình bình hành)

Xét tam giác ABC có:

$\widehat{ABC}={60}^{o}$

AB = BC (do ABCD là hình thoi)

Do đó, tam giác ABC là tam giác đều

⇒ AC = AB = BC = 5

Vậy $|2\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AD}|=|2\overrightarrow{AC}|=|2||\overrightarrow{AC}|=2.AC=2.5=10$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D.

Ta có: $2\overrightarrow{AB}-2\overrightarrow{AD}=2(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD})=2\overrightarrow{DB}$ (hiệu hai vectơ).

Gọi O là giao hai đường chéo của hình thoi, khi đó O là trung điểm của AC và BD. Hơn nữa hai đường chéo này vuông góc với nhau tại O.

Xét tam giác ABC có:

$\widehat{ABC}={60}^{o}$

AB = BC (do ABCD là hình thoi)

Do đó, tam giác ABC là tam giác đều

⇒ AC = AB = BC = 5

$\Rightarrow AO=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}.5=2{,}5$

Xét tam giác AOB vuông tại O, theo định lí Pytahgore ta có:

$A{B}^{2}=A{O}^{2}+B{O}^{2}\Rightarrow B{O}^{2}=A{B}^{2}-A{O}^{2}={5}^{2}-2,{5}^{2}=18{,}75$

$\Rightarrow BO=\frac{5\sqrt{3}}{2}$

$\Rightarrow BD=2BO=2.\frac{5\sqrt{3}}{2}=5\sqrt{3}$

Vậy $|2\overrightarrow{AB}-2\overrightarrow{AD}|=|2\overrightarrow{DB}|=|2||\overrightarrow{DB}|=2DB=2.5\sqrt{3}=10\sqrt{3}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B.

Xét tam giác ABD vuông tại A (do ABCD là hình chữ nhật)

Áp dụng định lí Pythagore ta có:

BD$^{2}$ = AB$^{2}$ + AD$^{2}$ = 4$^{2}$ + 3$^{2}$ = 25 ⇔ BD = 5

Có: $|\frac{1}{2}\overrightarrow{DB}|=|\frac{1}{2}||\overrightarrow{DB}|=\frac{1}{2}DB=\frac{1}{2}.5=2{,}5$.