2 bài tập Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y = ax+b/cx+d, (c≠0; ad-bc ≠ 0) (có lời giải)

1. Tập xác định: D = $\mathbb{R}$ \ {–1}.

2. Sự biến thiên:

Chiều biến thiên:

Đạo hàm $y' = \frac{3}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}$ . Vì y' > 0 với mọi x ≠ −1 nên hàm số ĐB trên mỗi khoảng (−∞; −1) và (−1; +∞).

Tiệm cận:

Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = 2$; $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = 2$. Suy ra đường thẳng y = 2 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} y = - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} y = + \infty$; Suy ra đường thẳng x = –1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Bảng biến thiên:

3. Đồ thị

Đồ thị của hàm số giao với trục Ox tại điểm $\left( { - \frac{1}{2};0} \right)$ và giao với trục Oy tại điểm $(0; - 1)$.

Đồ thị của hàm số được biểu diễn như hình bên.

Tâm đối xứng của đồ thị hàm số là điểm $I( - 1;2)$

Các trục đối xứng của đồ thị hàm số là hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận x = -1 và y = 2.

Giả sử hàm số bậc ba cần tìm có dạng ${\rm{y}} = {\rm{f}}({\rm{x}}) = {\rm{a}}{{\rm{x}}^3} + {\rm{b}}{{\rm{x}}^2} + {\rm{cx}} + {\rm{d}}({\rm{a}} \ne 0)$.

Quan sát Hình vẽ , ta thấy đồ thị hàm số đi qua các điềm $(0;5),(1;1)$ và $(3;5)$.

Với ${\rm{x}} = 0$ thì ${\rm{y}} = 5$, thay vào hàm số ta suy ra ${\rm{d}} = 5$.

Khi đó hàm số trở thành ${\rm{y}} = {\rm{f}}({\rm{x}}) = {\rm{a}}{{\rm{x}}^3} + {\rm{b}}{{\rm{x}}^2} + {\rm{cx}} + 5$.

Với ${\rm{x}} = 1$ thì ${\rm{y}} = 1$, thay vào hàm số ${\rm{ta}}$ được ${\rm{a}} + {\rm{b}} + {\rm{c}} + 5 = 1$ (1).

Ta thấy đồ thị hàm số có hai điềm cực trị là $(1;1)$ và $(3;5)$, tức là phương trình ${{\rm{y}}^\prime } = 0$ có hai nghiệm là ${\rm{x}} = 1$ và ${\rm{x}} = 3$.

Ta có ${{\rm{y}}^\prime } = 3{\rm{a}}{{\rm{x}}^2} + 2{\rm{bx}} + {\rm{c}}$.

Với ${\rm{x}} = 1$ thì ${{\rm{y}}^\prime } = 0$ nên ta có $3{\rm{a}} + 2\;{\rm{b}} + {\rm{c}} = 0$ (2).

Với ${\rm{x}} = 3$ thì ${{\rm{y}}^\prime } = 0$ nên ta có $27{\rm{a}} + 6\;{\rm{b}} + {\rm{c}} = 0$ (3).

Từ (1), (2) và (3) ta suy ra ${\rm{a}} = - 1;{\rm{b}} = 6;{\rm{c}} = - 9$.

Vậy hàm số cần tìm là ${\rm{y}} = {\rm{f}}({\rm{x}}) = - {{\rm{x}}^3} + 6{{\rm{x}}^2} - 9{\rm{x}} + 5$.