Bài tập Tính độ dài vectơ khi biết tích vectơ với một số lớp 10 (có lời giải)

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A.

Do tam giác ABC đều cạnh 4 nên: AB = AC = BC = 4

⇒ $|\overrightarrow{BC}|=BC$= 4

Ta có: $|-\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}|=|-\frac{1}{2}|.|\overrightarrow{BC}|=\frac{1}{2}.4=2$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C.

Do O là tâm của hình vuông ABCD nên O là trung điểm của AC và BD nên ta có:

$\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AO}$; $\frac{1}{2}\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{OB}$.

$\Rightarrow \frac{1}{2}\overrightarrow{AC}+\frac{1}{2}\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{AB}$

$\Rightarrow |\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}+\frac{1}{2}\overrightarrow{DB}|=|\overrightarrow{AB}|=AB=3$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A.

Ta có: $2\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AD}=2(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD})=2\overrightarrow{AC}$ (áp dụng quy tắc hình bình hành)

Xét tam giác ABC có:

$\widehat{ABC}={60}^{o}$

AB = BC (do ABCD là hình thoi)

Do đó, tam giác ABC là tam giác đều

⇒ AC = AB = BC = 5

Vậy $|2\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AD}|=|2\overrightarrow{AC}|=|2||\overrightarrow{AC}|=2.AC=2.5=10$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D.

Ta có: $2\overrightarrow{AB}-2\overrightarrow{AD}=2(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD})=2\overrightarrow{DB}$ (hiệu hai vectơ).

Gọi O là giao hai đường chéo của hình thoi, khi đó O là trung điểm của AC và BD. Hơn nữa hai đường chéo này vuông góc với nhau tại O.

Xét tam giác ABC có:

$\widehat{ABC}={60}^{o}$

AB = BC (do ABCD là hình thoi)

Do đó, tam giác ABC là tam giác đều

⇒ AC = AB = BC = 5

$\Rightarrow AO=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}.5=2{,}5$

Xét tam giác AOB vuông tại O, theo định lí Pytahgore ta có:

$A{B}^{2}=A{O}^{2}+B{O}^{2}\Rightarrow B{O}^{2}=A{B}^{2}-A{O}^{2}={5}^{2}-2,{5}^{2}=18{,}75$

$\Rightarrow BO=\frac{5\sqrt{3}}{2}$

$\Rightarrow BD=2BO=2.\frac{5\sqrt{3}}{2}=5\sqrt{3}$

Vậy $|2\overrightarrow{AB}-2\overrightarrow{AD}|=|2\overrightarrow{DB}|=|2||\overrightarrow{DB}|=2DB=2.5\sqrt{3}=10\sqrt{3}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B.

Xét tam giác ABD vuông tại A (do ABCD là hình chữ nhật)

Áp dụng định lí Pythagore ta có:

BD$^{2}$ = AB$^{2}$ + AD$^{2}$ = 4$^{2}$ + 3$^{2}$ = 25 ⇔ BD = 5

Có: $|\frac{1}{2}\overrightarrow{DB}|=|\frac{1}{2}||\overrightarrow{DB}|=\frac{1}{2}DB=\frac{1}{2}.5=2{,}5$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A.

Do M là trung điểm của BC nên ta có: $\frac{1}{2}\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{CM}$

Do đó, ta có: $\frac{1}{2}\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{MA}=\overrightarrow{CM}+\overrightarrow{MA}=\overrightarrow{CA}$

Vậy $|\frac{1}{2}\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{MA}|=|\overrightarrow{CA}|=CA=a$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C.

Gọi M là trung điểm của BC.

Do đó ta có: $\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BM}$

Khi đó: $\overrightarrow{BA}-\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{MA}$ (hiệu hai vectơ)

$\Leftrightarrow |\overrightarrow{BA}-\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}|=|\overrightarrow{MA}|=MA$.

Do tam giác ABC đều nên AM vừa là trung tuyến vừa là đường cao nên tam giác AMB vuông tại M.

Ta có: BM = $\frac{1}{2}BC=\frac{a}{2}$.

Áp dụng định lí Pythagore ta có:

AB$^{2}$ = AM$^{2}$ + BM$^{2}$ ⇔ AM$^{2}$ = AB$^{2}$ – BM$^{2}$ = a$^{2}$ – ${(\frac{a}{2})}^{2}$= $\frac{3{a}^{2}}{4}$ $\Leftrightarrow MA=\frac{a\sqrt{3}}{2}$

Vậy $|\overrightarrow{BA}-\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}|=MA=\frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A.

Vì O là tâm hình thoi ABCD nên O là trung điểm của AC và BD.

Do đó ta có:

$2\overrightarrow{DO}=\overrightarrow{DB}$;

$2\overrightarrow{CO}=\overrightarrow{CA}$.

Khi đó:

$2\overrightarrow{DO}+\overrightarrow{BC}+2\overrightarrow{CO}=\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{DA}$ (áp dụng quy tắc ba điểm)

Suy ra: $|2\overrightarrow{DO}+\overrightarrow{BC}+2\overrightarrow{CO}|=|\overrightarrow{DA}|$ = DA = a.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B.

Xét hình vuông ABCD có: $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$

Ta có: $|2\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{DC}|=|2\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AB}|=|4\overrightarrow{AB}|=|4||\overrightarrow{AB}|=4.AB=4.2a=8a$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D.

Ta có:

$\frac{1}{2}\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{BM}$ (do M là trung điểm AB)

$\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BP}$ (do P là trung điểm BC)

$|\frac{1}{2}\overrightarrow{BA}-\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}|=|\overrightarrow{BM}-\overrightarrow{BP}|=|\overrightarrow{PM}|=PM$ (áp dụng quy tắc trừ hai vectơ)

Xét tam giác ABC đều

M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AC, BC

Do đó, PM là đường trung bình của tam giác ABC.

$\Rightarrow PM=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}.4a=2a$

Vậy $|\frac{1}{2}\overrightarrow{BA}-\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}|=2a$.