12 bài tập Một số bài toán liên quan đến phương trình và hệ phương trình bậc nhất hai ẩn có lời giải

Đáp án đúng là: A

Xét hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}2x + 2y = 5\\4x - y = - 2\end{array} \right.$.

Từ phương trình 4x – y = −2 ta có y = 4x + 2.

Thay y = 4x + 2 vào phương trình 2x + 2y = 5 được:

2x + 2(4x + 2) = 5 hay 10x = 1 suy ra x = $\frac{1}{{10}}$.

Với x = $\frac{1}{{10}}$ thì y = $\frac{{12}}{5}$.

Thay giá trị, y vừa tìm được vào phương trình x + (m + 1)y = 1 được

$\frac{1}{{10}}$ + (m + 1). $\frac{{12}}{5}$ = 1 suy ra 1 + 24(m + 1) = 10 suy ra m = $- \frac{5}{8}$.

Đáp án đúng là: A

Để hệ có nghiệm duy nhất khi $\frac{2}{m}$ ≠ $\frac{{ - 1}}{2}$ suy ra m ≠ −4.

Từ phương trình 2x – y = 1 ta có y = 2x – 1.

Thay y = 2x – 1 vào phương trình mx + 2y = 2 suy ra mx + 2(2x – 1) = 2.

Suy ra (m + 4)x = 4 hay x = $\frac{4}{{m + 4}}$.

Với x = $\frac{4}{{m + 4}}$ suy ra y = $\frac{{4 - m}}{{m + 4}}$.

Theo đề, ta có: 2x – 3y = 1

Suy ra $\frac{8}{{m + 4}}$ − $\frac{{3\left( {4 - m} \right)}}{{m + 4}}$ = 1 suy ra 8 – 12 + 3m = m + 4 hay 2m = 8 hay m = 4 (thỏa mãn).

Vậy m = 4 thỏa mãn.

Đáp án đúng là: C

Để phương trình có nghiệm duy nhất khi $\frac{1}{m}$ ≠ $\frac{m}{{ - 1}}$ hay m$^{2}$ ≠ −1 , đúng với mọi m.

Ta có x = 1 – my.

Thay x = 1 – my vào phương trình mx – y = −m được m(1 – my) – y = −m

Suy ra m – m$^{2}$y – y = −m, do đó y = $\frac{{2m}}{{{m^2} + 1}}$.

Với y = $\frac{{2m}}{{{m^2} + 1}}$ thì x = $\frac{{1 - {m^2}}}{{{m^2} + 1}}$.

Theo đề, ta có: x = y + 1

Suy ra $\frac{{1 - {m^2}}}{{{m^2} + 1}}$ = $\frac{{2m}}{{{m^2} + 1}}$ + 1 hay $\frac{{1 - {m^2}}}{{{m^2} + 1}}$ = $\frac{{2m + {m^2} + 1}}{{{m^2} + 1}}$

Do đó, 1 – m$^{2}$ = m$^{2}$ + 2m + 1 hay 2m$^{2}$ + 2m = 0 hay 2m(m + 2) = 0.

Suy ra m = 0 hoặc m = 1 (thỏa mãn).

Vậy m = 0 hoặc m = 1.

Đáp án đúng là: A

Để phương trình có nghiệm duy nhất khi $\frac{1}{m}$ ≠ $\frac{m}{{ - 1}}$ hay m$^{2}$ ≠ −1 , đúng với mọi m.

Ta có x = 1 – my.

Thay x = 1 – my vào phương trình mx – y = −m được m(1 – my) – y = −m

Suy ra m – m$^{2}$y – y = −m, do đó y = $\frac{{2m}}{{{m^2} + 1}}$.

Với y = $\frac{{2m}}{{{m^2} + 1}}$ thì x = $\frac{{1 - {m^2}}}{{{m^2} + 1}}$.

Để hệ phương trình có nghiệm thỏa mãn $\left\{ \begin{array}{l}x < 0\\y > 0\end{array} \right.$ thì $\left\{ \begin{array}{l}\frac{{1 - {m^2}}}{{{m^2} + 1}} < 0\\\frac{{2m}}{{{m^2} + 1}} > 0\end{array} \right.$

Suy ra $\left\{ \begin{array}{l}1 - {m^2} < 0\\2m > 0\end{array} \right.$ do đó $\left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m < - 1\\m > 1\end{array} \right.\\m > 0\end{array} \right.$ nên m > 1

Đáp án đúng là: A

Để phương trình có nghiệm duy nhất thì $\frac{1}{2} \ne \frac{2}{{ - m}}$ suy ra m ≠ −4.

Thế x = 1 – 2y vào phương trình 2x – my = −4 được 2(1 – 2y) – my = −4.

Suy ra y = $\frac{{ - 2}}{{m + 4}}$.

Với y = $\frac{{ - 2}}{{m + 4}}$ thì x = 1 – 2.$\frac{{ - 2}}{{m + 4}}$ = $\frac{{m + 8}}{{m + 4}}$.

Theo đề, có: x – 1 > 0 nên $\frac{{m + 8}}{{m + 4}}$ −1 > 0 hay $\frac{4}{{m + 4}} > 0$ suy ra m + 4 > 0 hay m > −4.

Vậy m > −4.

Đáp án đúng là: C

Để phương trình có nghiệm duy nhất thì $\frac{1}{2} \ne \frac{2}{{ - m}}$ suy ra m ≠ −4.

Thế x = 1 – 2y vào phương trình 2x – my = −4 được 2(1 – 2y) – my = −4.

Suy ra y = $\frac{{ - 2}}{{m + 4}}$.

Với y = $\frac{{ - 2}}{{m + 4}}$ thì x = 1 – 2.$\frac{{ - 2}}{{m + 4}}$ = $\frac{{m + 8}}{{m + 4}}$.

Có x + y = $\frac{{{m^2} + 6}}{{m + 4}}$ nên $\frac{{ - 2}}{{m + 4}}$ + $\frac{{m + 8}}{{m + 4}}$ = $\frac{{{m^2} + 6}}{{m + 4}}$ suy ra m + 6 = m$^{2}$ + 6

hay m$^{2}$ – m = 0 hay m(m – 1) = 0.

Suy ra m = 0 hoặc m = 1 (thỏa mãn).

Vậy với m = 0 hoặc m = 1 thì thảo mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án đúng là: A

Để hệ có nghiệm duy nhất thì $\frac{m}{4} \ne \frac{{ - 1}}{{ - m}}$ suy ra m$^{2}$ ≠ −4 do đó m ≠ 2 và m ≠ −2.

Ta có y = mx – 2m.

Thế y = mx − 2m vào phương trình 4x – my = m + 6, ta được:

4x – m(mx – 2m) = m + 6

4x − m$^{2}$x + 2m$^{2}$ = m + 6

(m$^{2}$ – 4)x = 2m$^{2}$ – m – 6

(m – 2)(m + 2)x = (m – 2)(2m + 3)

(m + 2)x = 2m + 3

Suy ra x = $\frac{{2m + 3}}{{m + 2}}$.

Thế x = $\frac{{2m + 3}}{{m + 2}}$ suy ra y = m.$\frac{{2m + 3}}{{m + 2}}$ − 2m = $\frac{{ - m}}{{m + 2}}$.

Để 3x – y = 5 thì $\frac{{3\left( {2m + 3} \right)}}{{m + 2}} + \frac{m}{{m + 2}} = 5$

Suy ra 7m + 9 = 5m + 10 hay m = $\frac{1}{2}$ (thỏa mãn).

Vậy m = $\frac{1}{2}$.

Đáp án đúng là: D

Vì $\frac{1}{1} \ne \frac{1}{{ - 1}}$ nên hệ có nghiệm duy nhất.

Thế x = 2 + 2y vào phương trình x + y = 3m – 1 được 3y = 3m – 3 hay y = m – 1.

Với y = m – 1 thì x = 2m.

Ta có: x$^{2}$ – 2y$^{2}$ = −2 nên 4m$^{2}$ – 2(m – 1)$^{2}$ = −2

Do đó 4m$^{2}$ – 2m$^{2}$ + 4m – 2 = −2 suy ra 2m$^{2}$ + 4m = 0 hay 2m(m + 2) = 0

Do đó m = 0 hoặc m = −2 (thỏa mãn).

Vậy m = 0 hoặc m = −2 thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án đúng là: A

Vì $\frac{3}{1} \ne \frac{1}{1}$ nên hệ phương trình có nghiệm duy nhất.

Ta có: x = 5 – y.

Thế x = 5 – y vào phương trình 3x + y = 2m + 9 được 15 – 3y + y = 2m + 9

Suy ra y = 3 – m.

Với y = 3 – m suy ra x = 2 + m.

Theo đề, A = xy + x – 1

= (3 – m)(2 + m) + 2 + m – 1

= −m$^{2}$+ 2m + 7

= −(m – 1)$^{2}$ + 8 ≤ 8.

Vậy GTLN của A = 8 khi m – 1 = 0 hay m = 1.

Đáp án đúng là: C

Vì $\frac{2}{1} \ne \frac{{ - 3}}{2}$ nên hệ có nghiệm duy nhất.

Thay x = 3m + 1 – 2y vào phương trình 2x – 3y = 2 – m ta được:

6m + 2 – 4y – 3y = 2 – m

−7y = −7m suy ra y = m.

Thế y = m vào x = 3m + 1 – 2y được x = m + 1.

Ta có: T = $\frac{y}{x}$ = $\frac{m}{{m + 1}} = 1 - \frac{1}{{m + 1}}$.

Để T nguyên thì (m + 1) là ước của 1.

Do đó, m + 1 = 1 hoặc m + 1 = −1.

Suy ra m = 0 hoặc m = −2.

Vậy với m = 0 hoặc m = −2 thì T nguyên.

a) Với m = 1, hệ phương trình (I) có dạng: $\left\{ \begin{array}{l}x + 2y = 4\\2x - 3y = 1\end{array} \right.$, suy ra $\left\{ \begin{array}{l}2x + 4y = 8\\2x - 3y = 1\end{array} \right.$.

Thực hiện trừ theo vế hai phương trình của hê, ta được: 7y = 7 khi y = 1.

Thay y = 1 vào phương trình x + 2y = 4 được x = 2.

Vậy khi m = 1 thì hệ phương trình có nghiệm là (2; 1).

b) Ta có hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}x + 2y = m + 3\\2x - 3y = m\end{array} \right.$, suy ra $\left\{ \begin{array}{l}2x + 4y = 2m + 6\\2x - 3y = m\end{array} \right.$.

Thực hiện trừ theo vế hai phương trình của hệ, ta được:7y = m + 6 suy ra y = $\frac{{m + 6}}{7}$.

Thay y = $\frac{{m + 6}}{7}$ vào phương trình x + y = m + 3, ta được: x + $\frac{{m + 6}}{7}$ = m + 3, suy ra x = $\frac{{5m + 9}}{7}$.

Lại có, x + y = −3 do đó, $\frac{{m + 6}}{7}$ + $\frac{{5m + 9}}{7}$ = −3 hay $\frac{{6m + 15}}{7}$ = −3.

Suy ra 6m + 15 = −21, do đó m = −6.

Vậy với m = −6 thì hệ phương trình (I) có nghiệm duy nhất (x; y) thỏa mãn

x + y = −3.

a) Khi m = 2 thì hệ phương trình là: $\left\{ \begin{array}{l}x + y = 2\\2x + y = 3\end{array} \right.$.

Từ x + y = 2 ta có x = 2 – y.

Thế x = 2 – y vào phương trình 2x + y = 3 ta được 2(2 – y) + y = 3 hay 4 – y = 3, suy ra y = 1.

Với y = 1 thì x = 1.

Vậy hệ phương trình có cặp nghiệp (1; 1) khi m = 2.

b) Có $\left\{ \begin{array}{l}\left( {m - 1} \right)x + y = 2\\mx + y = m + 1\end{array} \right.$

Từ phương trình (m – 1)x + y = 2 suy ra y = 2 – (m – 1)x

Thay y = 2 – (m – 1)x vào phương trình mx + y = m + 1, ta được:

mx + 2 – (m – 1)x = m + 1 hay 2 + x = m + 1 suy ra x = m – 1.

Thay x = m – 1 vào y = 2 – (m – 1)x được y = 2 – (m – 1)$^{2}$.

Vậy hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất (x; y) = (m – 1; 2 – (m – 1)$^{2}$).

Có 2x + y = 2(m – 1) + 2 – (m – 1)$^{2}$ = −m$^{2}$ + 4m – 1 = 3 – (m – 2)$^{2}$ ≤ 3 với mọi m.

Vậy với mọi giá trị của m thì hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất (x; y) thỏa mãn: 2x + y ≤ 3.