31 bài tập Một số bài toán thực tế liên quan đến Ứng dụng hình học của tích phân (có lời giải)

Năng lượng gió trên đất liền là một trong những công nghệ năng lượng tái tạo đang được phát triển ở quy mô toàn cầu. năng lượng gió không trực tiếp phát thải khí nhà kính, không thải ra môi trường các chất gây ô nhiễm khác, cũng không tiêu thụ nước để làm mát cho các nhà máy. Các turbine gió thường có ba cánh quay trên trục ngang, lấy động năng từ quá trình di chuyển của dòng không khí (gió) để chuyển đổi thành điện năng thông qua một máy phát điện được kết nối với lưới điện. Hình thang cong mô tả một phần mặt cắt đứng của cánh turbine, được giới hạn bởi các đường thẳng x = 2; x = 25, trục Ox và đồ thị hàm số $y = f(x) = - \frac{1}{{800}}\left( {{x^3} - 33{x^2} + 120x - 400} \right)$. Hãy tính diện tích phần hình thang cong đó

Vòm cửa lớn của một trung tâm văn hóa có dạng hình parabol. Người ta dự định lắp của kính cường lực cho vòm cửa này. Hãy tính diện tích mặt kính cần lắp vào biết rằng vòm cửa cao $8\left( {\rm{m}} \right)$ và rộng $8\left( {\rm{m}} \right)$ (như hình vẽ)

Cho một viên gạch men có dạng hình vuông $OABC$ như hình vẽ. Sau khi tọa độ hóa, ta có $O\left( {0\,;\,0} \right)$, $A\left( {0\,;\,1} \right)$, $B\left( {1\,;\,1} \right)$, $C\left( {1\,;\,0} \right)$ và hai đường cong lần lượt là đồ thị hàm số $y = {x^3}$ và $y = \sqrt[3]{x}$. Tính diện tích của phần không được tô đậm trên viên gạch men.

Ông An muốn làm một cánh cửa bằng sắt có hình dạng và kích thước như hình vẽ. Biết rằng đường cong phía trên là một parabol, tứ giác $ABCD$ là hình chữ nhật. Giá của cánh cửa sau khi hoàn thành là $900.000$ đồng/m2. Số tiền mà ông An phải trả để làm cánh cửa đó bằng

Trên cửa sổ có dạng hình chữ nhật, một họa sĩ thiết kế logo hình con cá cho một doanh nghiệm thủy sản. Logo giới hạn bởi hai parabol với các kích thước được cho như hình bên (đơn vị trên trục tọa độ là decimet)

a) Lập phương trình parabol y = f(x) và y = g(x).

b) Tính diện tích của logo

c) Logo chỉ cho phép 50% ánh sáng đi qua nó. Lượng ánh sáng đi qua toàn bộ cửa sổ sau khi làm logo sẽ giảm bao nhiêu phần trăm (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)

Cô Hạnh đổ bê tông một con đường đi trong vườn (Phần được tô màu) với kích thước được cho như hình bên. Biết rằng đường cong AB được cho bởi đồ thị của một hàm số liên tục và đường cong DC nhận được từ đường cong AB bằng cách tịnh tiến theo phương thẳng đứng lên phía trên 2 m. Ngoài ra, cô Hạnh quyết định đỏ lớp bê tông dày 15 cm và giá tiền 1 m3 bê tông là 1080000 đồng. Tính số tiền cô Hạnh cần dùng để đổ bê tông con đường đó.

Một chiếc chén trong bộ ấm chén uống trà như hình bên, bạ Dương ước lượng được rằng chiếc chén được tạo thành khi cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $f(x) = 0{,}14{x^3} - 0{,}87{x^2} + 1{,}92x + 0{,}85$, trục hoành và hai đường thẳng x = 0, x = 3 quay quanh trục Ox ( đơn vị trên mỗi trục tọa độ là centimet). Tính thể tích của chiếc chén (làm tròn đến hàng đơn vị của centimet khối)

Một cái trống (hình vẽ dưới) có đường kính 1 m, hai mặt trống có đường kính 0,7 m và chiều cao của trống là 1 m. Thể tích khối giới hạn bởi bề mặt của trống gần với số nào?

Tốc độ chuyển động v (m/s) của một ca nô trong khoảng thời gian 40 giây được thể hiện như Hình 1. Quãng đường đi được của ca nô trong khoảng thời gian này là bao nhiêu?

Sau khi được thả rơi tự do từ độ cao 100 m , một vật rơi xuống với tốc độ ${\rm{v}}({\rm{t}}) = 10{\rm{t}}({\rm{m}}/{\rm{s}})$, trong đó t là thời gian tính theo giây kể từ khi thả vật.

a) Tính quãng đường $s(t)$ vật di chuyển được sau thời gian $t$ giây (trong khoảng thời gian vật đang rơi).

b) Sau bao nhiêu giây thì vật chạm đất? Tính tốc độ rơi trung bình của vật.

Tốc độ tăng dân số của một thành phố trong một số năm được ước lượng bởi công thức ${{\rm{P}}^\prime }({\rm{t}}) = 20.{(1{,}106)^{\rm{t}}}$ với $0 \le {\rm{t}} \le 7$, trong đó t là thời gian tính theo năm và $t=0$ ứng với đầu năm $2015,{\rm{P}}({\rm{t}})$ là dân số của thành phố tính theo nghìn người. Cho biết dân số của thành phố đầu năm 2015 là 1008 nghìn người.

a) Tính dân số của thành phố ở thời điếm đầu năm 2020 (làm tròn đến nghìn người).

b) Tính tốc độ tăng dân số trung bình hằng năm của thành phố trong giai đoạn từ đằu năm 2015 đến đằu năm 2020 .

Hình minh họa mặt cắt của một bức thường cũ có dạng hình chữ nhật với một cổng ra và có dạng hình parabol với các kích thước được cho hinh hình bên. Người ta dự định sơn lại mặt ngoài của béc tường đó. Chi phí để sơn bức tường là 15000 đồng/1m2 . Tổng chi phí để sơn toàn bộ mặt ngoài của bức tường là bao nhiêu

Cho đồ thị hàm số y = f(x) như hình bên

a) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bời đồ thị hàm số y = f(x), trục Ox và hai đường thẳng t = 0, t = 2

b) Hỏi $\int\limits_0^1 {f(u)du}$ biểu thị cho phần diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng nào?

Người ta dự định lắp kính cho cửa một mái vòm có dạng hình parabol. Hãy tính diện tích mặt kính cần lắp vào, biết rằng mái vòm cao 21 m và rộng 70 m

Hình bên minh họa cho mặt cắt đứng của một con kênh đặt trong hệ trục tọa độ Oxy. Đáy của con kênh là một đường cong cho bởi phương trình $y = f(x) = \frac{3}{{100}}\left( { - \frac{1}{3}{x^3} + 5{x^2}} \right)$. Hãy tính diện tích hình phẳng tô màu xanh trong hình bên, biết đơn vị trên mỗi trục tọa độ là mét.

Mặt cắt của một cửa hầm có dạng hình phẳng giới hạn bởi một parabol và đường thẳng nằm ngang như hình vẽ. Tính diện tích của cửa hầm.

Một bình chứa nước có hình dạng như Hình 11. Biết rằng khi nước trong bình có chiều cao $x({\rm{dm}})(0 \le x \le 4)$ thì mặt nước là hình vuông có cạnh $\sqrt {2 + \frac{{{x^2}}}{4}} ({\rm{dm}})$. Tính dung tích của bình.

Hình vẽ mô phỏng phần bên trong của một chậu cây có dạng khối tròn xoay tạo thành khi quay một phần của đồ thị hàm số $y = \sqrt x + \frac{3}{2}$ với $0 \le x \le 4$ quanh trục hoành. Thể tích phần bên trong (dung tích) của chậu cây, biết đơn vị trên các trục Ox, Oy là decimet.

Cho tam giác OPM có cạnh OP nằm trên trục Ox. Giải sử $\widehat {POM} = \alpha ,OM = l{\rm{ }}\left( {0 \le \alpha \le \frac{\pi }{3};t > 0} \right)$. Gọi N là khối nón tròn xoay thu được khi tam giác đó xuay quanh trục Ox. Tính thể tích khối nón N theo $l$.

Sau khi đo kích thức hai thùng rượu vang như hình bên, bạn Quân xác định thù rượu vang có dạng hình tròn xoay được tạo thành khi cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = - 0{,}011{x^2} - 0{,}071x + 40$, trục Ox và hai đường thẳng x = -35, x = 35 quay quanh trục Ox. Tính thể tích thùng rượu vang đó biết đơn vị trên mỗi trục tọa độ là centimet.

Nếu cắt chậu nước có hình dạng như Hình vẽ bằng mặt phẳng song song và cách mặt đáy x (cm) (0 ≤ x ≤ 16) thì mặt cắt là hình tròn có bán kính $\left( {10 + \sqrt x } \right)$ (cm). Tính dung tích của chậu.

Một chiếc lều mái vòm có hình dạng như Hình vẽ. Nếu cắt lều bằng mặt phẳng song song với mặt đáy và cách mặt đáy một khoảng x (m) (0 ≤ x ≤ 3) thì được hình vuông có cạnh $\sqrt {9 - {x^2}}$ (m). Tính thể tích của lều.

Khối chỏm cầu có bán kính R và chiều cao h (0 < h < R) sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi cung tròn có phương trình $y = \sqrt {{R^2} - {x^2}}$, trục hoành và hai đường thẳng x=R – h, x = R xung quanh trục Ox (Hình vẽ). Tính thể tích của khối chỏm cầu này.

Cho một mô hình $3 - D$ mô phỏng một đường hầm như hình vẽ bên.

Biết rằng đường hầm mô hình có chiều dài $5\left( {cm} \right)$; khi cắt mô hình này bởi các mặt phẳng vuông góc với đáy của nó, ta được thiết diện là một hình parabol có độ dài đáy gấp đôi chiều cao của parabol. Chiều cao của mỗi thiết diện parabol cho bởi công thức $y = 3 - \frac{2}{5}x\left( {cm} \right)$, với $x\left( {cm} \right)$ là khoảng cách tính từ lối vào lớn hơn của đường hầm mô hình. Tính thể tích (theo đơn vị $c{m^3}$) không gian bên trong đường hầm mô hình (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

Để chuẩn bị cho hội trại do Đoàn trường tổ chức, lớp 12A dự định dựng một cái lều trại có hình parabol như hình vẽ. Nền của lều trại là một hình chữ nhật có kích thước bề ngang $3$ mét, chiều dài $6$ mét, đỉnh trại cách nền $3$ mét. Tính thể tích phần không gian bên trong trại.

Có một cốc thủy tinh hình trụ, bán kính trong lòng đáy cốc là $4cm$, chiều cao trong lòng cốc là $12cm$ đang đựng một lượng nước. Tính thể tích lượng nước trong cốc, biết rằng khi nghiêng cốc nước vừa lúc chạm miệng cốc thì ở đáy cốc, mực nước trùng với đường kính đáy.

Cho một vật thể $X$ được giới hạn bởi các mặt phẳng $x = 1;x = 4$. Cắt vật thể bởi một mặt phẳng vuông góc với trục $Ox$ tại điểm có hoành độ bằng $x$ thì thiết diện thu được có hình dạng và kích thước như hình vẽ bên dưới. Tính thể tích của vật thể.