5 câu Trắc nghiệm Toán 10 Cánh diều Bài 5. Bài tập cuối chương 5 (Phần 2) có đáp án (Vận dụng)

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Trường hợp 1: Chọn 1 cuốn tiểu thuyết và 1 cuốn truyện tranh

Có 10 cách chọn 1 cuốn tiểu thuyết; Có 8 các chọn 1 cuốn truyện tranh

Do đó có 10. 8 = 80 cách chọn

Trường hợp 2: Chọn 1 cuốn tiểu thuyết và 1 cuốn tài liệu văn học

Có 10 cách chọn 1 cuốn tiểu thuyết; Có 6 cách chọn 1 cuốn tài liệu văn học

Do đó có 10. 6 = 60 cách chọn

Trường hợp 3: Chọn 1 cuốn truyện tranh và 1 cuốn tài liệu văn học

Có 8 cách chọn 1 cuốn truyện tranh và 6 cách chọn 1 cuốn tài liệu văn học

Do đó có 8. 6 = 48 cách chọn

Tổng số cách chọn là:

80 + 60 + 48 = 188 (cách chọn).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

ĐK: n ≥ 2, n ∈ ℕ

$C_n^2 + A_n^2 = 9n.$

$\Leftrightarrow \frac{{n!}}{{2!\left( {n - 2} \right)!}} + \frac{{n!}}{{\left( {n - 2} \right)!}} = 9n$

$\Leftrightarrow \frac{{n.(n - 1)(n - 2)!}}{{2!.\left( {n - 2} \right)!}} + \frac{{n.(n - 1).(n - 2)!}}{{\left( {n - 2} \right)!}} = 9n$

$\Leftrightarrow \frac{{n.(n - 1)}}{2} + n.(n - 1) = 9n$

$\Leftrightarrow (n - 1)\left( {\frac{n}{2} + n} \right) = 9n$

$\Leftrightarrow \frac{3}{2}n\left( {n - 1} \right) = 9n$

$$\Leftrightarrow \frac{3}{2}{n^2} - \frac{3}{2}n - 9n = 0$$

$\Leftrightarrow 3{n^2} - 3n - 18n = 0$

$\Leftrightarrow 3{n^2} - 21n = 0$

$\Leftrightarrow 3n\left( {n - 7} \right) = 0$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3n = 0\\n - 7 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n = 0(ktm)\\n = 7(tm)\end{array} \right.$

Vậy n chia hết cho 7.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Ta có:

$M = \frac{{A_n^6 + A_n^5}}{{A_n^4}}$

= $\frac{{n.(n - 1).(n - 2)...(n - 5) + n(n - 1).(n - 2)...(n - 4)}}{{n(n - 1)...(n - 3)}}$

$= \frac{{n(n - 1)(n - 2)(n - 3)\left[ {(n - 4)(n - 5) + (n - 4)} \right]}}{{n(n - 1)(n - 2)(n - 3)}}$

= (n – 4)(n – 5) + (n – 4)

= n$^{2}$ – 4n – 5n + 20 + n – 4

= n$^{2}$ – 8n + 16 = (n – 4)$^{2}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

$${\left( {1 + x + {x^2} + {x^3}} \right)^5} = {\left[ {\left( {1 + x} \right) + {x^2}\left( {1 + x} \right)} \right]^5} = {\left[ {\left( {1 + {x^2}} \right)\left( {1 + x} \right)} \right]^5}$$

Áp dụng khai triển nhị thức Newton ta có:

${\left( {1 + {x^2}} \right)^5} = C_5^0{.1^5} + C_5^1{.1^4}.{\left( {{x^2}} \right)^1} + C_5^2{.1^3}.{\left( {{x^2}} \right)^2} + C_5^3{.1^2}.{\left( {{x^2}} \right)^3} + C_5^4.1.{\left( {{x^2}} \right)^4} + C_5^5.{\left( {{x^2}} \right)^5}$

${\left( {1 + x} \right)^5} = C_5^0{.1^5} + C_5^1{.1^4}.{x^1} + C_5^2{.1^3}.{x^2} + C_5^3{.1^2}.{x^3} + C_5^4.1.{x^4} + C_5^5.{x^5}$

Xét ${\left[ {\left( {1 + {x^2}} \right)\left( {1 + x} \right)} \right]^5}$ = ${\left( {1 + {x^2}} \right)^5}$.${\left( {1 + x} \right)^5}$ để có x$^{5}$ thì (x$^{2}$)$^{i}$.x$^{j}$ = x$^{5}$ hay x$^{2i + j}$ = x$^{5}$ với i; j là số tự nhiên và i; j bé hơn 5.

Khi đó, số hạng chứa x$^{5}$ trong khai triển là:

$C_5^0{.1^5}.C_5^5{x^5} + C_5^1{.1^4}.{x^2}.C_5^3{.1^2}.{x^3} + C_5^2{.1^3}.{x^4}.C_5^1{.1^4}.x$ = x$^{5}$ + 50x$^{5}$ + 50x$^{5}$ = 101x$^{5}$

Vậy hệ số của x$^{5}$ trong khai triển là 101.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có

$3C_n^2 + 2A_n^2 = 3{n^2} - 5$

$\Leftrightarrow \frac{{3n!}}{{(n - 2)!2!}} + \frac{{2n!}}{{(n - 2)!}} = 3{n^2} - 5$

$\Leftrightarrow \frac{{3.n.(n - 1).(n - 2)!}}{{(n - 2)!.2}} + \frac{{2.n.(n - 1).(n - 2)!}}{{(n - 2)!}} = 3{n^2} - 5$

$\Leftrightarrow \frac{{3.n.(n - 1)}}{2} + 2.n.(n - 1) = 3{n^2} - 5$

$\Leftrightarrow 3{n^2} - 3n + 4{n^2} - 4n - 6{n^2} + 10 = 0$

$\Leftrightarrow {n^2} - 7n + 10 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n = 5\\n = 2\end{array} \right.$. Mà n > 2 nên n = 5.

Khi đó:

${\left( {2{x^3} - \frac{3}{{{x^2}}}} \right)^5} = {\left( {2{x^3} - 3{x^{ - 2}}} \right)^5}$

$= C_5^0.{\left( {2{x^3}} \right)^5} + C_5^1.{\left( {2{x^3}} \right)^4}.\left( { - 3{x^{ - 2}}} \right) + C_5^2.{\left( {2{x^3}} \right)^3}.{\left( { - 3{x^{ - 2}}} \right)^2}$

$+ C_5^3.{\left( {2{x^3}} \right)^2}.{\left( { - 3{x^{ - 2}}} \right)^3} + C_5^4.{\left( {2{x^3}} \right)^1}.{\left( { - 3{x^{ - 2}}} \right)^4} + C_5^5.{\left( { - 3{x^{ - 2}}} \right)^5}$

$= {2^5}.{x^{15}} + {5.2^4}.{x^{12}}.( - 3).{x^{ - 2}} + {10.2^3}.{x^9}.{\left( { - 3} \right)^2}.{x^{ - 4}}$

$+ {10.2^2}.{x^6}.{\left( { - 3} \right)^3}.{x^{ - 6}} + 5.2{x^3}.{\left( { - 3} \right)^4}.\left( {{x^{ - 8}}} \right) + {\left( { - 3} \right)^5}.\left( {{x^{ - 10}}} \right)$

$= 32.{x^{15}} - 240.{x^{10}} + 720.{x^5}$$- 1080 + 810{x^{ - 5}} - 243.{x^{ - 10}}$

Vậy số hạng không chứa x trong khai triển là –1 080.