Bài tập Bài 21. Đường tròn trong mặt phẳng tọa độ có đáp án

Hướng dẫn giải

Điểm M thuộc đường tròn (C) khi khoảng cách từ tâm I của (C) đến M bằng bán kính R của (C).

Ta có: $\overrightarrow {IM} = \left( {x - a;y - b} \right)$ nên $IM = \sqrt {{{\left( {x - a} \right)}^2} + {{\left( {y - b} \right)}^2}}$.

Khi đó IM = R $\Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {x - a} \right)}^2} + {{\left( {y - b} \right)}^2}} = R$$\Leftrightarrow {\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} = {R^2}$ (do R > 0, (x – a)$^{2}$ ≥ 0, (y – b)$^{2}$ ≥ 0).

Vậy điểm M(x; y) thuộc đường tròn (C), tâm I(a; b), bán kính R khi và chỉ khi

(x – a)$^{2}$ + (y – b)$^{2}$ = R$^{2}$.

Hướng dẫn giải

Ta viết phương trình (C) ở dạng (x – (– 2))$^{2}$ + (y – 4)$^{2}$ = ${\left( {\sqrt 7 } \right)^2}$.

Vậy (C) có tâm I(– 2; 4) và bán kính R = $\sqrt 7$.

Hướng dẫn giải

a) Phương trình x$^{2}$ – y$^{2}$ – 2x + 4y – 1 = 0 không có dạng x$^{2}$ + y$^{2}$ – 2ax – 2by + c = 0 nên đây không phải là phương trình đường tròn.

b) Ta có: x$^{2}$ + y$^{2}$ – 2x + 4y + 6 = 0

⇔ x$^{2}$ + y$^{2}$ – 2 . 1 . x – 2 . (– 2) . y + 6 = 0.

Có các hệ số a = 1, b = – 2, c = 6.

Ta có: a$^{2}$ + b$^{2}$ – c = 1$^{2}$ + (– 2)$^{2}$ – 6 = – 1 < 0.

Vậy phương trình b) không phải là phương trình đường tròn.

c) x$^{2}$ + y$^{2}$ + 6x – 4y + 2 = 0

⇔ x$^{2}$ + y$^{2}$ – 2 . (– 3) . x – 2 . 2 y + 2 = 0.

Có các hệ số a = – 3, b = 2, c = 2.

Ta có: a$^{2}$ + b$^{2}$ – c = (– 3)$^{2}$ + 2$^{2}$ – 2 = 11 > 0.

Do đó phương trình c) là phương trình đường tròn có tâm I(– 3; 2) và bán kính R = $\sqrt {11}$.

Hướng dẫn giải

Các đoạn thẳng MN, NP tương ứng có trung điểm là A(3; – 3), B$\left( {\frac{5}{2};\,\,\frac{{ - 9}}{2}} \right)$. Đường thẳng trung trực d$_{1}$ của đoạn thẳng MN đi qua điểm A(3; – 3) và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow {MN} = \left( { - 2;\,4} \right)$.

Vì $\overrightarrow {MN} = \left( { - 2;4} \right)$ cùng phương với $\overrightarrow {{n_1}} = \left( {1;\, - 2} \right)$ nên d$_{1}$ cũng nhận $\overrightarrow {{n_1}} = \left( {1;\, - 2} \right)$ là vectơ pháp tuyến. Do đó, phương trình của d$_{1}$ là: 1(x – 3) – 2(y + 3) = 0 hay x – 2y – 9 = 0.

Đường thẳng trung trực d$_{2}$ của đoạn thẳng NP đi qua B$\left( {\frac{5}{2};\,\,\frac{{ - 9}}{2}} \right)$ và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow {NP} = \left( {1;\, - 7} \right)$, do đó phương trình d$_{2}$ là: $1\left( {x - \frac{5}{2}} \right) - 7\left( {y + \frac{9}{2}} \right) = 0$ hay x – 7y – 34 = 0.

Tâm I của đường tròn (C) cách đều ba điểm M, N, P nên I là giao điểm của d$_{1}$ và d$_{2}$.

Vậy tọa độ của I là nghiệm của hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}x - 2y - 9 = 0\\x - 7y - 34 = 0\end{array} \right.$.

Suy ra I(– 1; – 5). Đường tròn (C) có bán kính là IM =$\sqrt {{{\left( {4 - \left( { - 1} \right)} \right)}^2} + {{\left( { - 5 - \left( { - 5} \right)} \right)}^2}} = 5$.

Vậy phương trình của (C) là: (x + 1)$^{2}$ + (y + 5)$^{2}$ = 25.

Hướng dẫn giải

Gọi bán kính của bể hình tròn và bể nửa hình tròn tương ứng là x, y (m) (x, y > 0).

Chu vi của bể hình tròn là: 2πx = 2 . 3,14 . x = 6,28x (m).

Vì hai bể còn lại là hai bể có dạng nửa hình tròn bằng nhau nên tổng chu vi của hai bể này bằng tổng chu vi của đường tròn bán kính y (m) với 2 lần độ dài đường kính của đường tròn đó, do đó chu vi của hai bể nửa hình tròn là:

2πy + 2 . 2y = 2 . 3,14 . y + 4y = 10,28y (m).

Tổng chu vi của ba bể là 32 m nên ta có: 6,28x + 10,28y = 32 hay 1,57x + 2,57y – 8 = 0.

Diện tích của bể hình tròn là: πx$^{2}$ = 3,14x$^{2}$ (m$^{2}$).

Diện tích của hai bể nửa hình tròn là: πy$^{2}$ = 3,14y$^{2}$ (m$^{2}$).

Gọi tổng diện tích của ba bể sục là S (m$^{2}$). Khi đó ta có:

3,14x$^{2}$ + 3,14y$^{2}$ = S hay x$^{2}$ + y$^{2}$ = $\frac{S}{{3{,}14}}$.

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, xét đường tròn (C): x$^{2}$ + y$^{2}$ = $\frac{S}{{3{,}14}}$ có tâm O(0; 0), bán kính R = $\sqrt {\frac{S}{{3{,}14}}}$ và đường thẳng ∆: 1,57x + 2,57y – 8 = 0. Khi đó bài toán được chuyển thành: Tìm R nhỏ nhất để (C) và ∆ ít nhất một điểm chung, với hoành độ và tung độ đều là các số dương.

Bài toán trên tương đương với ∆ tiếp xúc với (C), đồng thời khi đó điểm M trùng với điểm H là hình chiếu vuông góc của O trên ∆.

Ta có: OH ⊥ ∆ nên $\overrightarrow{{u}_{OH}}=\overrightarrow{{n}_{Δ}}=(1{,}57;\ 2{,}57)$.

Suy ra đường thẳng OH có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{{n}_{OH}}=(2{,}57;\ -1{,}57)$.

Phương trình đường thẳng OH là:

2,57(x – 0) – 1,57(y – 0) = 0 hay 2,57x – 1,57y = 0.

Điểm H là giao điểm của đường thẳng OH và đường thẳng ∆ nên tọa độ của H là nghiệm của hệ phương trình $\{\begin{matrix}1{,}57x+2{,}57y-8=0 \\ 2{,}57x-1{,}57y=0\end{matrix}$.

Giải hệ trên ta được $\{\begin{matrix}x\approx 1{,}38 \\ y\approx 2{,}27\end{matrix}$.

Vậy bán kính bể sục hình tròn xấp xỉ bằng 1,38 m và bể sục nửa hình tròn xấp xỉ bằng 2,27 m thì thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Hướng dẫn giải

a) Thay tọa độ điểm M(4; – 2) vào phương trình đường tròn (C) ta được:

(4 – 1)$^{2}$ + (– 2 – 2)$^{2}$ = 25 ⇔ 3$^{2}$ + (– 4)$^{2}$ = 25 ⇔ 25 = 25 (luôn đúng).

Vậy điểm M(4; – 2) thuộc đường tròn (C).

b) Đường tròn (C) có tâm I(1; 2) và bán kính R = $\sqrt {25}$ = 5.

c) Ta có: ∆ ⊥ IM tại M (bán kính đi qua tiếp điểm thì vuông góc với tiếp tuyến tại tiếp điểm đó).

Do đó một vectơ pháp tuyến của đường thẳng ∆ là vectơ $\overrightarrow {IM} = \left( {4 - 1;\, - 2 - 2} \right) = \left( {3;\, - 4} \right)$.

Đường thẳng ∆ đi qua điểm M(4; – 2) và có một vectơ pháp tuyến $\overrightarrow {IM} = \left( {3;\, - 4} \right)$ nên phương trình đường thẳng ∆ là: 3(x – 4) – 4(y + 2) = 0 hay 3x – 4y – 20 = 0.

Hướng dẫn giải

Ta có: x$^{2}$ + y$^{2}$ – 2x + 4y + 1 = 0 ⇔ x$^{2}$ + y$^{2}$ – 2 . 1 . x – 2 . (– 2) . y + 1 = 0

Các hệ số: a = 1, b = – 2, c = 1.

Khi đó đường tròn (C) có tâm I(1; – 2).

Do 1$^{2}$ + 0 – 2 . 1 + 0 + 1 = 0 nên điểm N(1; 0) thuộc (C).

Tiếp tuyến ∆ của (C) tại điểm N(1; 0) có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow {IN} = \left( {1 - 1;\,0 - \left( { - 2} \right)} \right) = \left( {0;\,2} \right)$, nên có phương trình ∆: 0(x – 1) + 2(y – 0) = 0 hay ∆: y = 0.

Hướng dẫn giải

Trong khoảng thời gian ngắn sau khi văng tại vị trí M(3; 4), vật chuyển động trên đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn có phương trình x$^{2}$ + y$^{2}$ = 25 tại điểm M(3; 4).

Đường tròn (C): x$^{2}$ + y$^{2}$ = 25 có tâm O(0; 0), điểm M(3; 4) thuộc đường tròn đó (vì 3$^{2}$ + 4$^{2}$ = 25).

Tiếp tuyến của (C) tại M(3; 4) có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow {OM} = \left( {3 - 0;4 - 0} \right) = \left( {3;\,4} \right)$, nên có phương trình: 3(x – 3) + 4(y – 4) = 0 hay 3x + 4y – 25 = 0.

Vậy vật chuyển động trên đường thẳng có phương trình 3x + 4y – 25 = 0 trong khoảng thời gian ngắn ngay sau khi văng.

Hướng dẫn giải

Ta viết phương trình đường tròn đã cho về dạng: (x – (– 3))$^{2}$ + (y – 3)$^{2}$ = 6$^{2}$.

Do đó đường tròn này có tâm I(– 3; 3) và bán kính R = 6.

Hướng dẫn giải

a) Phương trình x$^{2}$ + y$^{2}$ + xy + 4x – 2 = 0 không có dạng x$^{2}$ + y$^{2}$ – 2ax – 2by + c = 0 với a, b, c là các số thực nên đây không phải phương trình đường tròn.

b) x$^{2}$ + y$^{2}$ – 2x – 4y + 5 = 0 ⇔ x$^{2}$ + y$^{2}$ – 2 . 1 . x – 2 . 2 . y + 5 = 0.

Các hệ số: a = 1, b = 2, c = 5.

Ta có: a$^{2}$ + b$^{2}$ – c = 1$^{2}$ + 2$^{2}$ – 5 = 0 nên đây cũng không phải phương trình đường tròn.

c) x$^{2}$ + y$^{2}$ + 6x – 8y + 1 = 0 ⇔ x$^{2}$ + y$^{2}$ – 2 . (– 3) . x – 2 . 4 . y + 1 = 0.

Các hệ số: a = – 3, b = 4, c = 1.

Ta có: a$^{2}$ + b$^{2}$ – c = (– 3)$^{2}$ + 4$^{2}$ – 1 = 24 > 0 nên đây là phương trình đường tròn.

Đường tròn này có tâm I(– 3; 4) và bán kính R = $\sqrt {24}$ = 2$\sqrt 6$.

Hướng dẫn giải

a) Đường tròn có tâm I(– 2; 5) và bán kính R = 7 có phương trình là

(x – (–2))$^{2}$ + (y – 5)$^{2}$ = 7$^{2}$ hay (x + 2)$^{2}$ + (y – 5)$^{2}$ = 49.

b) Đường tròn có tâm I và đi qua điểm A nên bán kính đường tròn là IA.

Ta có: IA = $\sqrt {{{\left( { - 2 - 1} \right)}^2} + {{\left( {2 - \left( { - 2} \right)} \right)}^2}}$= 5.

Do đó phương trình đường tròn là: (x – 1)$^{2}$ + (y – (– 2))$^{2}$ = 5$^{2}$

Hay (x – 1)$^{2}$ + (y + 2)$^{2}$ = 25.

c) Đường tròn có đường kính AB thì tâm của đường tròn này là trung điểm của AB.

Tọa độ trung điểm I của AB là I$\left( {\frac{{\left( { - 1} \right) + \left( { - 3} \right)}}{2};\frac{{\left( { - 3} \right) + 5}}{2}} \right)$ hay I(– 2; 1).

Ta có: AB = $\sqrt {{{\left( { - 3 - \left( { - 1} \right)} \right)}^2} + \left( {5 - {{\left( { - 3} \right)}^2}} \right)}$ = $2\sqrt {17}$.

Bán kính của đường tròn đường kính AB là R = $\frac{AB}{2}=\frac{2\sqrt{17}}{2}=\sqrt{17}$.

Khi đó phương trình đường tròn đường kính AB là:

${(x-(-2))}^{2}+{(y-1)}^{2}={(\sqrt{17})}^{2}$ hay (x + 2)$^{2}$ + (y – 1)$^{2}$ = 17.

d) Đường tròn (C) có tâm I(1; 3) và tiếp xúc với đường thẳng ∆: x + 2y + 3 = 0 thì khoảng cách từ tâm I đến ∆ chính bằng bán kính của (C).

Ta có: R = d(I, ∆) = $\frac{{\left| {1 + 2.3 + 3} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2}} }} = \frac{{10}}{{\sqrt 5 }} = 2\sqrt 5$.

Vậy phương trình đường tròn (C) là: ${(x-1)}^{2}+{(y-3)}^{2}={(2\sqrt{5})}^{2}$ hay (x – 1)$^{2}$ + (y – 3)$^{2}$ = 20.

Hướng dẫn giải

Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là đường tròn đi qua ba điểm A, B, C.

Các đoạn thẳng AB, BC tương ứng có trung điểm là M(5; 0), N$\left( {\frac{9}{2};\,\,\frac{{ - 3}}{2}} \right)$.

Đường thẳng trung trực d$_{1}$ của đoạn thẳng AB đi qua điểm M(5; 0) và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow {AB} = \left( { - 2;\,4} \right)$.

Vì $\overrightarrow {AB} = \left( { - 2;4} \right)$ cùng phương với $\overrightarrow {{n_1}} = \left( {1;\, - 2} \right)$ nên d$_{1}$ cũng nhận $\overrightarrow {{n_1}} = \left( {1;\, - 2} \right)$ là vectơ pháp tuyến. Do đó, phương trình của d$_{1}$ là: 1(x – 5) – 2(y – 0) = 0 hay x – 2y – 5 = 0.

Đường thẳng trung trực d$_{2}$ của đoạn thẳng BC đi qua N$\left( {\frac{9}{2};\,\,\frac{{ - 3}}{2}} \right)$ và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow {BC} = \left( {1;\, - 7} \right)$, do đó phương trình d$_{2}$ là: $1\left( {x - \frac{9}{2}} \right) - 7\left( {y + \frac{3}{2}} \right) = 0$ hay x – 7y – 15 = 0.

Tâm I của đường tròn (C) ngoại tiếp tam giác ABC cách đều ba điểm A, B, C nên I là giao điểm của d$_{1}$ và d$_{2}$.

Vậy tọa độ của I là nghiệm của hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}x - 2y - 5 = 0\\x - 7y - 15 = 0\end{array} \right.$.

Suy ra I(1; – 2). Đường tròn (C) có bán kính là IA =$\sqrt {{{\left( {6 - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 2 - \left( { - 2} \right)} \right)}^2}} = 5$.

Vậy phương trình của (C) là: (x – 1)$^{2}$ + (y + 2)$^{2}$ = 25.

Hướng dẫn giải

Ta có: x$^{2}$ + y$^{2}$ + 2x – 4y + 4 = 0 ⇔ x$^{2}$ + y$^{2}$ – 2 . (– 1) . x – 2 . 2 . y + 4 = 0.

Các hệ số: a = – 1, b = 2, c = 4.

Khi đó đường tròn (C) có tâm I(– 1; 2).

Do 0$^{2}$ + 2$^{2}$ + 2 . 0 – 4 . 2 + 4 = 0 nên điểm M(0; 2) thuộc (C).

Tiếp tuyến d của (C) tại điểm M(0; 2) có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow {IM} = \left( {0 + 1;\,2 - 2} \right) = \left( {1;0} \right)$, nên có phương trình d: 1(x – 0) + 0(y – 2) = 0 hay d: x = 0.

Hướng dẫn giải

a) Vị trí ban đầu của vật thể là tại thời điểm t = 0, nên tọa độ của điểm ở vị trí này là:

(2 + sin0°; 4 + cos0°) = (2; 5).

Vị trí kết thúc của vật thể là tại thời điểm t = 180, nên tọa độ của điểm ở vị trí này là:

(2 + sin 180°; 4 + cos 180°) = (2; 3).

b) Gọi điểm M(x; y) thuộc vào quỹ đạo chuyển động của vật thể.

Ta có: x = 2 + sin t°và y = 4 + cost°.

Suy ra: x – 2 = sin t° và y – 4 = cost°.

Mà sin$^{2}$ t° + cos$^{2}$t° = 1 (0 ≤ t ≤ 180)

Do đó ta có: (x – 2)$^{2}$ + (y – 4)$^{2}$ = 1.

Vậy vật thể chuyển động trên đường tròn có tâm I(2; 4) và bán kính R = 1.

Vị trí ban đầu của vật thể là A(2; 5), vị trí kết thúc của vật thể là B(2; 3).

Ta có $\frac{2+2}{2}=2;\ \frac{5+3}{2}=4$ nên I là trung điểm của AB

Và $\frac{AB}{2}=\frac{\sqrt{{(2-2)}^{2}+{(3-5)}^{2}}}{2}=\frac{2}{2}=1=R$.

Do đó vật thể chuyển động trên đường tròn có tâm I(2; 4), bán kính R = 1 và nhận AB làm đường kính.

Khi t thay đổi trên đoạn [0; 180] thì sin t° thay đổi trên đoạn [0; 1] và cos t° thay đổi trên đoạn [– 1; 1]. Do đó 2 + sin t° ∈ [2; 3] và 4 + cos t° ∈ [3; 5].

Vậy quỹ đạo của vật thể (hay là tập hợp điểm M) là nửa đường tròn đường kính AB vẽ trên nửa mặt phẳng chứa điểm C(3; 0), bờ AB.