Bài tập Elip có đáp án

Cho elip có phương trình chính tắc $\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$ (H.3.1).

a) Tìm toạ độ các giao điểm của elip với các trục toạ độ.

b) Hãy giải thích vì sao, nếu điểm M(x$_{0}$; y$_{0}$) thuộc elip thì các điểm có toạ độ (x$_{0}$; –y$_{0}$), (–x$_{0}$; y$_{0}$), (–x$_{0}$; –y$_{0}$) cũng thuộc elip.

c) Với điểm M(x$_{0}$; y$_{0}$) thuộc elip, hãy so sánh OM$^{2}$ với a$^{2}$, b$^{2}$.

(Phép co đường tròn) Cho đường tròn có phuong trình x$^{2}$ + y$^{2}$ = a$^{2}$ và số $k$ (0 < k < 1). Với mỗi điểm M(x$_{0}$; y$_{0}$) thuộc đường tròn, gọi H(x$_{0}$; 0) là hình chiếu vuông góc của M lên trục Ox và N là điểm thuộc đoạn MH sao cho HN = kHM (H.3.5).

a) Tính toạ độ của N theo x$_{0}$; y$_{0}$; k.

b) Chứng minh rằng khi điểm M thay đổi trên đường tròn thì N thay đổi trên elip có phương trình chính tắc $\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{(ka)}^{2}}=1$.

Cho elip có hai tiêu điểm F$_{1}$(–c; 0), F$_{2}$(c; 0) và độ dài trục lớn bằng 2a và điểm M(x; y).

a) Tính MF$_{1}$$^{2}$ – MF$_{2}$$^{2}$.

b) Khi điểm M thuộc elip (MF$_{1}$ + MF$_{2}$ = 2a), tính MF$_{1}$ – MF$_{2}$, MF$_{1}$, MF$_{2}$.

Cho elip $\frac{{x}^{2}}{12}+\frac{{y}^{2}}{4}=1.$

a) Xác định đỉnh và độ dài các trục của elip.

b) Xác định tâm sai và các đường chuẩn của elip.

c) Tính các bán kính qua tiêu của điểm M thuộc elip, biết điểm M có hoành độ bằng –3.

Viết phương trình chính tắc của elip trong mỗi trường hợp sau:

a) Độ dài trục lớn bằng 8, tiêu cự bằng 6;

b) Độ dài trục lớn bằng 8 và tâm sai bằng $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Cho elip $\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{5}=1$.

a) Qua tiêu điểm của elip vẽ đường thẳng vuông góc với trục Ox, cắt elip tại hai điểm A và B. Tính độ dài đoạn thẳng AB.

b)Tìm điểm M trên elip sao cho MF1 = 2MF2 với F1 và F2 là hai tiêu điểm của elip (hoành độ của F1 âm).

Đường tròn phụ của hình elip là đường tròn có đường kính là trục nhỏ của elip (H.3.8).

Do đó, đường tròn phụ là đường tròn lớn nhất có thể nằm bên trong một hình elip. Tìm phương trình đường tròn phụ của elip $\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$ và chứng minh rằng, nếu điểm M(x0; y0) thuộc elip thì điểm $N(\frac{b}{a}{x}_{0};{y}_{0})$ thuộc đường tròn phụ.

Một phòng thì thầm có trần vòm elip với hai tiêu điểm ở độ cao 1,6 m (so với mặt sàn) và cách nhau 16 m. Đỉnh của mái vòm cao 7,6 m (H.3.9).

Hỏi âm thanh thì thầm từ một tiêu điểm thì sau bao nhiêu giây đến được tiêu điểm kia? Biết vận tốc âm thanh là 343,2 m/s và làm tròn đáp số tới 4 chữ số sau dấu phẩy.