Bài tập Elip có đáp án

Gọi phương trình chính tắc của elip đã cho là $\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$ (a > b > 0).

Theo đề bài ta có:

– Độ dài trục lớn bằng 10, suy ra 2a = 10, suy ra a = 5.

– Elip có một tiêu cự bằng 6, suy ra 2c = 6 hay c = 3, suy ra b2 = a2 – c2 = 52 – 32 = 16.

Vậy phương trình chính tắc của elip đã cho là $\frac{{x}^{2}}{25}+\frac{{y}^{2}}{16}=1.$

a) Gọi toạ độ của N là (x$_{N}$; y$_{N}$). Khi đó $\overrightarrow{HN}=({x}_{N}-{x}_{0};{y}_{N}-0)=({x}_{N}-{x}_{0};{y}_{N}).$

Vì HN = kHM nên $\overrightarrow{HN}=k\overrightarrow{HM}.$ Mà $\overrightarrow{HM}=({x}_{0}-{x}_{0};{y}_{0}-0)=(0;{y}_{0})$ nên $\{\begin{matrix}{x}_{N}-{x}_{0}=k.0 \\ {y}_{N}=k.{y}_{0}\end{matrix}\Rightarrow \{\begin{matrix}{x}_{N}={x}_{0} \\ {y}_{N}=k{y}_{0}\end{matrix}.$

b) Khi M thay đổi trên đường tròn ta luôn có ${x}_{0}^{2}+{y}_{0}^{2}={a}^{2}.$

Do đó $\frac{{x}_{N}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}_{N}^{2}}{{(ka)}^{2}}=\frac{{x}_{0}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{(k{y}_{0})}^{2}}{{(ka)}^{2}}=\frac{{x}_{0}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}_{0}^{2}}{{a}^{2}}=\frac{{x}_{0}^{2}+{y}_{0}^{2}}{{a}^{2}}=\frac{{a}^{2}}{{a}^{2}}=1.$

Vậy N luôn thay đổi trên elip có phương trình chính tắc $\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{(ka)}^{2}}=1$.

Có a$^{2}$ = 36, suy ra a = 6.

$c=\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}=\sqrt{36-20}=\sqrt{16}=4.$

Gọi toạ độ của M là (x; y).

Ta xét khoảng cách từ M đến F$_{1}$.

Theo công thức độ dài bán kính qua tiêu ta có MF$_{1}$ = 6 + $\frac{4}{6}$x = 6 + $\frac{2}{3}$x.

Mặt khác, vì M thuộc elip nên –6 ≤ x ≤ 6

$\Rightarrow -\frac{2}{3}.6\le \frac{2}{3}x\le \frac{2}{3}.6\Rightarrow -4\le \frac{2}{3}x\le 4\Rightarrow 2\le 6+\frac{2}{3}x\le 10.$

Vậy 2 ≤ MF$_{1}$ ≤ 10.

Vậy độ dài MF$_{1}$ nhỏ nhất bằng 2 khi M có hoành độ bằng –6, lớn nhất bằng 10 khi M có hoành độ bằng 6.

Gọi phương trình chính tắc của elip là $\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$ (a > b > 0).

Giả sử Trái Đất có toạ độ là điểm M(x; y) và tâm Mặt Trời trùng với tiêu điểm F$_{1}$.

Khi đó, khoảng cách lớn nhất và nhỏ nhất từ Trái Đất đến tâm Mặt Trời lần lượt là a + c và a – c.

Theo đề bài ta có: a + c = 152 và a – c = 147.

Suy ra a = 149,5 và c = 2,5.

Suy ra b$^{2}$ = a$^{2}$ – c$^{2}$ = 149,5$^{2}$ – 2,5$^{2}$ = 22344.

Vậy phương trình chính tắc của elip là $\frac{{x}^{2}}{22350{,}25}+\frac{{y}^{2}}{22344}=1.$

+) Viết lại phương trình đường thẳng Δ1 ở dạng: $x+0y+\frac{{a}^{2}}{c}=0.$ Với mỗi điểm M(x; y) thuộc elip, ta có: $d(M,{Δ}_{1})=\frac{|x+0y+\frac{{a}^{2}}{c}|}{\sqrt{{1}^{2}+{0}^{2}}}=|x+\frac{{a}^{2}}{c}|.$

Do MF1 = a + $\frac{c}{a}$x > 0 nên MF1 = |a + $\frac{c}{a}$x|,

suy ra $\frac{M{F}_{1}}{d(M,{Δ}_{1})}=\frac{|a+\frac{c}{a}x|}{|x+\frac{{a}^{2}}{c}|}=\frac{|\frac{{a}^{2}+cx}{a}|}{|\frac{xc+{a}^{2}}{c}|}=|\frac{c}{a}|=\frac{c}{a}.$

+) Viết lại phương trình đường thẳng Δ2 ở dạng: $x+0y-\frac{{a}^{2}}{c}=0.$ Với mỗi điểm M(x; y) thuộc elip, ta có: $d(M,{Δ}_{2})=\frac{|x+0y-\frac{{a}^{2}}{c}|}{\sqrt{{1}^{2}+{0}^{2}}}=|x-\frac{{a}^{2}}{c}|.$

Do MF2 = a – $\frac{c}{a}$x > 0 nên MF2 = |a – $\frac{c}{a}$x|,

suy ra $\frac{M{F}_{2}}{d(M,{Δ}_{2})}=\frac{|a-\frac{c}{a}x|}{|x-\frac{{a}^{2}}{c}|}=\frac{|\frac{{a}^{2}-cx}{a}|}{|\frac{xc-{a}^{2}}{c}|}=|\frac{c}{a}|=\frac{c}{a}.$

+) Có a2 = 36, b2 = 25, suy ra a = 6, b = 5.

$c=\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}=\sqrt{36-25}=\sqrt{11}.$

Tâm sai của elip là e = $\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{11}}{6},$ các đường chuẩn của elip là ${Δ}_{1}:x=-\frac{{a}^{2}}{c}\Leftrightarrow x=-\frac{36}{\sqrt{11}}$ và ${Δ}_{2}:x=\frac{{a}^{2}}{c}\Leftrightarrow x=\frac{36}{\sqrt{11}}.$

+) Các bán kính qua tiêu của điểm $M$ thuộc elip và có hoành độ bằng –2 là:

MF1 = a + $\frac{c}{a}$x = 6 + $\frac{\sqrt{11}}{6}(-2)$ = 6 – $\frac{\sqrt{11}}{3}.$

MF2 = a – $\frac{c}{a}$x = 6 – $\frac{\sqrt{11}}{6}(-2)$ = 6 + $\frac{\sqrt{11}}{3}.$

a) Gọi phương trình chính tắc của elip đã cho là $\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$ (a > b > 0).

Theo đề bài ta có:

– Độ dài trục lớn bằng 8, suy ra 2a = 8, suy ra a = 4.

– Tiêu cự bằng 6, suy ra 2c = 6 hay c = 3, suy ra b2 = a2 – c2 = 42 – 32 = 7.

Vậy phương trình chính tắc của elip đã cho là $\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{7}=1.$

b) Gọi phương trình chính tắc của elip đã cho là $\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$ (a > b > 0).

Theo đề bài ta có:

– Độ dài trục lớn bằng 8, suy ra 2a = 8, suy ra a = 4.

– Elip có tâm sai bằng $\frac{\sqrt{3}}{2},$ suy ra $\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow \frac{c}{4}=\frac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow c=2\sqrt{3}$

$\Rightarrow {b}^{2}={a}^{2}-{c}^{2}={4}^{2}-{(2\sqrt{3})}^{2}=4.$

Vậy phương trình chính tắc của elip đã cho là $\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{4}=1.$

Có $c=\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}=\sqrt{9-5}=2.$

a) Giả sử A nằm phía trên còn B nằm phía dưới trục Ox.

Khi đó toạ độ của A có dạng (c; yA) hay (2; yA) với yA > 0;

toạ độ của B có dạng (c; yB) hay (2; yB) với yB > 0.

Vì A thuộc elip nên $\frac{{2}^{2}}{9}+\frac{{({y}_{A})}^{2}}{5}=1\Rightarrow \frac{{({y}_{A})}^{2}}{5}=\frac{5}{9}\Rightarrow {y}_{A}=\frac{5}{3}.$

Vì B thuộc elip nên $\frac{{2}^{2}}{9}+\frac{{({y}_{B})}^{2}}{5}=1\Rightarrow \frac{{({y}_{B})}^{2}}{5}=\frac{5}{9}\Rightarrow {y}_{B}=-\frac{5}{3}.$

$\Rightarrow AB=\sqrt{{(2-2)}^{2}+{(-\frac{5}{3}-\frac{5}{3})}^{2}}=\frac{10}{3}.$

b) Gọi toạ độ của M là (x; y). Theo công thức bán kính qua tiêu ta có:

MF1 = a + $\frac{c}{a}$x, MF2 = a – $\frac{c}{a}$x. Do đó:

MF1 = 2MF2 $\Leftrightarrow a+\frac{c}{a}x=2(a-\frac{c}{a}x)\Leftrightarrow a=3\frac{c}{a}x\Leftrightarrow x=\frac{{a}^{2}}{3c}=\frac{9}{3.2}=\frac{3}{2}.$

$\Rightarrow \frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{5}=1\Rightarrow \frac{1}{4}+\frac{{y}^{2}}{5}=1\Rightarrow \frac{{y}^{2}}{5}=\frac{3}{4}\Rightarrow y=\pm \frac{\sqrt{15}}{2}.$

Vậy $M(\frac{3}{2};\frac{\sqrt{15}}{2})$ hoặc $M(\frac{3}{2};-\frac{\sqrt{15}}{2}).$

Vì đường tròn phụ có đường kính là trục nhỏ của elip nên có tâm là O(0; 0) và bán kính b.

Vậy phương trình đường tròn phụ là: ${x}^{2}+{y}^{2}={b}^{2}.$

Có M(x0; y0) thuộc elip nên $\frac{{x}_{0}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}_{0}^{2}}{{b}^{2}}=1.$

Xét điểm $N(\frac{b}{a}{x}_{0};{y}_{0})$, ta có: ${(\frac{b}{a}{x}_{0})}^{2}+{y}_{0}^{2}=\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}.{x}_{0}^{2}+{y}_{0}^{2}={b}^{2}(\frac{{x}_{0}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}_{0}^{2}}{{b}^{2}})={b}^{2}.1={b}^{2}.$

Vậy toạ độ điểm N thoả mãn phương trình đường tròn phụ, do đó điểm N thuộc đường tròn phụ.

Chọn hệ trục toạ độ sao cho tâm Mặt Trời trùng với tiêu điểm F$_{1}$ của elip, đơn vị trên các trục là kilômét.

Giả sử phương trình chính tắc của quỹ đạo elip này là $\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$ (a > b > 0).

Theo đề bài, ta có:

– Nửa độ dài trục lớn của elip quỹ đạo là khoảng 590635.10$^{6}$ km, suy ra a = 590635.10$^{6}$.

– Elip có yâm sai khoảng 0,244 $\Rightarrow \frac{c}{a}=0{,}244$ $\Rightarrow$ c = 0,244.a = 144114,94.10$^{6}$.

Giả sử sao Diêm Vương có toạ độ là M(x; y).

Khoảng cách giữa sao Diêm Vương và tâm Mặt Trời là MF$_{1}$.

MF$_{1}$ = a + $\frac{c}{a}$x, vì –a ≤ x ≤ a nên a – c ≤ MF$_{1}$ ≤ a + c

$\Rightarrow$ 590635.10$^{6}$ – 144114,94.10$^{6}$ ≤ MF$_{1}$ ≤ 590635.10$^{6}$ + 144114,94.10$^{6}$

$\Rightarrow$ 46520,06.10$^{6}$ ≤ MF$_{1}$ ≤ 734749,94.10$^{6}$

Vậy khoảng cách gần nhất và khoảng cách xa nhất giữa sao Diêm Vương và tâm Mặt Trời lần lượt là 46520,06.10$^{6}$ km và 734749,94.10$^{6}$ km.