15 câu Trắc nghiệm Toán 10 chân trời sáng tạo Tích vô hướng của hai vectơ có đáp án

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Tam giác ACD vuông tại D: $\cos \widehat{CAD}=\frac{AD}{AC}$.

Tam giác ABC vuông tại B: $\cos \widehat{CAD}=\frac{AD}{AC}$.

Ta có $\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AC}.(\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB})=\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AB}$.

$=AC.AD.\cos \widehat{CAD}-AC.AB.\cos \widehat{CAB}$

$=AC.AD.\frac{AD}{AC}-AC.AB.\frac{AB}{AC}$

$=A{D}^{2}-A{B}^{2}=1-2=-1$.

Vì ABCD là hình chữ nhật nên ta có CD = AB = $\sqrt{2}$ và AC = BD.

Tam giác ACD vuông tại D: $A{C}^{2}=A{D}^{2}+C{D}^{2}$ (Định lý Pytago)

$\Leftrightarrow A{C}^{2}={1}^{2}+{(\sqrt{2})}^{2}=3$

$\Rightarrow AC=\sqrt{3}$.

Do đó BD = AC = $\sqrt{3}$.

Lại có: $\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BD}=AC.BD.\cos (\overrightarrow{AC},\ \overrightarrow{BD})$

$\Leftrightarrow -1=\sqrt{3}.\sqrt{3}.\cos (\overrightarrow{AC},\ \overrightarrow{BD})$

$\Leftrightarrow \cos (\overrightarrow{AC},\ \overrightarrow{BD})=\frac{-1}{3}$.

$\Rightarrow (\overrightarrow{AC},\ \overrightarrow{BD})\approx 109^{\circ}{28}^{'}$.

Vậy ta chọn đáp án C.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Vẽ $\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{BA}$.

Khi đó ta có $(\overrightarrow{AH},\ \overrightarrow{BA})=(\overrightarrow{AH},\ \overrightarrow{AE})=\widehat{HAE}=α$.

Tam giác ABC đều có AH là đường cao.

Suy ra AH cũng là đường phân giác của tam giác ABC.

Tam giác ABC đều, suy ra $\widehat{BAC}=60^{\circ}$.

Do đó $\widehat{HAB}=\frac{1}{2}\widehat{BAC}=\frac{1}{2}.60^{\circ}=30^{\circ}$.

Ta có: $\widehat{HAE}+\widehat{HAB}=180^{\circ}$ (hai góc kề bù)

$\Leftrightarrow \widehat{HAE}=180^{\circ}-30^{\circ}=150^{\circ}$.

Vậy ta chọn đáp án D.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=|\overrightarrow{a}|.|\overrightarrow{b}|.\cos (\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b})$.

Vì $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ là hai vectơ cùng hướng và đều khác $\overrightarrow{0}$ nên $(\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b})=0^{\circ}$, suy ra $\cos (\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b})=1$.

Ta suy ra $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=|\overrightarrow{a}|.|\overrightarrow{b}|$

Vậy ta chọn đáp án A.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta có $(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}).\overrightarrow{AB}=0\Leftrightarrow (\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}).(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA})=0$

$\Leftrightarrow {\overrightarrow{OB}}^{2}-{\overrightarrow{OA}}^{2}=0$
$\Leftrightarrow O{B}^{2}-O{A}^{2}=0$

⇔ OB = OA.

Do đó tam giác OAB cân tại O.

Vậy ta chọn đáp án B.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Ta có $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=|\overrightarrow{a}|.|\overrightarrow{b}|.\cos (\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b})$

$\Leftrightarrow \cos (\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b})=\frac{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}|.|\overrightarrow{b}|}=\frac{-3}{3.2}=\frac{-1}{2}$

$\Rightarrow (\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b})=120^{\circ}$.

Vậy ta chọn đáp án D.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Đáp án A đúng theo tính chất phân phối của tích vô hướng.

Đáp án B sai. Sửa lại: $\overrightarrow{MP}.\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MN}.\overrightarrow{MP}$.

Đáp án C đúng theo tính chất giao hoán của tích vô hướng.

Đáp án D đúng, ta sử dụng bình phương vô hướng và hằng đẳng thức.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta có 2 + 3 = 5 (cm). Ta suy ra AB + BC = AC.

Do đó ba điểm A, B, C thẳng hàng và điểm B nằm giữa hai điểm A và C.

(A, B, C không thể là ba đỉnh của tam giác vì không thỏa mãn bất đẳng thức tam giác).

Suy ra $\widehat{ACB}=0^{\circ}$. Do đó $(\overrightarrow{CA},\ \overrightarrow{CB})=\widehat{ACB}=0^{\circ}$.

Khi đó $\overrightarrow{CA}.\overrightarrow{CB}=CA.CB.\cos (\overrightarrow{CA},\ \overrightarrow{CB})=3.5.\cos 0^{\circ}=15$.

Vậy ta chọn đáp án B.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Tam giác ABC vuông tại B: AC$^{2}$ = AB$^{2}$ + BC$^{2}$ (Định lý Pytago)

⇔ AC$^{2}$ = a$^{2}$ + a$^{2}$ = 2a$^{2}$

$\Rightarrow AC=a\sqrt{2}$.

Vì ABCD là hình vuông có AC là đường chéo nên $\widehat{ACD}=45^{\circ}$.

Ta có $P=\overrightarrow{AC}.(\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{CA})=-\overrightarrow{CA}.(\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{CA})=-\overrightarrow{CA}.\overrightarrow{CD}-{\overrightarrow{CA}}^{2}$

$=-CA.CD.\cos (\overrightarrow{CA},\ \overrightarrow{CD})-C{A}^{2}=-a\sqrt{2}.a.\cos 45^{\circ}-2{a}^{2}=-3{a}^{2}$.

Vậy ta chọn đáp án C.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có $\overrightarrow{AB},\ \overrightarrow{DC}$ cùng hướng nên $(\overrightarrow{AB},\ \overrightarrow{DC})=0^{\circ}$.

Ta có $\overrightarrow{AD},\ \overrightarrow{CB}$ ngược hướng nên $(\overrightarrow{AD},\ \overrightarrow{CB})=180^{\circ}$.

Vẽ $\overrightarrow{CE}=\overrightarrow{DC}$. Khi đó ta có $(\overrightarrow{CO},\ \overrightarrow{DC})=(\overrightarrow{CO},\ \overrightarrow{CE})=\widehat{OCE}$.

Vì ABCD là hình vuông có OC là đường chéo nên $\widehat{OCB}=45^{\circ}$.

Ta có BC ⊥ CD (ABCD là hình vuông)

Suy ra BC ⊥ CE, do đó $\widehat{BCE}=90^{\circ}$.

Ta có $\widehat{OCE}=\widehat{OCB}+\widehat{BCE}=45^{\circ}+90^{\circ}=135^{\circ}$.

Vậy $(\overrightarrow{AB},\ \overrightarrow{DC})+(\overrightarrow{AD},\ \overrightarrow{CB})+(\overrightarrow{CO},\ \overrightarrow{DC})=0^{\circ}+180^{\circ}+135^{\circ}=315^{\circ}$.

Vậy ta chọn đáp án C.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Ta có $(\overrightarrow{AB},\ \overrightarrow{AC})=\widehat{BAC}=\widehat{A}$.

Tam giác ABC đều nên $\widehat{A}=60^{\circ}$.

Do đó $(\overrightarrow{AB},\ \overrightarrow{AC})=\widehat{A}=60^{\circ}$.

Suy ra $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=AB.AC.\cos (\overrightarrow{AB},\ \overrightarrow{AC})=a.a.\cos 60^{\circ}=\frac{{a}^{2}}{2}$.

Vậy ta chọn đáp án D.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có $P=(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}).\overrightarrow{BC}=(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC})$

$=(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AB})(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB})={\overrightarrow{AC}}^{2}-{\overrightarrow{AB}}^{2}=A{C}^{2}-A{B}^{2}={b}^{2}-{c}^{2}$.

Vậy ta chọn đáp án A.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Vì giả thiết không cho góc nên ta sẽ phân tích các vectơ $\overrightarrow{AB},\ \overrightarrow{BD}$ theo các vectơ vuông góc với nhau.

Vì ABCD là hình chữ nhật nên AB ⊥ BC.

Suy ra $\overrightarrow{AB}\perp \overrightarrow{BC}$.

Do đó $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC}=0$.

Theo quy tắc hình bình hành ta có: $\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}$.

Ta có $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AB}.(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC})=\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC}$

$=-\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AB}+0=-{\overrightarrow{AB}}^{2}=-A{B}^{2}=-64$.

Vậy ta chọn đáp án D.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta có $\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{BC}=0\Leftrightarrow \overrightarrow{MA}\perp \overrightarrow{BC}\Leftrightarrow MA\perp BC$.

Vậy tập hợp các điểm M là đường thẳng đi qua A và vuông góc với BC.

Vậy ta chọn đáp án B.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Vẽ $\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AB}$.

Ta có $(\overrightarrow{AB},\ \overrightarrow{BC})=(\overrightarrow{BD},\ \overrightarrow{BC})=\widehat{CBD}$.

Tam giác ABC vuông cân tại A. Ta suy ra $\widehat{ABC}=45^{\circ}$.

Ta có $\widehat{ABC}+\widehat{CBD}=180^{\circ}$ (hai góc kề bù)

Khi đó ta được $\widehat{CBD}=180^{\circ}-45^{\circ}=135^{\circ}$.

Tam giác ABC vuông cân tại A: BC$^{2}$ = AB$^{2}$ + AC$^{2}$ (Định lý Pytago)

⇔ BC$^{2}$ = 2a$^{2}$

$\Rightarrow BC=a\sqrt{2}$.

Do đó $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC}=AB.BC.\cos (\overrightarrow{AB},\ \overrightarrow{BC})=a.a\sqrt{2}.\cos 135^{\circ}=-{a}^{2}$.

Vậy ta chọn đáp án A.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Gọi I là trung điểm BC. Ta suy ra $\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=2\overrightarrow{MI}$.

Ta có $\overrightarrow{MA}(\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC})=0\Leftrightarrow \overrightarrow{MA}.2\overrightarrow{MI}=0\Leftrightarrow \overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MI}=0\Leftrightarrow \overrightarrow{MA}\perp \overrightarrow{MI}$ (*)

Biểu thức (*) chứng tỏ MA ⊥ MI hay M nhìn đoạn AI dưới một góc vuông.

Do đó tập hợp các điểm M là một đường tròn đường kính AI.

Vậy ta chọn đáp án D.