Bài tập Giải tam giác và ứng dụng thực tế có đáp án

Gọi vị trí của người đo đạc đứng là điểm A và gọi B, C lần lượt là vị trí hai cái cây bên kia sông. Ta có tam giác ABC với AC = 100 m ; AB = 75 m và $\widehat{A}={32}^{o}$ .

Áp dụng định lí côsin cho tam giác ABC ta có :

BC$^{2}$ = AB$^{2}$ + AC$^{2}$ – 2.AB.AC.cosA = 75$^{2}$ + 100$^{2}$ – 2.75.100.cos32° ≈ 2 904,3.

⇒ BC ≈ $\sqrt{2904{,}3}$ ≈ 53,9 m.

Vậy hai cái cây bên kia sông cách nhau khoảng 53,9 m.

a) Tam giác ABC có:

$\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}={180}^{o}\Rightarrow \widehat{A}={180}^{o}-(\widehat{B}+\widehat{C})={180}^{o}-({44}^{o}30'+{64}^{o})={71}^{o}30'$

Áp dụng định lí sin ta có:

$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}\Rightarrow \frac{17{,}4}{\sin {71}^{o}30'}=\frac{b}{\sin {44}^{o}30'}=\frac{c}{\sin {64}^{o}}$

Suy ra:

$b=\frac{17{,}4.\sin {44}^{o}30'}{\sin {71}^{o}30'}\approx 12{,}9$; $c=\frac{17{,}4.\sin {64}^{o}}{\sin {71}^{o}30'}\approx 16{,}5$

Vậy tam giác ABC có: $\widehat{A}={71}^{o}30'$ ; $\widehat{B}={44}^{o}30';\ \widehat{C}={64}^{o}$ ; a = 17,4; b ≈ 12,9; c ≈ 16,5.

b) Áp dụng hệ quả của định lí côsin ta có:

cosA = $\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}=\frac{{6}^{2}+{8}^{2}-{10}^{2}}{2.6.8}=\frac{0}{96}=0$

⇒ $\widehat{A}={90}^{o}$ .

cosB = $\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}=\frac{{10}^{2}+{8}^{2}-{6}^{2}}{2.10.8}=\frac{128}{160}=0{,}8$

⇒ $\widehat{B}\approx {36}^{o}52'$ .

$\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}={180}^{o}\Rightarrow \widehat{C}={180}^{o}-(\widehat{A}+\widehat{B})={180}^{o}-({90}^{o}+{36}^{o}52')={53}^{o}8'$

Vậy tam giác ABC có: $\widehat{A}={90}^{o}$ ; $\widehat{B}={36}^{o}52'$ ; $\widehat{C}={53}^{o}8'$ ; a = 10; b = 6; c = 8.

Gọi A và B lần lượt là vị trí của hai máy bay sau khi cất cánh 90 phút.

Đổi 90 phút = 1,5 giờ.

Sau 90 phút (tức là sau 1,5 giờ) chiếc máy bay di chuyển theo hướng tây đi được quãng đường là: 450.1,5 = 675 km, tức là OA = 675 km.

Sau 90 phút (tức là sau 1,5 giờ) chiếc máy bay di chuyển theo hướng lệch bắc 25° về phía tây đi được quãng đường là: 630.1,5 = 945 km, tức là OB = 945 km.

Ta có $\widehat{AOB}={90}^{o}-{25}^{o}={65}^{o}$ .

Áp dụng định lí côsin cho tam giác OAB ta có:

AB$^{2}$ = OA$^{2}$ + OB$^{2}$ – 2.OA.OB.cos = 675$^{2}$ + 945$^{2}$ – 2.675.945.cos65$^{o}$ ≈ 809 494,8

⇒ AB = $\sqrt{809\ 494{,}8}\approx 899{,}7$ .

Vậy sau 90 phút hai máy bay cách nhau khoảng 899,7 km.

Áp dụng hệ quả của định lí côsin cho tam giác CHL ta có:

cos $\widehat{CLH}$ =

$\frac{C{L}^{2}+H{L}^{2}-C{H}^{2}}{2.CL.HL}=\frac{{49}^{2}+{104}^{2}-{78}^{2}}{2.49.104}\approx 0{,}6999$

⇒ $\widehat{CLH}$ ≈ 45°35'.

Áp dụng hệ quả của định lí côsin cho tam giác RHL ta có:

cos $\widehat{RLH}$ =

$\frac{R{L}^{2}+H{L}^{2}-R{H}^{2}}{2.RL.HL}=\frac{{56}^{2}+{104}^{2}-{77}^{2}}{2.56.104}\approx 0{,}6888$

⇒ $\widehat{RLH}$ ≈ 46°28'.

Suy ra $\widehat{CLR}=\widehat{CLH}+\widehat{RLH}\approx {45}^{o}35’+{46}^{o}28’\approx {92}^{o}3'$

Áp dụng định lí côsin cho tam giác LCR ta có:

CR$^{2}$ = CL$^{2}$ + LR$^{2}$ – 2.CL.LR.cos$\widehat{CLR}$ = 49$^{2}$ + 56$^{2}$ – 2.49.56.cos92$^{o}$3’ ≈ 5 733,3

⇒ CR ≈ 75,7.

Vậy khoảng cách giữa Châu Đốc và Rạch Giá khoảng 75,7 km.

a) Áp dụng định lí côsin cho tam giác ABC ta có:

BC$^{2}$ = AB$^{2}$ + AC$^{2}$ – 2.AB.AC.cosA = 14$^{2}$ + 23$^{2}$ – 2.14.23.cos125° ≈ 1 094,4.

⇒ BC ≈ $\sqrt{1\ 094{,}4}\approx 33{,}1$ .

Áp dụng hệ quả của định lí côsin cho tam giác ABC ta có:

cosB = $\frac{A{B}^{2}+B{C}^{2}-A{C}^{2}}{2.AB.BC}=\frac{{14}^{2}+33,{1}^{2}-{23}^{2}}{2.14.33{,}1}\approx 0{,}823$

⇒ $\widehat{B}\approx {34}^{o}37'$

Mặt khác tam giác ABC có:

$\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}={180}^{o}\Rightarrow \widehat{C}={180}^{o}-(\widehat{A}+\widehat{B})={180}^{o}-({125}^{o}+{34}^{o}37')={20}^{o}23'$

Vậy tam giác ABC có:

AB = 14, AC = 23, BC ≈ 33,1; $\widehat{A}={125}^{o}$; $\widehat{B}\approx {34}^{o}37'$; $\widehat{C}\approx {20}^{o}23'$ .

b) Tam giác ABC có:

$\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}={180}^{o}\Rightarrow \widehat{A}={180}^{o}-(\widehat{B}+\widehat{C})={180}^{o}-({64}^{o}+{38}^{o})={78}^{o}$

Áp dụng định lí sin cho tam giác ABC ta có:

$\frac{BC}{\sin A}=\frac{AC}{\sin B}=\frac{AB}{\sin C}\Rightarrow \frac{22}{\sin {78}^{o}}=\frac{AC}{\sin {64}^{o}}=\frac{AB}{\sin {38}^{o}}$

Suy ra: $AC=\frac{22.\sin {64}^{o}}{\sin {78}^{o}}\approx 20{,}2$ ; $AB=\frac{22.\sin {38}^{o}}{\sin {78}^{o}}\approx 13{,}8$

Vậy tam giác ABC có:

$\widehat{A}={78}^{o};\ \widehat{B}={64}^{o},\ \widehat{C}={38}^{o}$; AB ≈ 13,8; AC ≈ 20,2; BC = 22.

c) Tam giác ABC có:

$\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}={180}^{o}\Rightarrow \widehat{A}={180}^{o}-(\widehat{B}+\widehat{C})={180}^{o}-({120}^{o}+{28}^{o})={32}^{o}$

Áp dụng định lí sin cho tam giác ABC ta có:

$\frac{BC}{\sin A}=\frac{AC}{\sin B}=\frac{AB}{\sin C}\Rightarrow \frac{BC}{\sin {32}^{o}}=\frac{22}{\sin {120}^{o}}=\frac{AB}{\sin {28}^{o}}$

Suy ra: $BC=\frac{22.\sin {32}^{o}}{\sin {120}^{o}}\approx 13{,}5$; $AB=\frac{22.\sin {28}^{o}}{\sin {120}^{o}}\approx 11{,}9$

Vậy tam giác ABC có:

$\widehat{A}={32}^{o};\ \widehat{B}={120}^{o},\ \widehat{C}={28}^{o}$; AB ≈ 11,9; AC = 22; BC = 13,5.

d) Áp dụng hệ quả của định lí côsin ta có:

cosA = $\frac{A{B}^{2}+A{C}^{2}-B{C}^{2}}{2.AB.AC}=\frac{{23}^{2}+{32}^{2}-{44}^{2}}{2.23.32}=\frac{-383}{1472}\approx -0{,}26$

⇒ $\widehat{A}\approx {105}^{o}4'$

cosB =

$\frac{A{B}^{2}+B{C}^{2}-A{C}^{2}}{2.AB.BC}=\frac{{23}^{2}+{44}^{2}-{32}^{2}}{2.23.44}=\frac{1441}{2024}\approx 0{,}712$

⇒ $\widehat{B}={44}^{o}36'$

$\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}={180}^{o}\Rightarrow \widehat{C}={180}^{o}-(\widehat{A}+\widehat{B})={180}^{o}-({105}^{o}4'+{44}^{o}36')={30}^{o}20'$

Vậy tam giác ABC có: $\widehat{A}\approx {105}^{o}4'$; $\widehat{B}={44}^{o}36'$; $\widehat{C}={30}^{o}20'$; AB = 23, AC = 32, BC = 44.

Áp dụng định lí côsin cho tam giác ABC ta có:

AB$^{2}$ = AC$^{2}$ + BC$^{2}$ – 2.AC.BC.cosC = 10$^{2}$ + 8$^{2}$ – 2.10.8.cos70° ≈ 109,3

⇒ AB ≈ $\sqrt{109{,}3}\approx 10{,}5$

Ta có : (AC + CB) – AB =(10 + 8) – 10,5 = 7,5.

Vậy vì không thể nối trực tiếp từ A đến B nên chiều dài dây tăng thêm 7,5 km.

Gọi A, B, C, D lần lượt là điểm biểu diễn vị trí mắt của người quan sát, tâm cánh quạt, giao của hướng mắt nằm ngang và thân của quạt gió, vị trí chân cây quạt.

Vì tam giác ABC vuông tại C nên ta có :

tanA = $\frac{BC}{AC}=\frac{BC}{16}$

⇒ BC = 16.tan A = 16.tan56,5° ≈ 24,2 m

Do đó: BD = BC + CD = 24,2 + 1,5 = 25,7 m.

Vậy khoảng cách từ tâm của cánh quạt đến mặt đất khoảng 25,7 m.

Đặt BD = x km, khi đó ta có CB = BD + CD = x + 1.

Trong tam giác ABC vuông tại B ta có: $\tan \widehat{ACB}=\tan {32}^{o}=\frac{AB}{CB}=\frac{AB}{x+1}\Rightarrow AB=(x+1)\tan {32}^{o}=x\tan {32}^{o}+\tan {32}^{o}$(1)

Trong tam giác ABD vuông tại B ta có:

$\tan \widehat{ADB}=\tan {40}^{o}=\frac{AB}{BD}=\frac{AB}{x}\Rightarrow AB=x\tan {40}^{o}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra: $x\tan {32}^{o}+\tan {32}^{o}=x\tan {40}^{o}\Rightarrow x=\frac{\tan {32}^{o}}{\tan {40}^{o}-\tan {32}^{o}}\approx 2{,}92$

Suy ra AB = x.tan40° ≈ 2,92.tan40° ≈ 2,45 km.

Vậy chiều cao AB của một ngọn núi khoảng 2,45 km.

Gọi R là vị trí của khinh khí cầu.

Do quan sát tại P xác định góc nâng của khinh khí cầu là 62° nên $\widehat{RPQ}={62}^{o}-{32}^{o}={30}^{o}$

Do quan sát tại Q xác định góc nâng của khinh khí cầu là 70° nên $\widehat{RQP}={180}^{o}-({70}^{o}-{32}^{o})={142}^{o}$

Tam giác RPQ có:

$\widehat{R}+\widehat{RPQ}+\widehat{RQP}={180}^{o}\Rightarrow \widehat{R}={180}^{o}-(\widehat{RPQ}+\widehat{RQP})={180}^{o}-({30}^{o}+{142}^{o})={8}^{o}$

Áp dụng định lí sin cho tam giác RPQ ta có:

$\frac{RQ}{\sin \widehat{RPQ}}=\frac{PQ}{\sin R}\Rightarrow \frac{RQ}{\sin {30}^{o}}=\frac{60}{\sin {8}^{o}}\Rightarrow RQ=\frac{60\sin {30}^{o}}{\sin {8}^{o}}\approx 215{,}6$

Vậy khoảng cách từ Q đến khinh khí cầu khoảng 215,6 m.

Gọi vị trí người đứng ở trên tháp truyền hình là A, hai cột mốc ở dưới đất lần lượt là B và C, chân tháp truyền hình là D.

Khi đó ta có các tam giác ABD và ACD vuông tại D.

$\widehat{BAD}={62}^{o};\ \widehat{CAD}={54}^{o};\ \widehat{BAC}={43}^{o}$; AD = 352 m.

Trong tam giác ABD vuông tại D ta có:

$\cos \widehat{BAD}=\cos {62}^{o}=\frac{AD}{AB}=\frac{352}{AB}\Rightarrow AB=\frac{352}{\cos {62}^{o}}\approx 749{,}8$

Trong tam giác ACD vuông tại D ta có:

$\cos \widehat{CAD}=\cos {54}^{o}=\frac{AD}{AC}=\frac{352}{AC}\Rightarrow AC=\frac{352}{\cos {54}^{o}}\approx 598{,}9$

Áp dụng định lí côsin cho tam giác ABC ta có:

BC$^{2}$ = AB$^{2}$ + AC$^{2}$ – 2.AB.AC. cos $\widehat{BAC}$

= 749,8$^{2}$ + 598,9$^{2}$ – 2.749,8.598,9. cos43° ≈ 264 044,9

⇒ BC = $\sqrt{264044{,}9}\approx 513{,}9$m.

Vậy khoảng cách giữa hai cột mốc khoảng 513,9 m.