Bài tập Tích của một vecto với một số có đáp án

+) $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{a}$ nên $\overrightarrow{AB}$ cùng hướng và cùng độ lớn với $\overset{⇀}{a}$ ;

+) $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{a}$nên $\overset{⇀}{BC}$ cùng hướng và cùng độ lớn với $\overset{⇀}{a}$ .

Do đó $\overset{⇀}{AB}$ và $\overset{⇀}{BC}$ cùng hướng và cùng độ lớn với $\overset{⇀}{a}$

Suy ra ba điểm A, B, C thẳng hàng và AB = BC

Hay B là trung điểm của AC.

Vậy điểm C là điểm sao cho B là trung điểm của AC.

a) Ta có: $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{a}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$ (quy tắc ba điểm)

Suy ra $|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{a}|=|\overrightarrow{AC}|=AC$

Mà AC = AB + BC = 2AB nên $|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{a}|=2AB$ .

Lại vecto $\overrightarrow{AC}$ cùng hướng với vecto $\overrightarrow{AB}$

Vậy $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{a}$ cùng hướng với vecto $\overset{⇀}{AB}$ và $|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{a}|=2AB=2|\overrightarrow{AB}|$ .

b)Vì $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{a}$ nên $\overrightarrow{AB}$ cùng hướng với vecto $\overset{⇀}{AB}$và $|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{a}|=2AB$.

Mà cùng hướng với vecto $\overset{⇀}{AB}$ và $|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{a}|=2AB$ .

Do đó $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{a}$ cùng hướng với vecto $\overrightarrow{a}$ và $|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{a}|=2|\overrightarrow{a}|$.

Tích của vecto $\overrightarrow{a}\ne \overrightarrow{0}$ với số thực k = 1 > 0 là vecto kí hiệu là $1\overrightarrow{a}$, vecto này cùng hướng với vecto $\overrightarrow{a}$ và có độ dài bằng $1|\overrightarrow{a}|=|\overrightarrow{a}|$.

Do đó $1\overrightarrow{a}=\overrightarrow{a}.$

+) Ta có:

Điểm M biểu diễn cho số $\sqrt{2}$ nên $OM=\sqrt{2}$

Điểm A biểu diễn cho số 1 nên OA = 1

Điểm N biểu diễn cho số $-\sqrt{2}$ nên $ON=|-\sqrt{2}|=\sqrt{2}$

Khi đó:

Vecto $\overrightarrow{OM}$ cùng hướng với vecto $\overrightarrow{OA}$ và $OM=\sqrt{2}OA$.

Vecto $\overrightarrow{ON}$ ngược hướng với vecto $\overrightarrow{OA}$ và $ON=\sqrt{2}OA$.

Đẳng thức biểu thị mối quan hệ giữa hai vecto $\overrightarrow{OM}$ và $\overrightarrow{OA}$ là $\overrightarrow{OM}=\sqrt{2}\overrightarrow{OA}.$

Vectơ $(-1)\overrightarrow{a}$ có k = -1 < 0 nên $(-1)\overrightarrow{a}$ ngược hướng với $\overrightarrow{a}$ và có độ dài $|-1||\overrightarrow{a}|=|\overrightarrow{a}|.$

Vectơ $-\overrightarrow{a}$ là vecto đối của vecto $\overrightarrow{a}$ nên $-\overrightarrow{a}$ ngược hướng với $\overrightarrow{a}$ và có độ dài $|\overrightarrow{a}|.$

Do đó vecto $(-1)\overrightarrow{a}$ cùng hướng với $-\overrightarrow{a}$ và có độ dài bằng nhau.

Vì vậy $(-1)\overrightarrow{a}=-\overrightarrow{a}.$

a) Nếu M thuộc đường thẳng d thì $\overrightarrow{AM}$ cùng phương $\overrightarrow{AB}$

Do đó ta có tồn tại một số thực t thỏa mãn $\overrightarrow{AM}=t\overrightarrow{AB}.$

Nếu tồn tại số t thỏa mãn $\overrightarrow{AM}=t\overrightarrow{AB}$ thì $\overrightarrow{AM}$ cùng phương $\overrightarrow{AB}$ hay $\overrightarrow{AM}$ trùng với $\overrightarrow{AB}$.

Do đó A, M, B thẳng hàng hay M thuộc đường thẳng d.

Vì thế khẳng định a) đúng.

b) Nếu M không thuộc đường thẳng d thì $\overrightarrow{AM}$ và $\overrightarrow{AB}$ không cùng phương. Do đó $\overrightarrow{AM}\ne \frac{AM}{AB}\overrightarrow{AB}.$

Vì vậy khẳng định b) sai.

c) Nếu điểm M thuộc tia đối của tia AB:

Nếu điểm M thuộc tia đối của tia AB thì hai vectơ $\overset{⇀}{AM}$ và $\overset{⇀}{AC}$ là hai vectơ cùng phương, ngược hướng

Khi đó tồn tại số thực t ≤ 0 thỏa mãn $\overrightarrow{AM}=t\overrightarrow{AB}$ .

Ngược lại, nếu tồn tại số t ≤ 0 để $\overrightarrow{AM}=t\overrightarrow{AB}$ thì hoặc hai vectơ $\overset{⇀}{AB}$ và $\overset{⇀}{AM}$ ngược hướng (với t < 0) hoặc M ≡ A (với t = 0).

Do đó khẳng định c) đúng.

a) Ta có: $|k(t\overrightarrow{u})|=|k||t\overrightarrow{u}|=|k||t||\overrightarrow{u}|=|kt||\overrightarrow{u}|$

và $|(kt)\overrightarrow{u}|=|kt||\overrightarrow{u}|$

Suy ra $|k(t\overrightarrow{u})|=|(kt)\overrightarrow{u}|=|kt||\overrightarrow{u}|$

Do đó hai vectơ $k(t\overrightarrow{u})$ và $(kt)\overrightarrow{u}$ có cùng độ dài bằng $|kt||\overrightarrow{u}|.$

Vậy khẳng định a) đúng.

b) Vecto $(kt)\overrightarrow{u}$ cùng hướng với vectơ $\overrightarrow{u}$ khi kt ≥ 0

Vecto $k(t\overrightarrow{u})$ cùng hướng với vectơ $t\overrightarrow{u}$ khi k ≥ 0

Vecto $t\overrightarrow{u}$ cùng hướng với vectơ $\overrightarrow{u}$ khi t ≥ 0

Suy ra $k(t\overrightarrow{u})$ cùng hướng với vectơ $\overrightarrow{u}$ khi kt ≥ 0.

Do đó nếu kt ≥ 0 thì cả hai vectơ $k(t\overrightarrow{u}),(kt)\overrightarrow{u}$ cùng hướng với $\overrightarrow{u}$.

Vậy khẳng định b) là đúng.

c) Vecto $(kt)\overrightarrow{u}$ ngược hướng với vectơ $\overrightarrow{u}$ khi kt < 0

Vecto $k(t\overrightarrow{u})$ ngược hướng với vectơ $t\overrightarrow{u}$ khi k < 0

Vecto $t\overrightarrow{u}$ ngược hướng với vectơ $\overrightarrow{u}$ khi t < 0

Suy ra $k(t\overrightarrow{u})$ ngược hướng với vectơ $\overrightarrow{u}$ khi kt < 0.

Do đó nếu kt < 0 thì cả hai vectơ $k(t\overrightarrow{u}),(kt)\overrightarrow{u}$ ngược hướng với $\overrightarrow{u}$ .

Vậy khẳng định c) là đúng.

d) Hai vectơ $k(t\overrightarrow{u})$ và $(kt)\overrightarrow{u}$ có cùng độ dài (theo ý a)

Nếu kt ≥ 0 thì cả hai vectơ $k(t\overrightarrow{u}),(kt)\overrightarrow{u}$ cùng hướng với $\overrightarrow{u}$ .

Suy ra hai vectơ $k(t\overrightarrow{u}),(kt)\overrightarrow{u}$ cùng hướng .

Nếu kt < 0 thì cả hai vecto $k(t\overrightarrow{u}),(kt)\overrightarrow{u}$ ngược hướng với $\overrightarrow{u}$.

Suy ra hai vectơ $k(t\overrightarrow{u}),(kt)\overrightarrow{u}$ cùng hướng.

Do đó hai vectơ $k(t\overrightarrow{u}),(kt)\overrightarrow{u}$ cùng hướng với mọi k, t.

$\Rightarrow k(t\overrightarrow{u})=(kt)\overrightarrow{u}$

Vậy khẳng định d) đúng.

Xét hình bình hành OEMF, ta có:

$\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}=\overrightarrow{OE}+\overrightarrow{\text{OF}}=\overrightarrow{OM}$ (quy tắc hình bình hành)

$\Rightarrow 3(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v})=3\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{OC}$ (1)

Xét hình bình hành OACB, ta có:

$3\overrightarrow{u}+3\overrightarrow{v}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{\text{OB}}=\overrightarrow{OC}$ (quy tắc hình bình hành) (2)

Từ (1) và (2)$\Rightarrow 3(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v})=3\overrightarrow{u}+3\overrightarrow{v}(=\overrightarrow{OC})$

Vậy $3(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v})=3\overrightarrow{u}+3\overrightarrow{v}.$

Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên ta có: $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}$.

Do đó: $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OG}+\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{OG}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{OG}+\overrightarrow{GC}$

$=3\overrightarrow{OG}+(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC})=3\overrightarrow{OG}+\overrightarrow{0}=3\overrightarrow{OG}.$

Vậy $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=3\overrightarrow{OG}.$

Ta có hình vẽ sau:

Xét hình bình hành OABC, có:

$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a},\overrightarrow{OC}=2\overrightarrow{b},\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{u}$

Khi đó, ta có:

$\overrightarrow{u}=\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}$ (quy tắc hình bình hành)

Xét hình bình hành OMNP, có:

$\overrightarrow{ON}=\overrightarrow{v},\overrightarrow{OM}=3\overrightarrow{b},\overrightarrow{OP}=-2\overrightarrow{a}$

Khi đó, ta có:

$\overrightarrow{v}=\overrightarrow{ON}=\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{OP}=3\overrightarrow{b}-2\overrightarrow{a}=-2\overrightarrow{a}+3\overrightarrow{b}.$

Vậy $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b},\overrightarrow{v}=-2\overrightarrow{a}+3\overrightarrow{b}.$

Ta có hình vẽ sau:

Gọi E là điểm đối xứng với A qua M. Khi đó ABEC là hình bình hành

Ta có: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AE}$ (quy tắc hình bình hành)

Mà $\overrightarrow{AE}=2\overrightarrow{AM}$

$\Rightarrow \overrightarrow{AM}=\frac{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}}{2}$

Ta lại có: $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$ (quy tắc hình bình hành)

$\Rightarrow \overrightarrow{AM}=\frac{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}}{2}=\frac{2\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}}{2}=\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}.$

Vậy $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}.$

Ta có: $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}=(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC})+(\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CD})=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC}$

(Do $\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{0}$) (1)

Ta có: $\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{NC}-\overrightarrow{NB}+\overrightarrow{ND}-\overrightarrow{NA}=(\overrightarrow{NC}+\overrightarrow{ND})-(\overrightarrow{NB}+\overrightarrow{NA})$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra: $\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AD}=2\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}.$

a) Cách 1:

Giả sử có điểm K thỏa mãn $\overrightarrow{KA}+2\overrightarrow{KB}=\overrightarrow{0}$ . Khi đó $\overrightarrow{KA}=-2\overrightarrow{KB}$ . Suy ra hai vectơ $\overset{⇀}{KA}$ và $\overset{⇀}{KB}$cùng phương, ngược hướng và KA = 2KB. Suy ra điểm K thuộc đoạn AB và KA = 2KB.

Cách 2:

Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng AB suy ra $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{0}$ .

Khi đó ta có: $\overrightarrow{KA}+2\overrightarrow{KB}=\overrightarrow{0}.$

$\Leftrightarrow (\overrightarrow{KM}+\overrightarrow{MA})+2(\overrightarrow{KM}+\overrightarrow{MB})=\overrightarrow{0}\ \Leftrightarrow \overrightarrow{KM}+\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{KM}+2\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{0}\ \Leftrightarrow (\overrightarrow{KM}+2\overrightarrow{KM})+(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB})+\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{0}\ \Leftrightarrow 3\overrightarrow{KM}+\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{0}(vì\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{0})\ \Leftrightarrow 3\overrightarrow{KM}=-\overrightarrow{MB}\ \Leftrightarrow 3\overrightarrow{KM}=\overrightarrow{BM}\ \Leftrightarrow \overrightarrow{KM}=\frac{1}{3}\overrightarrow{BM}\ \Leftrightarrow \overrightarrow{MK}=\frac{1}{3}\overrightarrow{MB}$

Suy ra vecto $\overset{⇀}{MK}$ cùng hướng với vectơ $\overset{⇀}{MB}$ và thỏa mãn

Vậy điểm K là điểm nằm giữa M và B sao cho thỏa mãn $MK=\frac{1}{3}MB.$

b)

Cách 1:

Ta có:

$\frac{1}{3}\overrightarrow{OA}+\frac{2}{3}\overrightarrow{OB}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{OK}+\overrightarrow{KA})+\frac{2}{3}(\overrightarrow{OK}+\overrightarrow{KB})=\frac{1}{3}\overrightarrow{OK}+\frac{1}{3}\overrightarrow{KA}+\frac{2}{3}\overrightarrow{OK}+\frac{2}{3}\overrightarrow{KB}\ =(\frac{1}{3}\overrightarrow{OK}+\frac{2}{3}\overrightarrow{OK})+(\frac{1}{3}\overrightarrow{KA}+\frac{2}{3}\overrightarrow{KB})=\overrightarrow{OK}+\frac{1}{3}(\overrightarrow{KA}+2\overrightarrow{KB})$

Mà $\overrightarrow{KA}+2\overrightarrow{KB}=\overrightarrow{0}$ (theo câu a) do đó $\frac{1}{3}\overrightarrow{OA}+\frac{2}{3}\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OK}+\frac{1}{3}.\overrightarrow{0}=\overrightarrow{OK}$

Vậy với mọi điểm O, ta có: $\overrightarrow{OK}=\frac{1}{3}\overrightarrow{OA}+\frac{2}{3}\overrightarrow{OB}.$

Cách 2:

Ta có: $\overrightarrow{OK}=\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{MK}$

Theo câu a ta có $\overrightarrow{MK}=\frac{1}{3}\overrightarrow{MB}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OB})$

Do đó $\overrightarrow{OK}=\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{MK}=\overrightarrow{OM}+\frac{1}{3}(\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OB})=\overrightarrow{OM}+\frac{1}{3}\overrightarrow{MO}+\frac{1}{3}\overrightarrow{OB}$

$=\overrightarrow{OM}-\frac{1}{3}\overrightarrow{OM}+\frac{1}{3}\overrightarrow{OB}\ =\frac{2}{3}\overrightarrow{OM}+\frac{1}{3}\overrightarrow{OB}\$

$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=2\overrightarrow{OM}\Rightarrow \overrightarrow{OM}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB})$

Vì M là trung điểm của AB nên $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=2\overrightarrow{OM}\Rightarrow \overrightarrow{OM}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB})$

$=\frac{2}{3}.\frac{1}{2}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB})+\frac{1}{3}\overrightarrow{OB}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB})+\frac{1}{3}\overrightarrow{OB}$

$\Rightarrow \overrightarrow{OK}=\frac{1}{3}\overrightarrow{OA}+\frac{1}{3}\overrightarrow{OB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{OB}=\frac{1}{3}\overrightarrow{OA}+\frac{2}{3}\overrightarrow{OB}$

Vậy với mọi điểm O, ta có: $\overrightarrow{OK}=\frac{1}{3}\overrightarrow{OA}+\frac{2}{3}\overrightarrow{OB}.$

a) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, có: .

Xét $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}$

$\mathrm{MG}\rightarrow +\overrightarrow{\mathrm{GA}}+\overrightarrow{\mathrm{MG}}+\overrightarrow{\mathrm{GB}}+2\overrightarrow{\mathrm{MG}}+2\overrightarrow{\mathrm{GC}}=\overrightarrow{0}\ \Leftrightarrow 4\overrightarrow{\mathrm{MG}}+(\overrightarrow{\mathrm{GA}}+\overrightarrow{\mathrm{GB}}+\overrightarrow{\mathrm{GC}})+\overrightarrow{\mathrm{GC}}=\overrightarrow{0}\ \Leftrightarrow 4\overrightarrow{\mathrm{MG}}+\overrightarrow{\mathrm{GC}}=\overrightarrow{0}\ \Leftrightarrow \overrightarrow{\mathrm{MG}}=\frac{1}{4}\overrightarrow{\mathrm{CG}}$

Suy ra điểm M nằm giữa C và G sao cho $MG=\frac{1}{4}CG.$

b) Ta có: $VT=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+2\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{OM}+2\overrightarrow{MC}$

$=4\overrightarrow{OM}+(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MC})=4\overrightarrow{OM}=VP.$

(Do $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}$)

Ta có: $\overrightarrow{{F}_{1}}+\overrightarrow{{F}_{2}}+\overrightarrow{{F}_{3}}=\overrightarrow{0}$

$\Leftrightarrow \overrightarrow{{F}_{1}}+\overrightarrow{{F}_{2}}=-\overrightarrow{{F}_{3}}$

Mà $\overrightarrow{{F}_{1}}+\overrightarrow{{F}_{2}}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OD}$ (OBDA là hình bình hành)

$\Rightarrow \overrightarrow{OD}=-\overrightarrow{{F}_{3}}$

=> Hai vecto $\overrightarrow{OD}$ và $\overrightarrow{{F}_{3}}$ là hai vecto đối nhau

$\Rightarrow |\overrightarrow{OD}|=|-\overrightarrow{{F}_{3}}|$ và $\widehat{BOD}={60}^{0}$.

Ta lại có: $\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{{F}_{1}}$

Xét ΔOBD, có:

$OB=\frac{BD}{\tan {60}^{0}}=\frac{20}{\sqrt{3}}(N)\Rightarrow |\overrightarrow{{F}_{2}}|=\frac{20}{\sqrt{3}}N.\ OD=\frac{BD}{\sin {60}^{0}}=\frac{40\sqrt{3}}{3}(N)\Rightarrow |\overrightarrow{{F}_{3}}|=\frac{40\sqrt{3}}{3}N.$

Vậy độ lớn vecto $\overrightarrow{{F}_{2}},\overrightarrow{{F}_{3}}$ lần lượt là $\frac{20}{\sqrt{3}}N,\frac{40\sqrt{3}}{3}N.$