Bài tập Tích vô hướng của hai vecto có đáp án

Trong Hình 4.39, số đo góc BAC cũng được gọi là số đo góc giữa hai vecto $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$. Hãy tìm số đo các góc giữa $\overrightarrow{BC}$ và $\overrightarrow{BD}$, $\overrightarrow{DA}$ và $\overrightarrow{DB}$.

Cho hai vecto cùng phương $\overrightarrow{u}=(x;y)$ và $\overrightarrow{v}=(kx;ky).$ Hãy kiểm tra công thức $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=k({x}^{2}+{y}^{2})$ theo từng trường hợp sau:

a) $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{0};$

b) $\overrightarrow{u}\ne \overrightarrow{0}$ và $k\ge 0;$

c) $\overrightarrow{u}\ne \overrightarrow{0}$ và k < 0.

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vecto không cùng phương $\overrightarrow{u}(x;y)$ và $\overrightarrow{v}(x';y')$.

a) Xác định tọa độ các điểm A và B sao cho $\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{u},\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{v}.$

b) Tính AB$^{2}$, OA$^{2}$, OB$^{2}$ theo tọa độ của A và B.

c) Tính $\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}$ theo tọa độ của A, B.

Cho ba vecto $\overrightarrow{u}({x}_{1};{y}_{1}),\overrightarrow{v}({x}_{2};{y}_{2}),\overrightarrow{w}({x}_{3};{y}_{3}).$

a) Tính $\overrightarrow{u.}(\overrightarrow{v}+\overrightarrow{\text{w}}),\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}+\overrightarrow{u}.\overrightarrow{\text{w}}$ theo tọa độ các vecto $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{\text{w}}.$

b) So sánh $\overrightarrow{u}.(\overrightarrow{v}+\overrightarrow{\text{w}})$ và $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}+\overrightarrow{u}.\overrightarrow{\text{w}}$.

c) So sánh $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}$ và $\overrightarrow{v}.\overrightarrow{u}$.

Cho tam giác ABC với A(-1;2), B(8;-1), C(8;8). Gọi H là trực tâm của tam giác ABC.

a) Chứng minh rằng $\overrightarrow{AH}.\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{0}$ và $\overrightarrow{BH}.\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{0}.$

b) Tìm tọa độ của H.

c) Giải tam giác ABC.

Một lực $\overrightarrow{F}$ không đổi tác động vào một vật và điểm đặt của lực chuyển động thẳng đều từ A đến B. Lực $\overrightarrow{F}$ được phân tích thành hai lực thành phần $\overrightarrow{{F}_{1}}$ và $\overrightarrow{{F}_{2}}(\overrightarrow{F}=\overrightarrow{{F}_{1}}+\overrightarrow{{F}_{2}})$

a) Dựa vào tính chất của tích vô hướng, hãy giải thích vì sao công sinh bởi lực $\overset{⇀}{F}$ (đã được đề cập ở trên) bằng tổng của các công sinh bởi các lực $\overrightarrow{{F}_{1}}$ và $\overrightarrow{{F}_{2}}.$

b) Giả sử các lực thành phần $\overrightarrow{{F}_{1}}$ và $\overrightarrow{{F}_{2}}.$ tương ứng cùng phương, vuông góc với phương chuyển động của vật. Hãy tìm mối quan hệ giữa các công sinh bởi lực $\overset{⇀}{F}$ và lực $\overrightarrow{{F}_{1}}$

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, hãy tính góc giữa hai vecto $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ trong mỗi trường hợp sau:

a) $\overrightarrow{a}(-3;1),\overrightarrow{b}(2;6);$

b) $\overrightarrow{a}(3;1),\overrightarrow{b}(2;4);$

c) $\overrightarrow{a}(-\sqrt{2};1),\overrightarrow{b}(2;-\sqrt{2});$

Tìm điều kiện của $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}$ để:

a) $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=|\overrightarrow{u}|.|\overrightarrow{v}|;$

b) $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=-|\overrightarrow{u}|.|\overrightarrow{v}|;$

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A(1;2), B(-4;3). Gọi M(t;0) là một điểm thuộc trục hoành.

a) Tính $\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BM}$ theo t.

b) Tính t để $\widehat{AMB}={90}^{0}.$

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba điểm không thẳng hàng A(-4;1), B(2;4), C(2;-2).

a) Giải tam giác ABC.

b) Tìm tọa độ trực tâm H của tam giác ABC.

Chứng minh rằng với mọi tam giác ABC,

${S}_{ABC}=\frac{1}{2}\sqrt{{\overrightarrow{AB}}^{2}.{\overrightarrow{AC}}^{2}-{(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC})}^{2}}.$

Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Chứng minh rằng với mọi điểm M, ta có:

MA$^{2}$ + MB$^{2}$ + MC$^{2}$ = 3MG$^{2}$ + GA$^{2}$ + GB$^{2}$ + GC$^{2}$.