5 câu Trắc nghiệm Toán 10 chân trời sáng tạo Tọa độ của vectơ (Vận dụng) có đáp án

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Với $\overrightarrow{v}=(10;0)$ và $\overrightarrow{w}=(3;5)$ ta có:

$\overrightarrow{u}=\overrightarrow{v}+\overrightarrow{w}=(10+3;0+5)=(13;5)$.

Vậy $\overrightarrow{u}=(13;5)$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Gọi H có tọa độ là (a; b).

Với A(1; 4), B(2; 5), C(5; 2) và H(a; b) ta có:

• $\overrightarrow{AH}=(a-1;b-4)$;

• $\overrightarrow{BH}=(a-2;b-5)$

• $\overrightarrow{BC}=(3;-3)$.

+) Do AH vuông góc BC nên $\overrightarrow{AH}.\overrightarrow{BC}=0$

Û (a – 1).3 + (b – 4).(–3) = 0

Û a – 1 – b + 4 = 0

Û a – b = – 3 (1)

$\overrightarrow{BH}$ cùng phương với $\overrightarrow{BC}$ nên ta có

(a – 2).(–3) – 3.(b – 5) = 0

Û – a + 2 – b + 5 = 0

Û a + b = 7 (2)

Từ (1) và (2) suy ra a = 2; b = 5 do đó H(2; 5).

+) G là trọng tâm tam giác ABC với A(1; 4), B(2; 5), C(5; 2) nên:

${x}_{G}=\frac{1+2+5}{3}=\frac{8}{3};{y}_{G}=\frac{4+5+2}{3}=\frac{11}{3}$

Suy ra $G(\frac{8}{3};\frac{11}{3})$.

Do đó $\overrightarrow{GH}=(-\frac{2}{3};\frac{4}{3})$.

Độ dài GH là: $GH=|\overrightarrow{GH}|=\sqrt{{(-\frac{2}{3})}^{2}+{(\frac{4}{3})}^{2}}=\frac{2\sqrt{5}}{3}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Do I trùng với O nên I(0; 0).

ABCD là hình thoi nên I là trung điểm các đường chéo AC và BD.

Do đó ta có: C(‒2; ‒3) và D(‒3; ‒5).

G là trọng tâm tam giác ICD nên

${x}_{G}=\frac{-2+(-3)+0}{3}=\frac{-5}{3}$ và ${y}_{G}=\frac{-3+(-5)+0}{3}=\frac{-8}{3}$.

Suy ra $G(\frac{-5}{3};\frac{-8}{3})$

Với C(‒2; ‒3) và $G(\frac{-5}{3};\frac{-8}{3})\Rightarrow \overrightarrow{CG}(\frac{1}{3};\frac{1}{3})$.

Vậy $CG=|\overrightarrow{CG}|=\sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2}+{(\frac{1}{3})}^{2}}=\frac{\sqrt{2}}{3}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Điểm M thuộc trục tung nên M(0; m).

Với A(1; –1), B(3; 2) và M(0; m) ta có: $\overrightarrow{AM}=(-1;m+1);\ \overrightarrow{BM}=(-3;m-2)$.

Khi đó MA$^{2}$ + MB$^{2}$ = ${|\overrightarrow{MA}|}^{2}+{|\overrightarrow{MB}|}^{2}$

= (–1)$^{2}$ + (m + 1)$^{2}$ + (–3)$^{2}$ + (m – 2)$^{2}$

= 1 + m$^{2}$ + 2m + 1 + 9 + m$^{2}$ – 4m + 4

= 2m$^{2}$ – 2m + 15

$=2{(m-\frac{1}{2})}^{2}+\frac{29}{2}\ge \frac{29}{2},\forall m\in ℝ$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi m = $\frac{1}{2}$.

Khi đó MA$^{2}$ + MB$^{2}$ nhỏ nhất bằng $\frac{29}{2}$.

Vậy $M(0;\frac{1}{2}).$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Khoảng cách mà mỗi tàu đi được so với cảng chính là $100|{\overrightarrow{s}}_{1}|$ và $100|{\overrightarrow{s}}_{2}|$.

Do đó, quãng đường tàu thứ nhất đi được dài hơn tàu thứ hai là hiệu $100|{\overrightarrow{s}}_{1}|-100|{\overrightarrow{s}}_{2}|$ và khoảng cách giữa hai tàu là $100|{\overrightarrow{s}}_{1}-{\overrightarrow{s}}_{2}|$.

Ta có ${\overrightarrow{s}}_{1}=(14;-8),\ {\overrightarrow{s}}_{2}=(12;4)$ và ${\overrightarrow{s}}_{1}-{\overrightarrow{s}}_{2}=(2;-12)$

Suy ra $|{\overrightarrow{s}}_{1}|=\sqrt{{14}^{2}+{(-8)}^{2}}=2\sqrt{65}$ (m);

$|{\overrightarrow{s}}_{2}|=\sqrt{{12}^{2}+{4}^{2}}=4\sqrt{10}$ (m);

$|{\overrightarrow{s}}_{1}-{\overrightarrow{s}}_{2}|=\sqrt{{2}^{2}+{(-12)}^{2}}=2\sqrt{37}$ (m).

Vậy quãng đường tàu thứ nhất đi được dài hơn tàu thứ hai là:

$100.2\sqrt{65}-100.4\sqrt{10}\approx 347{,}54$ (m).

Khoảng cách giữa hai tàu là: $100.2\sqrt{37}\approx 1\ 216{,}55$ (m).

Vậy ta chọn phương án A.