Bài tập Tích của một vecto với một số có đáp án

Với mỗi cặp vật đặt trên hai đầu của một cánh tay đòn AB, luôn có duy nhất một điểm M thuộc AB để nếu đặt trụ đỡ tại M thì cánh tay đòn ở trạng thái cân bằng (H.4.20). Điều trên còn đúng trong trường hợp tổng quát hơn, chẳng hạn, cánh tay đòn được thay bởi một tấm ván hình đa giác n đỉnh A$_{1}$, A$_{2}$, A$_{3}$, …, A$_{n}$, tại mỗi đỉnh A$_{i}$ có đặt một vật nặng m$_{i}$ (kg). Ở đây, ta coi cánh tay đòn, tấm ván là không có trọng lượng. Trong Vật lí, điểm M như trên được gọi là điểm khối tâm của hệ chất điểm A$_{1}$, A$_{2}$, A$_{3}$, …, A$_{n}$ ứng với các khối lượng m$_{1}$, m$_{2}$, m$_{3}$, …, m$_{n}$ (kg).

Qua bài học này, ta sẽ thấy Hình học cho phép xác định vị trí khối tâm của một hệ chất điểm.

Cho vecto $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{a}$. Hãy xác định điểm C sao cho $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{a}.$

a) Tìm mối quan hệ giữa $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{a}.$

b) Vecto $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{a}$ có mối quan hệ như thế nào về hướng và độ dài với vecto $\overrightarrow{a}.$

Trên một trục số, gọi O, A, M, N tương ứng biểu diễn các số $0;1;\sqrt{2};-\sqrt{2}.$Hãy nêu mối quan hệ về hướng và độ dài của mỗi vecto $\overrightarrow{OM},\overrightarrow{ON}$ với vecto $\overrightarrow{a}=\overrightarrow{OA}$. Viết đẳng thức thể hiện mối quan hệ giữa hai vecto $\overrightarrow{OM}$ và $\overrightarrow{OA}$.

Cho đường thẳng d đi qua hai điểm phân biệt A và B (H.4.25). Những khẳng định nào sau đây là đúng?

a) Điểm M thuộc đường thẳng d khi và chỉ khi tồn tại số t để $\overrightarrow{AM}=t\overrightarrow{AB}$.

b) Với điểm M bất kì, ta luôn có: $\overrightarrow{AM}=\frac{AM}{AB}.\overrightarrow{AB}.$

c) Điểm M thuộc tia đối của tia AB khi và chỉ khi tồn tại số t ≤ 0 để $\overrightarrow{AM}=t\overrightarrow{AB}.$

Với $\overrightarrow{u}\ne \overrightarrow{0}$ và hai số thực k, t, những khẳng định nào sau đây là đúng?

a) Hai vecto $k(t\overrightarrow{u})$ và $(kt)\overrightarrow{u}$ có cùng độ dài bằng $|kt||\overrightarrow{u}|.$

b) Nếu kt ≥ 0 thì cả hai vecto $k(t\overrightarrow{u}),(kt)\overrightarrow{u}$cùng hướng với $\overrightarrow{u}$.

c) Nếu kt < 0 thì cả hai vecto $k(t\overrightarrow{u}),(kt)\overrightarrow{u}$ ngược hướng với $\overrightarrow{u}$.

d) Hai vecto $k(t\overrightarrow{u})$ và $(kt)\overrightarrow{u}$ bằng nhau.

Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Chứng minh với điểm O tùy ý, ta có:

$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=3\overrightarrow{OG}$

Trong Hình 4.27, hãy biểu thị mỗi vecto $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}$ theo hai vecto $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$, tức là tìm các số x, y, z, t để $\overrightarrow{u}=x\overrightarrow{a}+y\overrightarrow{b},\overrightarrow{v}=t\overrightarrow{a}+z\overrightarrow{b}.$

Cho hai điểm phân biệt A và B.

a) Hãy xác định điểm K sao cho $\overrightarrow{KA}+2\overrightarrow{KB}=\overrightarrow{0}.$

b) Chứng minh rằng với mọi điểm O, ta có: $\overrightarrow{OK}=\frac{1}{3}\overrightarrow{OA}+\frac{2}{3}\overrightarrow{OB}.$

Cho tam giác ABC.

a) Hãy xác định điểm M để $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}.$

b) Chứng minh rằng với mọi điểm O, ta có: $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+2\overrightarrow{OC}=4\overrightarrow{OM}.$

Chất điểm A chịu tác động của ba lực $\overrightarrow{{F}_{1}},\overrightarrow{{F}_{2}},\overrightarrow{{F}_{3}}$như Hình 4.30 và ở trạng thái cân bằng (tức là $\overrightarrow{{F}_{1}}+\overrightarrow{{F}_{2}}+\overrightarrow{{F}_{3}}=\overrightarrow{0}$). Tính độ lớn của các lực $\overrightarrow{{F}_{2}},\overrightarrow{{F}_{3}},$ biết $\overrightarrow{{F}_{1}}$ có độ lớn là 20N.