Bài tập Hypebol có đáp án

a) Nếu điểm M(x$_{0}$; y$_{0}$) thuộc hypebol thì ta có: $\frac{{x}_{0}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}_{0}^{2}}{{b}^{2}}=1.$

Ta có: $\frac{{x}_{0}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{(-{y}_{0})}^{2}}{{b}^{2}}=\frac{{(-{x}_{0})}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}_{0}^{2}}{{b}^{2}}=\frac{{(-{x}_{0})}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{(-{y}_{0})}^{2}}{{b}^{2}}=\frac{{x}_{0}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}_{0}^{2}}{{b}^{2}}=1$ nên các điểm có toạ độ (x$_{0}$; –y$_{0}$), (–x$_{0}$; y$_{0}$), (–x$_{0}$; –y$_{0}$) cũng thuộc elip.

b)

+) Gọi A là giao điểm của hypebol với trục hoành.

Vì A thuộc trục Ox nên toạ độ của A có dạng (x$_{A}$; 0)

Mà A thuộc hypebol nên $\frac{{x}_{{}_{A}}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{0}^{2}}{{b}^{2}}=1\Rightarrow {x}_{A}^{2}={a}^{2}\Rightarrow [\begin{matrix}{x}_{A}=a \\ {x}_{A}=-a\end{matrix}.$

Do đó hypebol cắt trục Ox tại hai điểm A$_{1}$(–a; 0) và A$_{2}$(a; 0).

+) Giả sử hypebol cắt trục tung tại B.

Vì B thuộc trục Oy nên toạ độ của B có dạng (0; y$_{B}$).

Mà B thuộc hypebol nên $\frac{{0}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}_{{}_{B}}^{2}}{{b}^{2}}=1\Rightarrow -\frac{{y}_{{}_{B}}^{2}}{{b}^{2}}=1$ (vô lí).

Vậy hypebol không cắt trục tung.

c) M(x$_{0}$; y$_{0}$) thuộc hypebol nên ta có: $\frac{{x}_{0}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}_{0}^{2}}{{b}^{2}}=1.$

Vì $\frac{{y}_{0}^{2}}{{b}^{2}}\ge 0$ nên $\frac{{x}_{0}^{2}}{{a}^{2}}\le 1\Rightarrow {x}_{0}^{2}\le {a}^{2}\Rightarrow |{x}_{0}|\ \le a.$

a) Có a2 = 64, b2 = 36

$\Rightarrow \{\begin{matrix}a=8,b=6 \\ c=\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}=\sqrt{64+36}=10\end{matrix}.$

Do đó, tiêu cự của hypebol là 2c = 20, độ dài trục thực là 2a = 16, độ dài trục ảo là 2b = 12.

b) Các đỉnh của hypebol là A1(–8; 0), A2(8; 0).

Hai đường tiệm cận của hypebol là $y=-\frac{b}{a}x=-\frac{6}{8}x=-\frac{3}{4}x$và $y=\frac{b}{a}x=\frac{6}{8}x=\frac{3}{4}x.$

Hypebol có độ dài trục thực bằng 6, độ dài trục ảo bằng 6$\sqrt{3}\Rightarrow$ 2a = 6, 2b = 6$\sqrt{3}$

$\Rightarrow$ a = 3, b = 3$\sqrt{3}\Rightarrow c=\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}=\sqrt{{3}^{2}+{(3\sqrt{3})}^{2}}=6.$

Theo công thức bán kính qua tiêu ta có:

MF$_{1}$ $=|a+\frac{c}{a}x|=|3+\frac{6}{3}.9|=21.$

MF$_{2}$ $=|a-\frac{c}{a}x|=|3-\frac{6}{3}.9|=15.$

Có a$^{2}$ = 1, b$^{2}$ = 3 $\Rightarrow a=1,b=\sqrt{3}\Rightarrow c=\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}=2.$

Gọi (x; y) là toạ độ của M.

Theo công thức bán kính qua tiêu ta có: MF$_{2}$ $=|a-\frac{c}{a}x|=|1-\frac{2}{1}.x|=|1-2x|.$

Nếu M thuộc nhánh bên trái thì x ≤ –a = –1. Khi đó 1 – 2x ≥ 1 – 2(–1) = 3.

Suy ra MF$_{2}$ = |1 – 2x| ≥ 3.

Nếu M thuộc nhánh bên phải thì x ≥ a = 1. Khi đó 1 – 2x ≤ 1 – 2.1 = –1.

Suy ra MF$_{2}$ = |1 – 2x| ≥ 1.

Vậy MF$_{2}$ nhỏ nhất bằng 1 khi x = 1.

Khi đó MF$_{1}$ $=|a+\frac{c}{a}x|=|1+\frac{2}{1}.1|=3.$