12 bài tập Một số bài toán liên quan đến phương trình và hệ phương trình bậc nhất hai ẩn có lời giải

Đáp án đúng là: A

Xét hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}2x + 2y = 5\\4x - y = - 2\end{array} \right.$.

Từ phương trình 4x – y = −2 ta có y = 4x + 2.

Thay y = 4x + 2 vào phương trình 2x + 2y = 5 được:

2x + 2(4x + 2) = 5 hay 10x = 1 suy ra x = $\frac{1}{{10}}$.

Với x = $\frac{1}{{10}}$ thì y = $\frac{{12}}{5}$.

Thay giá trị, y vừa tìm được vào phương trình x + (m + 1)y = 1 được

$\frac{1}{{10}}$ + (m + 1). $\frac{{12}}{5}$ = 1 suy ra 1 + 24(m + 1) = 10 suy ra m = $- \frac{5}{8}$.

Đáp án đúng là: A

Để hệ có nghiệm duy nhất khi $\frac{2}{m}$ ≠ $\frac{{ - 1}}{2}$ suy ra m ≠ −4.

Từ phương trình 2x – y = 1 ta có y = 2x – 1.

Thay y = 2x – 1 vào phương trình mx + 2y = 2 suy ra mx + 2(2x – 1) = 2.

Suy ra (m + 4)x = 4 hay x = $\frac{4}{{m + 4}}$.

Với x = $\frac{4}{{m + 4}}$ suy ra y = $\frac{{4 - m}}{{m + 4}}$.

Theo đề, ta có: 2x – 3y = 1

Suy ra $\frac{8}{{m + 4}}$ − $\frac{{3\left( {4 - m} \right)}}{{m + 4}}$ = 1 suy ra 8 – 12 + 3m = m + 4 hay 2m = 8 hay m = 4 (thỏa mãn).

Vậy m = 4 thỏa mãn.

Đáp án đúng là: C

Để phương trình có nghiệm duy nhất khi $\frac{1}{m}$ ≠ $\frac{m}{{ - 1}}$ hay m$^{2}$ ≠ −1 , đúng với mọi m.

Ta có x = 1 – my.

Thay x = 1 – my vào phương trình mx – y = −m được m(1 – my) – y = −m

Suy ra m – m$^{2}$y – y = −m, do đó y = $\frac{{2m}}{{{m^2} + 1}}$.

Với y = $\frac{{2m}}{{{m^2} + 1}}$ thì x = $\frac{{1 - {m^2}}}{{{m^2} + 1}}$.

Theo đề, ta có: x = y + 1

Suy ra $\frac{{1 - {m^2}}}{{{m^2} + 1}}$ = $\frac{{2m}}{{{m^2} + 1}}$ + 1 hay $\frac{{1 - {m^2}}}{{{m^2} + 1}}$ = $\frac{{2m + {m^2} + 1}}{{{m^2} + 1}}$

Do đó, 1 – m$^{2}$ = m$^{2}$ + 2m + 1 hay 2m$^{2}$ + 2m = 0 hay 2m(m + 2) = 0.

Suy ra m = 0 hoặc m = 1 (thỏa mãn).

Vậy m = 0 hoặc m = 1.

Đáp án đúng là: A

Để phương trình có nghiệm duy nhất khi $\frac{1}{m}$ ≠ $\frac{m}{{ - 1}}$ hay m$^{2}$ ≠ −1 , đúng với mọi m.

Ta có x = 1 – my.

Thay x = 1 – my vào phương trình mx – y = −m được m(1 – my) – y = −m

Suy ra m – m$^{2}$y – y = −m, do đó y = $\frac{{2m}}{{{m^2} + 1}}$.

Với y = $\frac{{2m}}{{{m^2} + 1}}$ thì x = $\frac{{1 - {m^2}}}{{{m^2} + 1}}$.

Để hệ phương trình có nghiệm thỏa mãn $\left\{ \begin{array}{l}x < 0\\y > 0\end{array} \right.$ thì $\left\{ \begin{array}{l}\frac{{1 - {m^2}}}{{{m^2} + 1}} < 0\\\frac{{2m}}{{{m^2} + 1}} > 0\end{array} \right.$

Suy ra $\left\{ \begin{array}{l}1 - {m^2} < 0\\2m > 0\end{array} \right.$ do đó $\left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m < - 1\\m > 1\end{array} \right.\\m > 0\end{array} \right.$ nên m > 1

Đáp án đúng là: A

Để phương trình có nghiệm duy nhất thì $\frac{1}{2} \ne \frac{2}{{ - m}}$ suy ra m ≠ −4.

Thế x = 1 – 2y vào phương trình 2x – my = −4 được 2(1 – 2y) – my = −4.

Suy ra y = $\frac{{ - 2}}{{m + 4}}$.

Với y = $\frac{{ - 2}}{{m + 4}}$ thì x = 1 – 2.$\frac{{ - 2}}{{m + 4}}$ = $\frac{{m + 8}}{{m + 4}}$.

Theo đề, có: x – 1 > 0 nên $\frac{{m + 8}}{{m + 4}}$ −1 > 0 hay $\frac{4}{{m + 4}} > 0$ suy ra m + 4 > 0 hay m > −4.

Vậy m > −4.