Bài tập Bài 21. Đường tròn trong mặt phẳng tọa độ có đáp án

Hướng dẫn giải

Điểm M thuộc đường tròn (C) khi khoảng cách từ tâm I của (C) đến M bằng bán kính R của (C).

Ta có: $\overrightarrow {IM} = \left( {x - a;y - b} \right)$ nên $IM = \sqrt {{{\left( {x - a} \right)}^2} + {{\left( {y - b} \right)}^2}}$.

Khi đó IM = R $\Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {x - a} \right)}^2} + {{\left( {y - b} \right)}^2}} = R$$\Leftrightarrow {\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} = {R^2}$ (do R > 0, (x – a)$^{2}$ ≥ 0, (y – b)$^{2}$ ≥ 0).

Vậy điểm M(x; y) thuộc đường tròn (C), tâm I(a; b), bán kính R khi và chỉ khi

(x – a)$^{2}$ + (y – b)$^{2}$ = R$^{2}$.

Hướng dẫn giải

Ta viết phương trình (C) ở dạng (x – (– 2))$^{2}$ + (y – 4)$^{2}$ = ${\left( {\sqrt 7 } \right)^2}$.

Vậy (C) có tâm I(– 2; 4) và bán kính R = $\sqrt 7$.

Hướng dẫn giải

a) Phương trình x$^{2}$ – y$^{2}$ – 2x + 4y – 1 = 0 không có dạng x$^{2}$ + y$^{2}$ – 2ax – 2by + c = 0 nên đây không phải là phương trình đường tròn.

b) Ta có: x$^{2}$ + y$^{2}$ – 2x + 4y + 6 = 0

⇔ x$^{2}$ + y$^{2}$ – 2 . 1 . x – 2 . (– 2) . y + 6 = 0.

Có các hệ số a = 1, b = – 2, c = 6.

Ta có: a$^{2}$ + b$^{2}$ – c = 1$^{2}$ + (– 2)$^{2}$ – 6 = – 1 < 0.

Vậy phương trình b) không phải là phương trình đường tròn.

c) x$^{2}$ + y$^{2}$ + 6x – 4y + 2 = 0

⇔ x$^{2}$ + y$^{2}$ – 2 . (– 3) . x – 2 . 2 y + 2 = 0.

Có các hệ số a = – 3, b = 2, c = 2.

Ta có: a$^{2}$ + b$^{2}$ – c = (– 3)$^{2}$ + 2$^{2}$ – 2 = 11 > 0.

Do đó phương trình c) là phương trình đường tròn có tâm I(– 3; 2) và bán kính R = $\sqrt {11}$.

Hướng dẫn giải

Các đoạn thẳng MN, NP tương ứng có trung điểm là A(3; – 3), B$\left( {\frac{5}{2};\,\,\frac{{ - 9}}{2}} \right)$. Đường thẳng trung trực d$_{1}$ của đoạn thẳng MN đi qua điểm A(3; – 3) và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow {MN} = \left( { - 2;\,4} \right)$.

Vì $\overrightarrow {MN} = \left( { - 2;4} \right)$ cùng phương với $\overrightarrow {{n_1}} = \left( {1;\, - 2} \right)$ nên d$_{1}$ cũng nhận $\overrightarrow {{n_1}} = \left( {1;\, - 2} \right)$ là vectơ pháp tuyến. Do đó, phương trình của d$_{1}$ là: 1(x – 3) – 2(y + 3) = 0 hay x – 2y – 9 = 0.

Đường thẳng trung trực d$_{2}$ của đoạn thẳng NP đi qua B$\left( {\frac{5}{2};\,\,\frac{{ - 9}}{2}} \right)$ và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow {NP} = \left( {1;\, - 7} \right)$, do đó phương trình d$_{2}$ là: $1\left( {x - \frac{5}{2}} \right) - 7\left( {y + \frac{9}{2}} \right) = 0$ hay x – 7y – 34 = 0.

Tâm I của đường tròn (C) cách đều ba điểm M, N, P nên I là giao điểm của d$_{1}$ và d$_{2}$.

Vậy tọa độ của I là nghiệm của hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}x - 2y - 9 = 0\\x - 7y - 34 = 0\end{array} \right.$.

Suy ra I(– 1; – 5). Đường tròn (C) có bán kính là IM =$\sqrt {{{\left( {4 - \left( { - 1} \right)} \right)}^2} + {{\left( { - 5 - \left( { - 5} \right)} \right)}^2}} = 5$.

Vậy phương trình của (C) là: (x + 1)$^{2}$ + (y + 5)$^{2}$ = 25.

Hướng dẫn giải

Gọi bán kính của bể hình tròn và bể nửa hình tròn tương ứng là x, y (m) (x, y > 0).

Chu vi của bể hình tròn là: 2πx = 2 . 3,14 . x = 6,28x (m).

Vì hai bể còn lại là hai bể có dạng nửa hình tròn bằng nhau nên tổng chu vi của hai bể này bằng tổng chu vi của đường tròn bán kính y (m) với 2 lần độ dài đường kính của đường tròn đó, do đó chu vi của hai bể nửa hình tròn là:

2πy + 2 . 2y = 2 . 3,14 . y + 4y = 10,28y (m).

Tổng chu vi của ba bể là 32 m nên ta có: 6,28x + 10,28y = 32 hay 1,57x + 2,57y – 8 = 0.

Diện tích của bể hình tròn là: πx$^{2}$ = 3,14x$^{2}$ (m$^{2}$).

Diện tích của hai bể nửa hình tròn là: πy$^{2}$ = 3,14y$^{2}$ (m$^{2}$).

Gọi tổng diện tích của ba bể sục là S (m$^{2}$). Khi đó ta có:

3,14x$^{2}$ + 3,14y$^{2}$ = S hay x$^{2}$ + y$^{2}$ = $\frac{S}{{3{,}14}}$.

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, xét đường tròn (C): x$^{2}$ + y$^{2}$ = $\frac{S}{{3{,}14}}$ có tâm O(0; 0), bán kính R = $\sqrt {\frac{S}{{3{,}14}}}$ và đường thẳng ∆: 1,57x + 2,57y – 8 = 0. Khi đó bài toán được chuyển thành: Tìm R nhỏ nhất để (C) và ∆ ít nhất một điểm chung, với hoành độ và tung độ đều là các số dương.

Bài toán trên tương đương với ∆ tiếp xúc với (C), đồng thời khi đó điểm M trùng với điểm H là hình chiếu vuông góc của O trên ∆.

Ta có: OH ⊥ ∆ nên $\overrightarrow{{u}_{OH}}=\overrightarrow{{n}_{Δ}}=(1{,}57;\ 2{,}57)$.

Suy ra đường thẳng OH có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{{n}_{OH}}=(2{,}57;\ -1{,}57)$.

Phương trình đường thẳng OH là:

2,57(x – 0) – 1,57(y – 0) = 0 hay 2,57x – 1,57y = 0.

Điểm H là giao điểm của đường thẳng OH và đường thẳng ∆ nên tọa độ của H là nghiệm của hệ phương trình $\{\begin{matrix}1{,}57x+2{,}57y-8=0 \\ 2{,}57x-1{,}57y=0\end{matrix}$.

Giải hệ trên ta được $\{\begin{matrix}x\approx 1{,}38 \\ y\approx 2{,}27\end{matrix}$.

Vậy bán kính bể sục hình tròn xấp xỉ bằng 1,38 m và bể sục nửa hình tròn xấp xỉ bằng 2,27 m thì thỏa mãn yêu cầu bài toán.