3 bài tập Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số bậc hai y = ax^3 + bx^2 + cx + d, (a ≠ 0) (có lời giải)

1. Tập xác định: D = $\mathbb{R}$.

2. Sự biến thiên:

Chiều biến thiên:

Đạo hàm y' = 3x2 − 6x; y' = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 2.

Trên các khoảng (−∞; 0) và (2; +∞), y' > 0 nên hàm số đồng biến trên mỗi khoảng đó.

Trên khoảng (0; 2), y' < 0 nên hàm số nghịch biến trên khoảng đó.

Cực trị:

Hàm số đạt cực đại tại x = 0 và y$_{cđ}$ = 2. Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2 và y$_{ct}$ = –2.

Các giới hạn tại vô cực: $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = + \infty$

Bảng biến thiên:

3. Đồ thị:

Khi x = 0 thì y = 2 nên (0; 2) là giao điểm của đồ thị với trục Oy.

Ta có y = 0 ⇔ x3 − 3x2 + 2 = 0

⇔ x = 1 hoặc x = $1 - \sqrt 3$ hoặc x = $1 + \sqrt 3$

Vậy đồ thị của hàm số giao với trục Ox tại ba điểm (1; 0), ($1 - \sqrt 3$; 0),

($1 + \sqrt 3$; 0).

Điểm (0; 2) là điểm cực đại và điểm (2; −2) là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số.

Đồ thị của hàm số đã cho được biểu diễn trên Hình 1. Đồ thị của hàm số có tâm đối xứng là điểm I(1; 0).

1. Tập xác định: D = $\mathbb{R}$.

2. Sự biến thiên:

Chiều biến thiên:

Đạo hàm $y' = - 3{x^2} - 3x - \frac{3}{2}$ . Do y' < 0 trên $\mathbb{R}$ nên hàm số NB trên khoảng (−∞; +∞).

Hàm số đã cho không có cực trị.

Các giới hạn tại vô cực: $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = - \infty$

- Bảng biến thiên

3. Đồ thị:

Đồ thị của hàm số đi qua gốc toạ độ O(0; 0) và điểm (−1; 1).

Đồ thị của hàm số có tâm đối xứng là điểm $I\left( { - \frac{1}{2};\frac{1}{2}} \right)$

a) Xét hàm số ${\rm{y}} = {{\rm{x}}^3} - 3{{\rm{x}}^2} + 2$. Tập xác định của hàm số là ${\rm{D}} = {\rm{R}}$.

Ta có ${{\rm{y}}^\prime } = 3{{\rm{x}}^2} - 6{\rm{x}};{{\rm{y}}^{\prime \prime }} = 6{\rm{x}} - 6$; ${{\rm{y}}^{\prime \prime }} = 0 \Leftrightarrow {\rm{x}} = 1.{\rm{ }}$

Với ${\rm{x}} = 1$, ta có ${\rm{y}}(1) = 0$.

Vậy ${\rm{I}}(1;0)$.

b) Ta có ${{\rm{y}}^\prime } = 0 \Leftrightarrow 3{{\rm{x}}^2} - 6{\rm{x}} = 0 \Leftrightarrow {\rm{x}} = 0$ hoă̆c ${\rm{x}} = 2$.

Bảng biến thiên:

Do đó, hàm số đạt cực đại tại ${\rm{x}} = 0$, giá trị cực đại là ${{\rm{y}}_{{\rm{CD}}}} = 2$; hàm số đạt cực tiếu tại ${\rm{x}} = 2$, giá trị cực tiếu là ${{\rm{y}}_{{\rm{CT}}}} = - 2$.

Hai điềm cực trị của đồ thị hàm số là $(0;2)$ và $(2; - 2)$.

Ta thấy $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{\frac{{0 + 2}}{2} = 1}\\{\frac{{2 + ( - 2)}}{2} = 0}\end{array}} \right.$.

Vâ̂y điếm ${\rm{I}}(1;0)$ là trung điếm của đoạn thắng nối hai điếm cực trị của đồ thị hàm số.