5 câu Trắc nghiệm Toán 10 Kết nối tri thức Đường tròn mặt phẳng toạ độ (Vận dụng) có đáp án

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Gọi phương trình đường tròn (C) có dạng : x$^{2}$ + y$^{2}$ – 2ax – 2by + c = 0

Vì đường tròn (C) đi qua 3 điểm M; N; P nên ta có hệ phương trình:

$\{\begin{matrix}4+16+4a-8b+c=0 \\ 25+25-10a-10b+c=0 \\ 36+4-12a+4b+c=0\end{matrix}$ ⇒ $\{\begin{matrix}4a-8b+c=-20 \\ -10a-10b+c=-50 \\ -12a+4b+c=-40\end{matrix}$ ⇒$\{\begin{matrix}a=2 \\ b=1 \\ c=-20\end{matrix}$

Vậy phương trình đường tròn (C) là: x$^{2}$ + y$^{2}$ – 4x – 2y – 20 = 0

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Gọi M và N lần lượt là trung điểm của BC và AB.

Khi đó M( – 2; 3) và N(1; – 1).

Ta có: $\overrightarrow{AC}$= (– 6; 8)

Phương trình đường trung trực của đoạn thẳng AC nhận $\overrightarrow{{n}_{AC}}$= (3; – 4) làm vectơ pháp tuyến và đi qua N( 1; – 1) là: 3(x – 1) – 4(y + 1) = 0 ⇔ 3x – 4y – 7 = 0.

Ta có: $\overrightarrow{BC}=(-6;\ 12)$

Phương trình đường trung trực của đoạn thẳng BC nhận $\overrightarrow{{n}_{BC}}$= (1; – 2) làm vectơ pháp tuyến và đi qua M( – 2; 3) là: x + 2 – 2(y – 3) = 0 ⇔ x – 2y + 8 = 0.

Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Do đó I là giao điểm của các đường trung trực nên tọa độ điểm I là nghiệm của hệ phương trình:

$\{\begin{matrix}x-2y=-8 \\ 3x-4y=7\end{matrix}\Leftrightarrow \{\begin{matrix}x=23 \\ y=\frac{31}{2}\end{matrix}\Rightarrow I(23;\frac{31}{2})$

⇒ $\overrightarrow{IA}$= (– 22; $-\frac{29}{2}$) ⇒ IA = $\sqrt{{(-22)}^{2}+{(-\frac{29}{2})}^{2}}=\sqrt{\frac{2777}{4}}\approx 26$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Gọi M là trung điểm của AB nên M$(\frac{5}{2};\frac{3}{2})$

⇒ Đường trung trực (∆) của đoạn thẳng AB đi qua tâm I của đường tròn

Mặt khác ta có: ∆ đi qua điểm M và nhận vectơ $\overrightarrow{AB}$= (3; – 1) làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình là:

3(x – $\frac{5}{2}$) – (y – $\frac{3}{2}$) = 0 ⇔ 3x – y – 6 = 0

Vì I = (∆) ∩ (d) nên toạ độ điểm I thoả mãn hệ $\{\begin{matrix}2x-y-5=0 \\ 3x-y-6=0\end{matrix}\Leftrightarrow \{\begin{matrix}x=1 \\ y=-3\end{matrix}$

⇒ I(1; -3)

Bán kính R = IA = $\sqrt{{(1-1)}^{2}+{(3+2)}^{2}}$= 5.

Vậy phương trình đường tròn (C) là: (x – 1)$^{2}$ + (y + 3)$^{2}$ = 25.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Đường tròn (C) có tâm I(1; −2) và bán kính R = 1

Đường thẳng x + 2y + 5 = 0 có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{{n}_{1}}(1;2)$

Theo giả thiết ta có: đường thẳng ∆ vuông góc với đường thẳng x + 2y + 5 = 0 nên đường thẳng ∆ nhận $\overrightarrow{{n}_{1}}$ làm vectơ chỉ phương. Do đó vectơ pháp tuyến của đường thẳng ∆ là $\overrightarrow{{n}_{Δ}}(2;-1)$.

Phương trình đường thẳng ∆ có dạng 2x – y + m = 0

Vì ∆ là tiếp tuyến của (C) nên d(I; ∆) = R

⇔ $\frac{|2+2+m|}{\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}}$ = 1

⇔ $|4+m|=\sqrt{5}$

⇔ $[\begin{matrix}4+m=\sqrt{5} \\ 4+m=-\sqrt{5}\end{matrix}$

⇔ $[\begin{matrix}m=\sqrt{5}-4 \\ m=-\sqrt{5}-4\end{matrix}$

+ Với m = $\sqrt{5}-4$ thì phương trình của ∆ là: 2x – y + $\sqrt{5}-4$ = 0

+ Với m = $-\sqrt{5}-4$ thì phương trình của ∆ là: 2x – y $-\sqrt{5}-4$ = 0

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Gọi I là tâm của đường tròn (C)

Vì I ∈ d nên I(6t + 10; t)

Theo giả thiết ta có: d (I; d$_{1}$) = d (I; d$_{2}$) = R

⇔ $\frac{|3.(6t+10)+4t+5|}{\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}}$ = $\frac{|4.(6t+10)-3t-5|}{\sqrt{{4}^{2}+{(-3)}^{2}}}$

⇔ $|22t+35|=|21t+35|$

⇒ $[\begin{matrix}22t+35=21t+35 \\ 22t+35=-21t-35\end{matrix}$

⇔ $[\begin{matrix}22t-21t=35-35 \\ 22t+21t=-35-35\end{matrix}$

⇔ $[\begin{matrix}t=0 \\ t=\frac{-70}{43}\end{matrix}$

+ Với t = 0 thì I (10; 0) và R = 7.

Do đó phương trình đường tròn (C) là: (x − 10)$^{2}$ + y$^{2}$ = 49

+ Với t = $\frac{-70}{43}$ thì I$(\frac{10}{43};\frac{-70}{43})$ và R = $\frac{7}{43}$ .

Do đó phương trình đường tròn (C) là: ${(x-\frac{10}{43})}^{2}+{(y+\frac{70}{43})}^{2}={(\frac{7}{43})}^{2}$.