Bài tập Cuối chuyên đề 3 có đáp án

+) M(x; y) thuộc đường conic (S) khi và chỉ khi

$\frac{MF}{d(M,Δ)}=2\Leftrightarrow \frac{\sqrt{{(x+2)}^{2}+{(y-5)}^{2}}}{\frac{|x+y-1|}{\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}}}=2$

$\Leftrightarrow \sqrt{{(x+2)}^{2}+{(y-5)}^{2}}=2\frac{|x+y-1|}{\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}}$

$\Leftrightarrow \sqrt{{(x+2)}^{2}+{(y-5)}^{2}}=2\frac{|x+y-1|}{\sqrt{2}}$

$\Leftrightarrow {(x+2)}^{2}+{(y-5)}^{2}=2{(x+y-1)}^{2}$

$\Leftrightarrow ({x}^{2}+4x+4)+({y}^{2}-10y+25)=2({x}^{2}+{y}^{2}+1+2xy-2x-2y)$

$\Leftrightarrow {x}^{2}+{y}^{2}+4x-10y+29=2{x}^{2}+2{y}^{2}+2+4xy-4x-4y$

$\Leftrightarrow {x}^{2}+{y}^{2}+4xy-8x+6y-27=0.$

+) (S) là hypebol vì có tâm sai lớn hơn 1.

Xét điểm M(x; y) thuộc conic.

M(x; y) thuộc đường conic đã cho khi và chỉ khi

$\frac{MF}{d(M,Δ)}=\frac{1}{\sqrt{2}}\Leftrightarrow \frac{\sqrt{{(x+1)}^{2}+{(y-0)}^{2}}}{\frac{|x+y+1|}{\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$

$\Leftrightarrow \sqrt{{(x+1)}^{2}+{y}^{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}.\frac{|x+y+1|}{\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}}$

$\Leftrightarrow \sqrt{{(x+1)}^{2}+{y}^{2}}=\frac{|x+y+1|}{2}$

$\Leftrightarrow 2\sqrt{{(x+1)}^{2}+{y}^{2}}=|x+y+1|$

$\Leftrightarrow 4[{(x+1)}^{2}+{y}^{2}]={(x+y+1)}^{2}$

$\Leftrightarrow 4[({x}^{2}+2x+1)+{y}^{2}]={x}^{2}+{y}^{2}+1+2xy+2x+2y$

$\Leftrightarrow 4{x}^{2}+8x+4+4{y}^{2}={x}^{2}+{y}^{2}+1+2xy+2x+2y$

$\Leftrightarrow 3{x}^{2}+3{y}^{2}-2xy+6x-2y+3=0.$

Conic này là elip vì có tâm sai lớn hơn 0 và nhỏ hơn 1.

+) Mỗi điểm M thuộc đồ thị của hàm số y = ax2 + bx + c đều có toạ độ (x; ax2 + bx + c).

Ta cần chứng minh M cũng thuộc parabol đã cho, tức là $\frac{MF}{d(M,Δ)}=1$ hay MF = d(M, Δ). Thật vậy:

MF = d(M, Δ) $\Leftrightarrow \sqrt{{(x+\frac{b}{2a})}^{2}+{(a{x}^{2}+bx+c-\frac{1-Δ}{4a})}^{2}}=|a{x}^{2}+bx+c+\frac{1+Δ}{4a}|$

$\Leftrightarrow {(x+\frac{b}{2a})}^{2}+{(a{x}^{2}+bx+c-\frac{1-Δ}{4a})}^{2}={(a{x}^{2}+bx+c+\frac{1+Δ}{4a})}^{2}$

$\Leftrightarrow {(x+\frac{b}{2a})}^{2}+{[\frac{4{a}^{2}{x}^{2}+4abx+4ac-(1-Δ)}{4a}]}^{2}={[\frac{4{a}^{2}{x}^{2}+4abx+4ac+(1+Δ)}{4a}]}^{2}$

$\Leftrightarrow {(x+\frac{b}{2a})}^{2}+{[\frac{4{a}^{2}{x}^{2}+4abx+4ac-(1-{b}^{2}+4ac)}{4a}]}^{2}={[\frac{4{a}^{2}{x}^{2}+4abx+4ac+(1+{b}^{2}-4ac)}{4a}]}^{2}$

$\Leftrightarrow {(x+\frac{b}{2a})}^{2}+{(\frac{4{a}^{2}{x}^{2}+4abx+{b}^{2}-1}{4a})}^{2}={(\frac{4{a}^{2}{x}^{2}+4abx+{b}^{2}+1}{4a})}^{2}$

$\Leftrightarrow {(\frac{2ax+b}{2a})}^{2}+{[\frac{{(2ax+b)}^{2}-1}{4a}]}^{2}={[\frac{{(2ax+b)}^{2}+1}{4a}]}^{2}$

$\Leftrightarrow 4{(2ax+b)}^{2}+{[{(2ax+b)}^{2}-1]}^{2}={[{(2ax+b)}^{2}+1]}^{2}$

$\Leftrightarrow 4{(2ax+b)}^{2}+[{(2ax+b)}^{4}-2{(2ax+b)}^{2}+1]={(2ax+b)}^{4}+2{(2ax+b)}^{2}+1$

$\Leftrightarrow {(2ax+b)}^{4}+2{(2ax+b)}^{2}+1={(2ax+b)}^{4}+2{(2ax+b)}^{2}+1.$

Đẳng thức cuối đúng, do đó ta có điều phải chứng minh.

+) Ngược lại, với mỗi điểm M(x; y) thuộc parabol đã cho, ta phải chứng minh M thuộc đồ thị hàm số y = ax2 + bx + c. Thật vậy:

Vì M(x; y) thuộc parabol đã cho nên $\frac{MF}{d(M,Δ)}=1$ hay MF = d(M, Δ)

$\Rightarrow \sqrt{{(x+\frac{b}{2a})}^{2}+{(y-\frac{1-Δ}{4a})}^{2}}=|y+\frac{1+Δ}{4a}|$

$\Rightarrow {(x+\frac{b}{2a})}^{2}+{(y-\frac{1-Δ}{4a})}^{2}={(y+\frac{1+Δ}{4a})}^{2}$

$\Rightarrow {(\frac{2ax+b}{2a})}^{2}+{[\frac{4ay-(1-Δ)}{4a}]}^{2}={[\frac{4ay+(1+Δ)}{4a}]}^{2}$

$\Rightarrow {(\frac{2ax+b}{2a})}^{2}+{[\frac{4ay-(1-{b}^{2}+4ac)}{4a}]}^{2}={[\frac{4ay+(1+{b}^{2}-4ac)}{4a}]}^{2}$

$\Rightarrow {(\frac{2ax+b}{2a})}^{2}+{[\frac{(4ay-4ac+{b}^{2})-1}{4a}]}^{2}={[\frac{(4ay-4ac+{b}^{2})+1}{4a}]}^{2}$

$\Rightarrow 4{(2ax+b)}^{2}+{[(4ay-4ac+{b}^{2})-1]}^{2}={[(4ay-4ac+{b}^{2})+1]}^{2}$

$\Rightarrow 4{(2ax+b)}^{2}={[(4ay-4ac+{b}^{2})+1]}^{2}-{[(4ay-4ac+{b}^{2})-1]}^{2}$

$\Rightarrow 4(4{a}^{2}{x}^{2}+4abx+{b}^{2})=4(4ay-4ac+{b}^{2})$

$\Rightarrow 4{a}^{2}{x}^{2}+4abx=4ay-4ac$

$\Rightarrow 4ay=4{a}^{2}{x}^{2}+4abx+4ac$

$\Rightarrow y=a{x}^{2}+bx+c.$

Vậy M(x; y) thuộc đồ thị hàm số y = ax2 + bx + c.

Chứng minh được hoàn tất.

+) Xét trường hợp a > 0.

Để hai parabol cắt nhau tại 4 điểm phân biệt thì đỉnh của parabol y = ax2 + bx + c phải nằm ở góc phần tư thứ IV (như hình vẽ).

Khi đó ta suy ra b < 0 và phương trình ax2 + bx + c có hai nghiệm phân biệt

$\Rightarrow {b}^{2}-4ac>0.$

Xét phương trình đường tròn $(C):{x}^{2}+{y}^{2}+(\frac{b}{a}-2p)x-\frac{1}{a}y+\frac{c}{a}=0.$

có ${[\frac{(\frac{b}{a}-2p)}{2}]}^{2}+{[\frac{\frac{1}{a}}{2}]}^{2}-\frac{c}{a}={(\frac{b}{2a}-p)}^{2}+{(\frac{1}{2a})}^{2}-\frac{c}{a}$

$=\frac{{b}^{2}}{4{a}^{2}}-\frac{b}{a}.p+{p}^{2}+\frac{1}{4{a}^{2}}-\frac{c}{a}=(\frac{{b}^{2}}{4{a}^{2}}-\frac{c}{a})-\frac{b}{a}.p+{p}^{2}+\frac{1}{4{a}^{2}}=\frac{{b}^{2}-4ac}{4{a}^{2}}-\frac{b}{a}.p+{p}^{2}+\frac{1}{4{a}^{2}}$

Vì b < 0 và ${b}^{2}-4ac>0$ (chứng minh trên) nên $-\frac{b}{a}.p$> 0 và $\frac{{b}^{2}-4ac}{4{a}^{2}}>0$

Do đó ${[\frac{(\frac{b}{a}-2p)}{2}]}^{2}+{[\frac{\frac{1}{a}}{2}]}^{2}-\frac{c}{a}>0.$

Vậy (C) đúng là phương trình một đường tròn.

+) Trường hợp a < 0: Chứng minh tương tự ta được (C) đúng là phương trình một đưởng tròn.

+) Giờ ta chứng minh bốn giao điểm của hai parabol nằm trên đường tròn này. Thật vậy:

Nếu điểm M(x; y) là giao điểm của hai parabol trên thì ta có:

y2 = 2px và y = ax2 + bx + c $\Rightarrow$ y2 – 2px = 0 và ax2 + bx + c – y = 0

$\Rightarrow$ y2 – 2px = 0 và ${x}^{2}+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}-\frac{y}{a}=0$

$\Rightarrow$$({x}^{2}+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}-\frac{y}{a})+({y}^{2}-2px)=0$

$\Rightarrow$${x}^{2}+{y}^{2}+(\frac{b}{a}x-2px)-\frac{y}{a}+\frac{c}{a}=0$

$\Rightarrow {x}^{2}+{y}^{2}+(\frac{b}{a}-2p)x-\frac{1}{a}y+\frac{c}{a}=0.$

Do đó M thuộc đường tròn (C). Vậy bốn giao điểm của parabol đều nằm trên (C).

Giả sử A(x1; y1), B(x2; y2).

Ta thấy M nằm trong elip, do đó MA = MB khi M là trung điểm của AB.

$\Rightarrow {x}_{1}+{x}_{2}=2{x}_{M}=2.2=4,\ {y}_{1}+{y}_{2}=2{y}_{M}=2.1=2.$

Vì A, B thuộc elip nên $\frac{{x}_{1}^{2}}{25}+\frac{{y}_{1}^{2}}{16}=1$ và $\frac{{x}_{2}^{2}}{25}+\frac{{y}_{2}^{2}}{16}=1.$

$\Rightarrow (\frac{{x}_{1}^{2}}{25}+\frac{{y}_{1}^{2}}{16})-(\frac{{x}_{2}^{2}}{25}+\frac{{y}_{2}^{2}}{16})=1-1=0$

$\Rightarrow \frac{{x}_{1}^{2}-{x}_{2}^{2}}{25}+\frac{{y}_{1}^{2}-{y}_{2}^{2}}{16}=0\Rightarrow \frac{({x}_{1}+{x}_{2})({x}_{1}-{x}_{2})}{25}+\frac{({y}_{1}+{y}_{2})({y}_{1}-{y}_{2})}{16}=0$

$\Rightarrow \frac{4({x}_{1}-{x}_{2})}{25}+\frac{2({y}_{1}-{y}_{2})}{16}=0$$\Rightarrow \frac{{x}_{1}-{x}_{2}}{25}+\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{32}=0\Rightarrow \frac{{x}_{1}-{x}_{2}}{25}=\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{-32}.$

Mà $\overrightarrow{BA}$ có toạ độ là (x1 – x2; y1 – y2) nên (25; –32) là một vectơ chỉ phương của AB

$\Rightarrow$ (32; 25) là một vectơ pháp tuyến của AB

$\Rightarrow$Phương trình đường thẳng AB là: 32(x – 2) + 25(y – 1) = 0 hay 32x + 25y – 89 = 0.

Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là 32x + 25y – 89 = 0.