5 câu Trắc nghiệm Toán 10 chân trời sáng tạo Đường tròn trong mặt phẳng tọa độ (Vận dụng) có đáp án

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Vì A ∈ d$_{1}$ nên $A(a;-a\sqrt{3})\ (a>0)$

B, C ∈ d$_{2}$ nên $B(b;b\sqrt{3}),\ C(c;c\sqrt{3})$.

Suy ra $\overrightarrow{AB}=(b-a;b\sqrt{3}+a\sqrt{3}),\ \overrightarrow{AC}=(c-a;c\sqrt{3}+a\sqrt{3}),\overrightarrow{BC}=(c-b;c\sqrt{3}-b\sqrt{3})$

Đường thẳng d$_{1}$: $\sqrt{3}x+y=0$ có vectơ pháp tuyến là ${\overrightarrow{n}}_{1}=(\sqrt{3};1)$ nên có vectơ chỉ phương là ${\overrightarrow{u}}_{1}=(1;-\sqrt{3})$.

Đường thẳng d$_{2}$: $\sqrt{3}x-y=0$ có vectơ pháp tuyến là ${\overrightarrow{n}}_{2}=(\sqrt{3};-1)$ nên có vectơ chỉ phương là ${\overrightarrow{u}}_{2}=(1;\sqrt{3})$.

Ba điểm A, B, C đều nằm trên đường tròn mà tam giác ABC vuông tại B

Do đó AC là đường kính của đường tròn (C).

$\Rightarrow$ AC ⊥ d$_{1}$ $\Leftrightarrow \overrightarrow{AC}.{\overrightarrow{u}}_{1}=0\Leftrightarrow 1.(c-a)-\sqrt{3}(c\sqrt{3}+a\sqrt{3})=0$

$\Leftrightarrow$ c – a – 3c – 3a = 0 Û 2a + c = 0 (1).

Lại có tam giác ABC vuông tại B nên AB ⊥ d$_{2}$

$\Leftrightarrow \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{{u}_{2}}=0\Leftrightarrow 1.(b-a)+\sqrt{3}.(b\sqrt{3}+a\sqrt{3})=0$

$\Leftrightarrow$ b – a + 3b + 3a = 0 $\Leftrightarrow$ a + 2b = 0 (2).

Mặt khác ${S}_{ABC}=\frac{\sqrt{3}}{2}\Leftrightarrow \frac{1}{2}.d(A;{d}_{2}).BC=\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\Leftrightarrow \frac{|\sqrt{3}.a-(-a\sqrt{3})|}{\sqrt{{(\sqrt{3})}^{2}+{(-1)}^{2}}}.\sqrt{{(c-b)}^{2}+{(c\sqrt{3}-b\sqrt{3})}^{2}}=\sqrt{3}$

$\Leftrightarrow \frac{|2a\sqrt{3}|}{2}.\sqrt{4{(c-b)}^{2}}=\sqrt{3}\Leftrightarrow \frac{2a\sqrt{3}}{2}.2|c-b|=\sqrt{3}$ (do a > 0)

$\Leftrightarrow$ 2a|c – b| = 1 (3)

Từ (1) và (2) suy ra 2(2a + c) – (a + 2b) = 2 Û 2c – 2b = –3a

Thay vào (2) ta được a.|–3a| = 1 Û 3a$^{2}$ = 1 (do a > 0)

$\Leftrightarrow a=\frac{\sqrt{3}}{3}\$(do a > 0).

Khi đó $b=-\frac{\sqrt{3}}{6},\ c=-\frac{2\sqrt{3}}{3}$

$\Rightarrow A(\frac{\sqrt{3}}{3};-1),\ C(-\frac{2\sqrt{3}}{3};-2)$ và $\overrightarrow{AC}=(-\sqrt{3};-1)$

Đường tròn (C) có AC là đường kính nên nhận trung điểm $I(-\frac{\sqrt{3}}{6};-\frac{3}{2})$ của AC làm tâm và bán kính $R=\frac{AC}{2}=\frac{\sqrt{{(-\sqrt{3})}^{2}+{(-1)}^{2}}}{2}=1$.

Vậy phương trình đường tròn cần tìm là $(C):\ {(x+\frac{\sqrt{3}}{6})}^{2}+{(y+\frac{3}{2})}^{2}=1.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Đường tròn (C) có tâm I(1; –2) và bán kính R = $2\sqrt{2}$.

Giả sử tiếp tuyến có vectơ pháp tuyến là ${\overrightarrow{n}}_{d}=(a;b)$ (a$^{2}$ + b$^{2}$ ≠ 0).

Phương trình tiếp tuyến d đi qua điểm A(5; –2) và nhận ${\overrightarrow{n}}_{d}=(a;b)$ làm vectơ pháp tuyến là:

a(x – 5) + b(y + 2) = 0 hay ax + by – 5a + 2b = 0.

Ta có: $d(I,d)=R\Leftrightarrow \frac{|a.1+b.(-2)-5a+2b|}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}=2\sqrt{2}$

$\Leftrightarrow$ |a – 2b – 5a + 2b| = $2\sqrt{2({a}^{2}+{b}^{2})}$

$\Leftrightarrow$ (– 4a)$^{2}$ = 8(a$^{2}$ + b$^{2}$)

$\Leftrightarrow$16a$^{2}$ – 8a$^{2}$ = 8b$^{2}$

$\Leftrightarrow$ a$^{2}$ = b$^{2}$

$\Leftrightarrow$a = b hoặc a = – b.

Với a = b, chọn b = 1 thì a = 1.

Khi đó phương trình d là x + y – 3 = 0.

Với a = – b, chọn b = – 1 thì a = 1.

Khi đó phương trình d là x – y – 7 = 0.

Vậy ta chọn phương án B.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta có x$^{2}$ + y$^{2}$ – 2(m + 1)x + 4y – 1 = 0 có a = m + 1; b = –2 và c = –1.

Để (1) là phương trình đường tròn thì a$^{2}$ + b$^{2}$ – c > 0

$\Leftrightarrow$ (m + 1)$^{2}$ + (–2)$^{2}$ – (–1) > 0

$\Leftrightarrow$ (m + 1)$^{2}$ + 5 > 0 (luôn đúng với mọi m).

Khi đó bán kính của đường tròn này là $R=\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}-c}$

Hay R$^{2}$ = (m + 1)$^{2}$ + 5 ≥ 5, với mọi m.

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi m + 1 = 0 $\Leftrightarrow$ m = –1.

Vậy đường tròn có bán kính nhỏ nhất bằng $R=\sqrt{5}$ khi m = –1.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Gọi M là tiếp điểm của tiếp tuyến với đường tròn.

Khi đó IM vuông góc với tiếp tuyến.

Phương trình tiếp tuyến của đường tròn là: x – y = 0 có vectơ pháp tuyến ${\overrightarrow{n}}_{1}=(1;-1)$.

Đường thẳng IM có vectơ pháp tuyến ${\overrightarrow{n}}_{2}=(1;1)$ nên phương trình có dạng: x + y + c = 0.

Điểm I nằm trên đường thẳng IM nên ta có I(t; – c – t)

$\Rightarrow \overrightarrow{OI}=(t;-c-t)$

O nằm trên đường tròn nên OI = R = 2

Do đó t$^{2}$ + (– c – t)$^{2}$ = 4.

Mặt khác, IM vuông góc với tiếp tuyến nên khoảng cách từ I đến tiếp tuyến d bằng 2.

Hay $d(I,d)=2\Leftrightarrow \frac{|t-(-c-t)|}{\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}}=2$

$\Leftrightarrow |c+2t|=2\sqrt{2}\Leftrightarrow [\begin{matrix}c=2\sqrt{2}-2t \\ c=-2\sqrt{2}-2t\end{matrix}$

Khi $c=2\sqrt{2}-2t$ thì ta có: ${t}^{2}+{(2\sqrt{2}-2t-t)}^{2}=4$

$\Leftrightarrow {t}^{2}+{(2\sqrt{2}-3t)}^{2}=4\Leftrightarrow 10{t}^{2}-12\sqrt{2}t+4=0$

$\Leftrightarrow [\begin{matrix}t=\sqrt{2} \\ t=\frac{\sqrt{2}}{5}\end{matrix}$

Với 2 giá trị của t, suy ra có 2 điểm I.

Khi $c=-2\sqrt{2}-2t$ thì ta có: ${t}^{2}+{(-2\sqrt{2}-3t)}^{2}=4$

$\Leftrightarrow 10{t}^{2}+12\sqrt{2}t+4=0\Leftrightarrow [\begin{matrix}t=-\sqrt{2} \\ t=-\frac{\sqrt{2}}{5}\end{matrix}$

Với 2 giá trị của t, suy ra có 2 điểm I.

Vậy có 4 phương trình đường tròn thỏa mãn.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Đường tròn (C) có tâm I(–1; 1) và R = 5.

Ta có $\overrightarrow{IM}=(10;-5)$

Giả sử tiếp tuyến d có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}=(a;b)$ (với a, b ≠ 0 do d không song song với các trục toạ độ).

Khi đó tiếp tuyến d đi qua điểm M(9; – 4) nên có phương trình:

a(x – 9) + b(y + 4) = 0 $\Leftrightarrow$ ax + by – 9a + 4b = 0.

Đường thẳng d là tiếp tuyến của đường tròn nên d(I, d) = R

$\Leftrightarrow \frac{|-a+b-9a+4b|}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}=5\Leftrightarrow |5b-10a|=5\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$

$\Leftrightarrow$ 5$^{2}$ . (b – 2a)$^{2}$ = 5$^{2}$ . (a$^{2}$ + b$^{2}$) $\Leftrightarrow$ b$^{2}$ – 4ab + 4a$^{2}$ = a$^{2}$ + b$^{2}$

$\Leftrightarrow$ 3a$^{2}$ – 4ab = 0 Û a(3a – 4b) = 0

$\Leftrightarrow$3a = 4b.

Chọn b = 3 thì a = 4.

Khi đó d có phương trình là:

4x + 3y – 36 + 12 = 0 hay 4x + 3y – 24 = 0.

Do đó d(P; d) = $\frac{|4.6+3.5-24|}{\sqrt{{4}^{2}+{3}^{2}}}=\frac{15}{5}=3.$