Bài tập Parabol có đáp án

a) M(x$_{0}$; y$_{0}$) thuộc parabol thì ${y}_{0}^{2}=2p{x}_{0}.$

Có ${(-{y}_{0})}^{2}={y}_{0}^{2}=2p{x}_{0}$ nên N(x$_{0}$; –y$_{0}$) cũng thuộc parabol.

b) Từ phương trình chính tắc của parabol, ta thấy hoành độ của những điểm thuộc parabol đều không âm.

Gọi phương trình chính tắc của (P) là y$^{2}$ = 2px (p > 0).

Theo đề bài, (P) đi qua điểm A(6; 6) $\Rightarrow$ 6$^{2}$ = 2p.6 $\Rightarrow$ p = 3.

Suy ra phương trình đường chuẩn của (P) là $x=-\frac{3}{2}.$

a) Điểm F có toạ độ là $(\frac{p}{2};0)$ và phương trình đường chuẩn là $Δ:x=-\frac{p}{2}.$

b) Theo định nghĩa parabol thì MF = d(M; Δ).

Ta viết lại phương trình Δ: $x=-\frac{p}{2}\Leftrightarrow x+0.y+\frac{p}{2}=0.$

Khoảng cách từ điểm M đến đường chuẩn Δ là:

d(M; Δ) = $\frac{|{x}_{0}+0.{y}_{0}+\frac{p}{2}|}{\sqrt{{1}^{2}+{0}^{2}}}=|{x}_{0}+\frac{p}{2}|={x}_{0}+\frac{p}{2}.$

Vậy MF = d(M; Δ) = ${x}_{0}+\frac{p}{2}.$

Có 2p = 8$\Rightarrow$ p = 4 $\Rightarrow$Toạ độ tiêu điểm là F(2; 0) và phương trình đường chuẩn của parabol là x = –2.

Giả sử M có toạ độ là (x; 4). Khi đó ta có 4$^{2}$ = 8x $\Rightarrow$ x = 2. Vậy M(2; 4).

Suy ra bán kính qua tiêu của điểm M là MF = x + $\frac{p}{2}=2+\frac{4}{2}=4.$

Chọn hệ trục toạ độ sao cho tâm Mặt Trời trùng với tiêu điểm của parabol, đơn vị trên các trục là kilômét.

Gọi phương trình chính tắc của quỹ đạo parabol là y$^{2}$ = 2px (p > 0).

Giả sử sao chổi có toạ độ là M(x; y).

Khi đó khoảng cách từ sao chổi đến tâm Mặt Trời là MF = x + $\frac{p}{2}\ge \frac{p}{2}.$

Do đó khoảng cách ngắn nhất từ sao chổi đến tâm Mặt Trời là $\frac{p}{2}$

$\Rightarrow \frac{p}{2}=106\Rightarrow$p = 212.

Vậy phương trình chính tắc của quỹ đạo parabol là y$^{2}$ = 424x.

Khi sao chổi nằm trên đường vuông góc với trục đối xứng của quỹ đạo tại tâm Mặt Trời, tức điểm M nằm trên đường thẳng $\frac{p}{2}$ thì M có hoành độ là $x=\frac{p}{2}=106$

$\Rightarrow$Khoảng cách từ sao chổi đến tâm Mặt Trời là:

MF = x +$\frac{p}{2}$= 106 + 106 = 212 (km).