Bài tập Tích vô hướng của hai vecto có đáp án

Số đo góc giữa $\overrightarrow{BC}$ và $\overrightarrow{BD}$ là góc CBD bằng 30$^{0}$.

Xét tam giác BCD, có:

$\widehat{BCA}=\widehat{CBD}+\widehat{CDB}\Leftrightarrow \widehat{CDB}=\widehat{BCA}-\widehat{CBD}={80}^{0}-{30}^{0}={50}^{0}$

Suy ra số đo góc giữa $\overrightarrow{DA}$ và $\overrightarrow{DB}$ là góc CDB bằng 50$^{0}$.

Vậy số đo góc giữa $\overrightarrow{BC}$ và $\overrightarrow{BD}$ bằng 30$^{0}$, số đo góc giữa $\overrightarrow{DA}$ và $\overrightarrow{DB}$ là góc CDB bằng 50$^{0}$.

Góc giữa hai vectơ bằng 0$^{0}$ khi hai vecto cùng hướng.

Góc giữa hai vectơ bằng 180$^{0}$ khi hai vecto ngược hướng (hoặc đối nhau).

Lấy điểm D thỏa mãn ABCD là hình bình hành, khi đó: $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}.$

Vì tam giác ABC đều nên $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}=\widehat{BAC}={60}^{0}$

$\Rightarrow \widehat{DAC}=\widehat{ACB}={60}^{0}$ (hai góc so le trong)

$\Rightarrow \widehat{BAD}={120}^{0}$

Ta có: $(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC})=(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD})=\widehat{BAD}={120}^{0}$.

Vậy $(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC})={120}^{0}$.

Tích vô hướng của hai vecto $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\ne \overrightarrow{0}$ được tính bởi công thức sau:

$\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=|\overrightarrow{u}|.|\overrightarrow{v}|.c\text{os}(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}).$

Vì $|\overrightarrow{u}|>0,|\overrightarrow{v}|>0$ nên dấu của $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}$ phụ thuộc vào dấu của $c\text{os}(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})$.

Nếu tích vô hướng của hai vecto $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}$ là một số dương thì $c\text{os}(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})>0.$ Do đó góc giữa hai vecto $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}$ là góc nhọn hoặc bằng 0$^{0}$.

Nếu tích vô hướng của hai vecto $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}$ là một số âm thì $c\text{os}(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})<0.$ Do đó góc giữa hai vecto $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}$ là góc tù hoặc bằng 180$^{0}$.

Ta có: $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=|\overrightarrow{u}|.|\overrightarrow{v}|.c\text{os}(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})$

$\Leftrightarrow {(\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v})}^{2}={[|\overrightarrow{u}|.|\overrightarrow{v}|.c\text{os}(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})]}^{2}={\overrightarrow{u}}^{2}.{\overrightarrow{v}}^{2}.c{\text{os}}^{2}(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})$

Để ${(\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v})}^{2}={\overrightarrow{u}}^{2}.{\overrightarrow{v}}^{2}$ thì $c{\text{os}}^{2}(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})=1\Leftrightarrow [\begin{matrix}c\text{os}(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})=1 \\ c\text{os}(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})=-1\end{matrix}\Leftrightarrow [\begin{matrix}(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})={0}^{0} \\ (\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})={180}^{0}\end{matrix}$

Vậy khi góc giữa hai vecto $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}$ là 0$^{0}$ hoặc 180$^{0}$ thì ${(\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v})}^{2}={\overrightarrow{u}}^{2}.{\overrightarrow{v}}^{2}.$

Ta có:

$\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=AB.AC.c\text{os}(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC})\ \Rightarrow \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=AB.AC.\cos \widehat{BAC}\ \Rightarrow \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=bc.c\text{os}\widehat{\text{BAC}}$

Theo định lí côsin, ta có:

$\text{cosBAC=}\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}\ \overrightarrow{\Rightarrow AB}.\overrightarrow{AC}=bc.\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}=\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2}$.

Vậy $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2}.$

a) Ta có: $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{0}\Rightarrow \{\begin{matrix}x=0 \\ y=0\end{matrix}$

Mà $\overrightarrow{0}$ vuông góc với mọi vecto nên ta có: $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=0$

Ta lại có: $k({x}^{2}+{y}^{2})=k({0}^{2}+{0}^{2})=0$

$\Rightarrow \overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=k({x}^{2}+{y}^{2})$

Vậy với $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{0}$ công thức đã cho đúng.

b) Vì k ≥ 0 nên hai vecto $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}$ cùng hướng

$\Rightarrow (\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})={0}^{0}$

Ta có:

$\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=|\overrightarrow{u}||\overrightarrow{v}|cos(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})=\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}.\sqrt{{(kx)}^{2}+{(ky)}^{2}}\text{.cos}(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})=|k|({x}^{2}+{y}^{2}).c\text{os}{0}^{0}=k({x}^{2}+{y}^{2}).$

Vậy với $\overrightarrow{u}\ne \overrightarrow{0}$ và $k\ge 0$ công thức đã cho đúng.

c) Vì k < 0 nên hai vecto $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}$ ngược hướng

$\Rightarrow (\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})={180}^{0}$

Ta có:

$\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=|\overrightarrow{u}||\overrightarrow{v}|cos(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})=\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}.\sqrt{{(kx)}^{2}+{(ky)}^{2}}\text{.cos}(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})=|k|({x}^{2}+{y}^{2}).c\text{os18}{0}^{0}$

Vậy với $\overrightarrow{u}\ne \overrightarrow{0}$ và k < 0 công thức đã cho đúng.

a) Vì $\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{u}$ mà $\overrightarrow{u}=(x;y)$ nên $\overrightarrow{OA}=(x;y)$ suy ra A(x; y).

Vì $\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{v}$ mà $\overrightarrow{v}=(x';y')$ nên $\overrightarrow{OB}=({x}^{'};{y}^{'})$ suy ra B(x'; y').

b) +) Ta có: A(x; y) và B(x'; y')$\Rightarrow \overrightarrow{AB}=(x'-x;y'-y)$

$\Rightarrow AB=\sqrt{{(x'-x)}^{2}+{(y'-y)}^{2}}$

$\Rightarrow A{B}^{2}={(x'-x)}^{2}+{(y'-y)}^{2}.$

+) Ta có: $\overrightarrow{OA}=(x;y)\Rightarrow OA=\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}\Rightarrow O{A}^{2}={x}^{2}+{y}^{2}.$

+) Ta có: $\overrightarrow{OB}=(x';y')\Rightarrow OB=\sqrt{x{'}^{2}+y{'}^{2}}\Rightarrow O{B}^{2}=x{'}^{2}+y{'}^{2}.$

Vậy $A{B}^{2}={(x'-x)}^{2}+{(y'-y)}^{2};$ $O{A}^{2}={x}^{2}+{y}^{2}$ và $O{B}^{2}=x{'}^{2}+y{'}^{2}.$

c) Ta có: $\overrightarrow{OA}.=OA.OB.cos(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB})=OA.OB.cos\widehat{AOB}$

Xét tam giác OAB, theo định lí côsin ta có: $cos\widehat{AOB}=\frac{O{A}^{2}+O{B}^{2}-A{B}^{2}}{2.OA.OB}$

$\Rightarrow cos\widehat{AOB}=\frac{{x}^{2}+{y}^{2}+{{x}^{'}}^{2}+{{y}^{'}}^{2}-[{({x}^{'}-x)}^{2}+{({y}^{'}-y)}^{2}]}{2.\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}.\sqrt{{{x}^{'}}^{2}+{{y}^{'}}^{2}}}$

$\Rightarrow cos\widehat{AOB}=\frac{{x}^{2}+{y}^{2}+{{x}^{'}}^{2}+{{y}^{'}}^{2}-({{x}^{'}}^{2}-2{x}^{'}x+{x}^{2}+{{y}^{'}}^{2}-2{y}^{'}y+{y}^{2})}{2.\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}.\sqrt{{{x}^{'}}^{2}+{{y}^{'}}^{2}}}\ \Rightarrow cos\widehat{AOB}=\frac{{x}^{2}+{y}^{2}+{{x}^{'}}^{2}+{{y}^{'}}^{2}-{{x}^{'}}^{2}+2{x}^{'}x-{x}^{2}-{{y}^{'}}^{2}+2{y}^{'}y-{y}^{2}}{2.\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}.\sqrt{{{x}^{'}}^{2}+{{y}^{'}}^{2}}}\ \Rightarrow cos\widehat{AOB}=\frac{2{x}^{'}x+2{y}^{'}y}{2.\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}.\sqrt{{{x}^{'}}^{2}+{{y}^{'}}^{2}}}\ \Rightarrow cos\widehat{AOB}=\frac{2.({x}^{'}x+{y}^{'}y)}{2.\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}.\sqrt{{{x}^{'}}^{2}+{{y}^{'}}^{2}}}\ \Rightarrow cos\widehat{AOB}=\frac{{x}^{'}x+{y}^{'}y}{\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}.\sqrt{{{x}^{'}}^{2}+{{y}^{'}}^{2}}}$

Do đó $\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}=OA.OB.cos\widehat{AOB}$

Vậy $\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}={x}^{'}x+{y}^{'}y$ .

Với $\overrightarrow{u}=(0;-5),\overrightarrow{v}=(\sqrt{3};1)$

Suy ra:

+) $|\overrightarrow{u}|=\sqrt{{0}^{2}+{(-5)}^{2}}=5;$

+) $|\overrightarrow{v}|=\sqrt{{(\sqrt{3})}^{2}+{1}^{2}}=\sqrt{4}=2;$

Tích vô hướng của hai vecto $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=0.\sqrt{3}-5.1=-5.$

Ta có:$\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=cos(\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v})=\frac{\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}}{|\overrightarrow{u}|.|\overrightarrow{v}|}=\frac{-5}{5.2}=-\frac{1}{2}$

$\Rightarrow (\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})=120^{\circ}$

Vậy $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=-5$ và góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}$ bằng 120$^{0}$.

a) Với $\overrightarrow{u}=({x}_{1};{y}_{1}),\overrightarrow{v}=({x}_{2};{y}_{2})$ và $\overrightarrow{w}=({x}_{3};{y}_{3})$ ta có:

+) $\overrightarrow{v}+\overrightarrow{w}=({x}_{2}+{x}_{3};{y}_{2}+{y}_{3})$

$\Rightarrow \overrightarrow{u}(\overrightarrow{v}+\overrightarrow{w})={x}_{1}.({x}_{2}+{x}_{3})+{y}_{1}({y}_{2}+{y}_{3})={x}_{1}{x}_{2}+{x}_{1}{x}_{3}+{y}_{1}.{y}_{2}+{y}_{1}.{y}_{3}$

+) $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}={x}_{1}.{x}_{2}+{y}_{1}.{y}_{2}và\overrightarrow{u}.\overrightarrow{\text{w}}={x}_{1}.{x}_{3}+{y}_{1}.{y}_{3}$

$\Rightarrow \overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}+\overrightarrow{u}.\overrightarrow{\text{w}}={x}_{1}.{x}_{2}+{y}_{1}.{y}_{2}+{x}_{1}.{x}_{3}+{y}_{1}.{y}_{3}$

b) $\overrightarrow{u}.(\overrightarrow{v}+\overrightarrow{w})={x}_{1}.{x}_{2}+{y}_{1}.{y}_{2}+{x}_{1}.{x}_{3}+{y}_{1}.{y}_{3}$ và $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}+\overrightarrow{u}.\overrightarrow{\text{w}}={x}_{1}.{x}_{2}+{y}_{1}.{y}_{2}+{x}_{1}.{x}_{3}+{y}_{1}.{y}_{3}$

c) Ta có: $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}={x}_{1}.{x}_{2}+{y}_{1}.{y}_{2};\overrightarrow{v}.\overrightarrow{u}={x}_{2}.{x}_{1}+{y}_{2}.{y}_{1}={x}_{1}.{x}_{2}+{y}_{1}.{y}_{2}.$

$\Rightarrow \overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=\overrightarrow{v}.\overrightarrow{u}.$

Vậy $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=\overrightarrow{v}.\overrightarrow{u}.$

a) Vì H là trực tâm của tam giác ABC nên $AH\perp BC\Rightarrow \overrightarrow{AH}.\overrightarrow{BC}=0$

và $BH\perp AC\Rightarrow \overrightarrow{BH}.\overrightarrow{AC}=0$

$BH\perp CA\Rightarrow \overrightarrow{BH}\perp \overrightarrow{CA}\Rightarrow \overrightarrow{BH}.\overrightarrow{CA}=0$

b) Gọi tọa độ điểm H(x;y), ta có:

$\overrightarrow{AH}(x+1;y-2),\overrightarrow{BH}(x-8;y+1),\overrightarrow{BC}(0;9),\overrightarrow{AC}(9;6)$

$Suyra\overset{⇀}{AH}.\overrightarrow{BC}=(x+1).0+(y-2).9=0\Leftrightarrow 9(y-2)$

$Và\overrightarrow{BH}.\overrightarrow{AC}=(x-8).9+(y+1).6=9x+6y-66$

Theo câu a ta có: Û 9(y – 2) = 0 Û y – 2 = 0 Û y = 2.

Và $\overrightarrow{BH}.\overrightarrow{AC}=0$ (do BH ⊥ AC) Û 9x + 6.2 – 66 = 0

⇔ 9x - 54=0

$\Leftrightarrow$9x= 54

⇔ x = 6

⇒ H(6; 2)

Vậy H(6;2).

c)Với A(‒1;2), B(8;‒1), C(8;8) ta có:

$\overrightarrow{AB}=(9;-3)\Rightarrow AB=\sqrt{{9}^{2}+{(-3)}^{2}}=3\sqrt{10}.$

$\overrightarrow{AC}(9;6)\Rightarrow AC=\sqrt{{9}^{2}+{6}^{2}}=3\sqrt{13}.$

$\overrightarrow{BC}(0;9)\Rightarrow BC=\sqrt{{0}^{2}+{9}^{2}}=9.$

+) $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=9.9+(-3).6=63;$

$cos\widehat{BAC}=\frac{\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}}{AB.AC}=\frac{63}{3\sqrt{10}.3\sqrt{13}}=\frac{63}{9.\sqrt{130}}=\frac{7}{\sqrt{130}}$

Þ $\widehat{BAC}\approx 52^{\circ}{8}^{'}$

+) $\overrightarrow{AB}=(9;-3)\Rightarrow \overrightarrow{BA}=(-9;3)\Rightarrow \overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}=(-9).0+3.9=27;$

Có: $cos\widehat{ABC}=\frac{\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}}{BA.BC}=\frac{27}{3\sqrt{10}.9}=\frac{1}{\sqrt{10}}$

$\Rightarrow \widehat{ABC}\approx 71^{\circ}{34}^{'}$

Xét tam giác ABC, theo định lí tổng ba góc trong một tam giác ta có:

$\widehat{BAC}+\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=180^{\circ}\ \Rightarrow \widehat{ACB}=180^{\circ}-(\widehat{BAC}+\widehat{ABC})\ \Rightarrow \widehat{ACB}\approx 180^{\circ}-(52^{\circ}{8}^{'}+71^{\circ}{34}^{'})\approx 56^{\circ}{18}^{'}\ VậyAB=3\sqrt{10},AC=3\sqrt{13},BC=9,\widehat{BAC}\approx 52^{\circ}{8}^{'},\widehat{ABC}\approx 71^{\circ}{34}^{'},\widehat{ACB}\approx 56^{\circ}{18}^{'}.\ \ \$

a) Ta có: $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=(-3).2+1.6=0\Rightarrow (\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})={90}^{0}.$

b) Ta có: $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=3.2+1.4=10$

$|\overrightarrow{a}|=\sqrt{{3}^{2}+{1}^{2}}=\sqrt{10},|\overrightarrow{b}|=\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}=2\sqrt{5}$

$\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=|\overrightarrow{a}|.|\overrightarrow{b}|.c\text{os}(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})\Rightarrow c\text{os}(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})=\frac{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}|.|\overrightarrow{b}|}=\frac{10}{\sqrt{10}.2\sqrt{5}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\Rightarrow (\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})={45}^{0}.$

c) Ta có: $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=(-\sqrt{2}).2+1.(-\sqrt{2})=-3\sqrt{2}$

$|\overrightarrow{a}|=\sqrt{{(-\sqrt{2})}^{2}+{1}^{2}}=\sqrt{3},|\overrightarrow{b}|=\sqrt{{2}^{2}+{(-\sqrt{2})}^{2}}=\sqrt{6}$

$\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=|\overrightarrow{a}|.|\overrightarrow{b}|.c\text{os}(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})\Rightarrow c\text{os}(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})=\frac{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}|.|\overrightarrow{b}|}=\frac{-3\sqrt{2}}{\sqrt{3}.\sqrt{6}}=-1\Rightarrow (\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})={180}^{0}.$

a) Ta có: $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=|\overrightarrow{u}|.|\overrightarrow{v}|.\cos (\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})$

Để $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=|\overrightarrow{u}|.|\overrightarrow{v}|$ thì $\cos (\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})=1\Leftrightarrow (\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})={0}^{0}$

Suy ra $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}$ là hai vecto cùng hướng.

b) Ta có: $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=|\overrightarrow{u}|.|\overrightarrow{v}|.\cos (\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})$

Để $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=-|\overrightarrow{u}|.|\overrightarrow{v}|$ thì $\cos (\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})=-1\Leftrightarrow (\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})={180}^{0}$

Suy ra $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}$ là hai vecto ngược hướng.

a) Ta có: $\overrightarrow{AM}(t-1;-2),\overrightarrow{BM}(t+4;-3)$

$\Rightarrow \overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BM}=(t-1)(t+4)+(-2).(-3)={t}^{2}+3t+2.$.

b) Để $\widehat{AMB}={90}^{0}$ thì $\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BM}=0$

$\Leftrightarrow {t}^{2}+3t+2=0\Leftrightarrow [\begin{matrix}t=-1 \\ t=-2\end{matrix}$

Vậy với t = -1 hoặc t = - 2 thì $\widehat{AMB}={90}^{0}.$

a) Ta có: $\overrightarrow{AB}(6;3)\Rightarrow AB=\sqrt{{6}^{2}+{3}^{2}}=3\sqrt{5};$

$\overrightarrow{AC}(6;-3)\Rightarrow AC=\sqrt{{6}^{2}+{(-3)}^{2}}=3\sqrt{5};$

$\overrightarrow{BC}(0;-6)\Rightarrow BC=\sqrt{{0}^{2}+{(-6)}^{2}}=6;$

Theo định lí cosin, ta có:

$\text{cos}A=\frac{A{B}^{2}+A{C}^{2}-B{C}^{2}}{2.AB.AC}=\frac{3}{5}\Rightarrow \widehat{A}\approx 53,{13}^{0};$

Tam giác ABC có AB = AC nên tam giác ABC cân tại A

$\Rightarrow \widehat{B}=\widehat{C}=\frac{{180}^{0}-\widehat{A}}{2}\approx 63,{44}^{0}$.

Vậy $AB=AC=3\sqrt{5},BC=6,\widehat{A}=53,{13}^{0},\widehat{B}=\widehat{C}=63,{44}^{0}.$

b) Gọi trực tâm H của tam giác ABC có tọa độ là H(x;y)

Khi đó, ta có: $\overrightarrow{AH}(x+4;y-1);\overrightarrow{BC}(0;-6);\overrightarrow{BH}(x-2;y-4);\overrightarrow{AC}(6;-3)$

Vì $AH\perp BC\Rightarrow \overrightarrow{AH}.\overrightarrow{BC}=0\Leftrightarrow (x+4).0+(y-1).(-6)=0\Leftrightarrow y=1.$

Vì $BH\perp AC\Rightarrow \overrightarrow{BH}.\overrightarrow{AC}=0\Leftrightarrow (x-2).6+(y-4).(-3)=0$

$\Leftrightarrow (x-2).2+(y-4).(-1)=0\ \Leftrightarrow 2x-y=0$

Mà y = 1 $\Rightarrow 2x-1=0\Leftrightarrow x=\frac{1}{2}.$

Ta có: ${S}_{ABC}=\frac{1}{2}AB.AC.\sin (\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})$

$=\frac{1}{2}AB.AC.\sqrt{1-co{s}^{2}(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})}$

$=\frac{1}{2}AB.AC.\sqrt{1-\frac{{(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC})}^{2}}{{\overrightarrow{AB}}^{2}.{\overrightarrow{AC}}^{2}}}$

$=\frac{1}{2}AB.AC.\sqrt{\frac{{\overrightarrow{AB}}^{2}.{\overrightarrow{AC}}^{2}-{(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC})}^{2}}{{\overrightarrow{AB}}^{2}.{\overrightarrow{AC}}^{2}}}$

$=\frac{1}{2}AB.AC.\frac{1}{AB.AC}.\sqrt{{\overrightarrow{AB}}^{2}.{\overrightarrow{AC}}^{2}-{(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC})}^{2}}$

$=\frac{1}{2}\sqrt{{\overrightarrow{AB}}^{2}.{\overrightarrow{AC}}^{2}-{(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC})}^{2}}$

${\mathrm{MB}}^{2}+\ {\mathrm{MC}}^{2}={\overrightarrow{\mathrm{MA}}}^{2}+{\overrightarrow{\mathrm{MB}}}^{2}+{\overrightarrow{\mathrm{MC}}}^{2}\ ={(\overrightarrow{\mathrm{MG}}+\overrightarrow{\mathrm{GA}})}^{2}+{(\overrightarrow{\mathrm{MG}}+\overrightarrow{\mathrm{GB}})}^{2}+{(\overrightarrow{\mathrm{MG}}+\overrightarrow{\mathrm{GC}})}^{2}\ ={\overrightarrow{\mathrm{MG}}}^{2}+2\overrightarrow{\mathrm{MG}}.\overrightarrow{\mathrm{GA}}+{\overrightarrow{\mathrm{GA}}}^{2}+{\overrightarrow{\mathrm{MG}}}^{2}+2\overrightarrow{\mathrm{MG}}.\overrightarrow{\mathrm{GB}}+{\overrightarrow{\mathrm{GB}}}^{2}+{\overrightarrow{\mathrm{MG}}}^{2}+2\overrightarrow{\mathrm{MG}}.\overrightarrow{\mathrm{GC}}+{\overrightarrow{\mathrm{GC}}}^{2}\ =3{\overrightarrow{\mathrm{MG}}}^{2}+2\overrightarrow{\mathrm{MG}}.(\overrightarrow{\mathrm{GA}}+\overrightarrow{\mathrm{GB}}+\overrightarrow{\mathrm{GC}})+{\overrightarrow{\mathrm{GA}}}^{2}+{\overrightarrow{\mathrm{GB}}}^{2}+{\overrightarrow{\mathrm{GC}}}^{2}\ \mathrm{Ta}\mathrm{có}:\overrightarrow{\mathrm{GA}}+\overrightarrow{\mathrm{GB}}+\overrightarrow{\mathrm{GC}}=\overrightarrow{0}\mathrm{select}:(\mathrm{tính}\mathrm{chất}\mathrm{trọng}\mathrm{tâm}\mathrm{tam}\mathrm{giác})\ \Rightarrow \overrightarrow{\mathrm{MG}}.(\overrightarrow{\mathrm{GA}}+\overrightarrow{\mathrm{GB}}+\overrightarrow{\mathrm{GC}})=\overrightarrow{\mathrm{MG}}.\overrightarrow{0}=0\ \Rightarrow {\mathrm{MA}}^{2}+\ {\mathrm{MB}}^{2}+\ {\mathrm{MC}}^{2}=3{\overrightarrow{\mathrm{MG}}}^{2}+{\overrightarrow{\mathrm{GA}}}^{2}+{\overrightarrow{\mathrm{GB}}}^{2}+{\overrightarrow{\mathrm{GC}}}^{2}.$

Vậy MA$^{2}$ + MB$^{2}$ + MC$^{2}$ = 3MG$^{2}$ + GA$^{2}$ + GB$^{2}$ + GC$^{2}$.