Bài tập Giải tam giác và ứng dụng thực tế có đáp án

Gọi vị trí của người đo đạc đứng là điểm A và gọi B, C lần lượt là vị trí hai cái cây bên kia sông. Ta có tam giác ABC với AC = 100 m ; AB = 75 m và $\widehat{A}={32}^{o}$ .

Áp dụng định lí côsin cho tam giác ABC ta có :

BC$^{2}$ = AB$^{2}$ + AC$^{2}$ – 2.AB.AC.cosA = 75$^{2}$ + 100$^{2}$ – 2.75.100.cos32° ≈ 2 904,3.

⇒ BC ≈ $\sqrt{2904{,}3}$ ≈ 53,9 m.

Vậy hai cái cây bên kia sông cách nhau khoảng 53,9 m.

a) Tam giác ABC có:

$\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}={180}^{o}\Rightarrow \widehat{A}={180}^{o}-(\widehat{B}+\widehat{C})={180}^{o}-({44}^{o}30'+{64}^{o})={71}^{o}30'$

Áp dụng định lí sin ta có:

$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}\Rightarrow \frac{17{,}4}{\sin {71}^{o}30'}=\frac{b}{\sin {44}^{o}30'}=\frac{c}{\sin {64}^{o}}$

Suy ra:

$b=\frac{17{,}4.\sin {44}^{o}30'}{\sin {71}^{o}30'}\approx 12{,}9$; $c=\frac{17{,}4.\sin {64}^{o}}{\sin {71}^{o}30'}\approx 16{,}5$

Vậy tam giác ABC có: $\widehat{A}={71}^{o}30'$ ; $\widehat{B}={44}^{o}30';\ \widehat{C}={64}^{o}$ ; a = 17,4; b ≈ 12,9; c ≈ 16,5.

b) Áp dụng hệ quả của định lí côsin ta có:

cosA = $\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}=\frac{{6}^{2}+{8}^{2}-{10}^{2}}{2.6.8}=\frac{0}{96}=0$

⇒ $\widehat{A}={90}^{o}$ .

cosB = $\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}=\frac{{10}^{2}+{8}^{2}-{6}^{2}}{2.10.8}=\frac{128}{160}=0{,}8$

⇒ $\widehat{B}\approx {36}^{o}52'$ .

$\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}={180}^{o}\Rightarrow \widehat{C}={180}^{o}-(\widehat{A}+\widehat{B})={180}^{o}-({90}^{o}+{36}^{o}52')={53}^{o}8'$

Vậy tam giác ABC có: $\widehat{A}={90}^{o}$ ; $\widehat{B}={36}^{o}52'$ ; $\widehat{C}={53}^{o}8'$ ; a = 10; b = 6; c = 8.

Gọi A và B lần lượt là vị trí của hai máy bay sau khi cất cánh 90 phút.

Đổi 90 phút = 1,5 giờ.

Sau 90 phút (tức là sau 1,5 giờ) chiếc máy bay di chuyển theo hướng tây đi được quãng đường là: 450.1,5 = 675 km, tức là OA = 675 km.

Sau 90 phút (tức là sau 1,5 giờ) chiếc máy bay di chuyển theo hướng lệch bắc 25° về phía tây đi được quãng đường là: 630.1,5 = 945 km, tức là OB = 945 km.

Ta có $\widehat{AOB}={90}^{o}-{25}^{o}={65}^{o}$ .

Áp dụng định lí côsin cho tam giác OAB ta có:

AB$^{2}$ = OA$^{2}$ + OB$^{2}$ – 2.OA.OB.cos = 675$^{2}$ + 945$^{2}$ – 2.675.945.cos65$^{o}$ ≈ 809 494,8

⇒ AB = $\sqrt{809\ 494{,}8}\approx 899{,}7$ .

Vậy sau 90 phút hai máy bay cách nhau khoảng 899,7 km.

Áp dụng hệ quả của định lí côsin cho tam giác CHL ta có:

cos $\widehat{CLH}$ =

$\frac{C{L}^{2}+H{L}^{2}-C{H}^{2}}{2.CL.HL}=\frac{{49}^{2}+{104}^{2}-{78}^{2}}{2.49.104}\approx 0{,}6999$

⇒ $\widehat{CLH}$ ≈ 45°35'.

Áp dụng hệ quả của định lí côsin cho tam giác RHL ta có:

cos $\widehat{RLH}$ =

$\frac{R{L}^{2}+H{L}^{2}-R{H}^{2}}{2.RL.HL}=\frac{{56}^{2}+{104}^{2}-{77}^{2}}{2.56.104}\approx 0{,}6888$

⇒ $\widehat{RLH}$ ≈ 46°28'.

Suy ra $\widehat{CLR}=\widehat{CLH}+\widehat{RLH}\approx {45}^{o}35’+{46}^{o}28’\approx {92}^{o}3'$

Áp dụng định lí côsin cho tam giác LCR ta có:

CR$^{2}$ = CL$^{2}$ + LR$^{2}$ – 2.CL.LR.cos$\widehat{CLR}$ = 49$^{2}$ + 56$^{2}$ – 2.49.56.cos92$^{o}$3’ ≈ 5 733,3

⇒ CR ≈ 75,7.

Vậy khoảng cách giữa Châu Đốc và Rạch Giá khoảng 75,7 km.

a) Áp dụng định lí côsin cho tam giác ABC ta có:

BC$^{2}$ = AB$^{2}$ + AC$^{2}$ – 2.AB.AC.cosA = 14$^{2}$ + 23$^{2}$ – 2.14.23.cos125° ≈ 1 094,4.

⇒ BC ≈ $\sqrt{1\ 094{,}4}\approx 33{,}1$ .

Áp dụng hệ quả của định lí côsin cho tam giác ABC ta có:

cosB = $\frac{A{B}^{2}+B{C}^{2}-A{C}^{2}}{2.AB.BC}=\frac{{14}^{2}+33,{1}^{2}-{23}^{2}}{2.14.33{,}1}\approx 0{,}823$

⇒ $\widehat{B}\approx {34}^{o}37'$

Mặt khác tam giác ABC có:

$\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}={180}^{o}\Rightarrow \widehat{C}={180}^{o}-(\widehat{A}+\widehat{B})={180}^{o}-({125}^{o}+{34}^{o}37')={20}^{o}23'$

Vậy tam giác ABC có:

AB = 14, AC = 23, BC ≈ 33,1; $\widehat{A}={125}^{o}$; $\widehat{B}\approx {34}^{o}37'$; $\widehat{C}\approx {20}^{o}23'$ .

b) Tam giác ABC có:

$\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}={180}^{o}\Rightarrow \widehat{A}={180}^{o}-(\widehat{B}+\widehat{C})={180}^{o}-({64}^{o}+{38}^{o})={78}^{o}$

Áp dụng định lí sin cho tam giác ABC ta có:

$\frac{BC}{\sin A}=\frac{AC}{\sin B}=\frac{AB}{\sin C}\Rightarrow \frac{22}{\sin {78}^{o}}=\frac{AC}{\sin {64}^{o}}=\frac{AB}{\sin {38}^{o}}$

Suy ra: $AC=\frac{22.\sin {64}^{o}}{\sin {78}^{o}}\approx 20{,}2$ ; $AB=\frac{22.\sin {38}^{o}}{\sin {78}^{o}}\approx 13{,}8$

Vậy tam giác ABC có:

$\widehat{A}={78}^{o};\ \widehat{B}={64}^{o},\ \widehat{C}={38}^{o}$; AB ≈ 13,8; AC ≈ 20,2; BC = 22.

c) Tam giác ABC có:

$\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}={180}^{o}\Rightarrow \widehat{A}={180}^{o}-(\widehat{B}+\widehat{C})={180}^{o}-({120}^{o}+{28}^{o})={32}^{o}$

Áp dụng định lí sin cho tam giác ABC ta có:

$\frac{BC}{\sin A}=\frac{AC}{\sin B}=\frac{AB}{\sin C}\Rightarrow \frac{BC}{\sin {32}^{o}}=\frac{22}{\sin {120}^{o}}=\frac{AB}{\sin {28}^{o}}$

Suy ra: $BC=\frac{22.\sin {32}^{o}}{\sin {120}^{o}}\approx 13{,}5$; $AB=\frac{22.\sin {28}^{o}}{\sin {120}^{o}}\approx 11{,}9$

Vậy tam giác ABC có:

$\widehat{A}={32}^{o};\ \widehat{B}={120}^{o},\ \widehat{C}={28}^{o}$; AB ≈ 11,9; AC = 22; BC = 13,5.

d) Áp dụng hệ quả của định lí côsin ta có:

cosA = $\frac{A{B}^{2}+A{C}^{2}-B{C}^{2}}{2.AB.AC}=\frac{{23}^{2}+{32}^{2}-{44}^{2}}{2.23.32}=\frac{-383}{1472}\approx -0{,}26$

⇒ $\widehat{A}\approx {105}^{o}4'$

cosB =

$\frac{A{B}^{2}+B{C}^{2}-A{C}^{2}}{2.AB.BC}=\frac{{23}^{2}+{44}^{2}-{32}^{2}}{2.23.44}=\frac{1441}{2024}\approx 0{,}712$

⇒ $\widehat{B}={44}^{o}36'$

$\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}={180}^{o}\Rightarrow \widehat{C}={180}^{o}-(\widehat{A}+\widehat{B})={180}^{o}-({105}^{o}4'+{44}^{o}36')={30}^{o}20'$

Vậy tam giác ABC có: $\widehat{A}\approx {105}^{o}4'$; $\widehat{B}={44}^{o}36'$; $\widehat{C}={30}^{o}20'$; AB = 23, AC = 32, BC = 44.