10 câu Trắc nghiệm Toán 10 chân trời sáng tạo Bài tập ôn tập chương 4 có đáp án (Vận dụng)

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Vì tanα = –3 nên $\frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = - 3$ do đó cosα ≠ 0.

Ta có $H = \frac{{6\sin \alpha - 7\cos \alpha }}{{6\cos \alpha + 7\sin \alpha }}$

$= \frac{{6.\frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} - 7.\frac{{\cos \alpha }}{{\cos \alpha }}}}{{6.\frac{{\cos \alpha }}{{\cos \alpha }} + 7.\frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}}}$ (vì cosα ≠ 0)

$= \frac{{6.\tan \alpha - 7}}{{6 + 7.\tan \alpha }}$

$= \frac{{6.\left( { - 3} \right) - 7}}{{6 + 7.\left( { - 3} \right)}} = \frac{5}{3}$.

Vậy ta chọn phương án D.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta có sinα – cosα = $\frac{1}{{\sqrt 5 }}$.

$\Rightarrow {\left( {\sin \alpha - \cos \alpha } \right)^2} = {\left( {\frac{1}{{\sqrt 5 }}} \right)^2}$

$\Rightarrow {\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha - 2\sin \alpha \cos \alpha = \frac{1}{5}$

$\Rightarrow 1 - 2\sin \alpha \cos \alpha = \frac{1}{5}$ (Vì sin$^{2}$α + cos$^{2}$α = 1, áp dụng Bài tập 5a, trang 65, Sách giáo khoa Toán 10, Tập một)

$\Rightarrow 2\sin \alpha \cos \alpha = \frac{4}{5}$

$\Rightarrow \sin \alpha \cos \alpha = \frac{2}{5}$

$\Rightarrow {\sin ^2}\alpha {\cos ^2}\alpha = \frac{4}{{25}}$

Ta có $E = \sqrt {{{\sin }^4}\alpha + {{\cos }^4}\alpha }$

$= \sqrt {{{\left( {{{\sin }^2}\alpha } \right)}^2} + {{\left( {{{\cos }^2}\alpha } \right)}^2}}$

$= \sqrt {{{\left( {{{\sin }^2}\alpha } \right)}^2} + 2{{\sin }^2}\alpha {{\cos }^2}\alpha + {{\left( {{{\cos }^2}\alpha } \right)}^2} - 2{{\sin }^2}\alpha {{\cos }^2}\alpha }$

$= \sqrt {{{\left( {{{\sin }^2}\alpha + {{\cos }^2}\alpha } \right)}^2} - 2{{\sin }^2}\alpha {{\cos }^2}\alpha }$

$= \sqrt {{1^2} - 2.\frac{4}{{25}}} = \frac{{\sqrt {17} }}{5}$

Vậy ta chọn phương án B.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Ta có $2\cos \alpha + \sqrt 2 \sin \alpha = 2$

$$\Leftrightarrow \sqrt 2 \sin \alpha = 2 - 2\cos \alpha$$

⇒ 2sin$^{2}$α = (2 – 2cosα)$^{2}$

⇔ 2(1 – cos$^{2}$α) = 4 – 8cosα + 4cos$^{2}$α

⇔ 6cos$^{2}$α – 8cosα + 2 = 0 (1)

Đặt t = cosα.

Vì 0° < α < 90° nên 0 < t < 1.

Phương trình (1) tương đương với: 6t$^{2}$ – 8t + 2 = 0

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1\\t = \frac{1}{3}\end{array} \right.$

Vì 0 < t < 1 nên ta nhận $t = \frac{1}{3}$.

Với $t = \frac{1}{3}$, ta có $\cos \alpha = \frac{1}{3}$.

Suy ra ${\cos ^2}\alpha = \frac{1}{9}$

Áp dụng Bài tập 5a, trang 65, Sách giáo khoa Toán 10, Tập một, ta có:

sin$^{2}$α + cos$^{2}$α = 1

$\Leftrightarrow {\sin ^2}\alpha = 1 - {\cos ^2}\alpha = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$.

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin \alpha = \frac{{2\sqrt 2 }}{3}\\\sin \alpha = - \frac{{2\sqrt 2 }}{3}\end{array} \right.$

Vì 0° < α < 90° nên α là góc nhọn.

Do đó sinα > 0.

Vì vậy ta nhận $\sin \alpha = \frac{{2\sqrt 2 }}{3}$.

Ta có $\cot \alpha = \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }} = \frac{1}{3}:\frac{{2\sqrt 2 }}{3} = \frac{1}{3}.\frac{3}{{2\sqrt 2 }} = \frac{1}{{2\sqrt 2 }} = \frac{{\sqrt 2 }}{4}$.

Vậy ta chọn phương án D.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

⦁ Ta xét khẳng định (I):

Áp dụng định lí côsin cho ∆ABC ta có:

b$^{2}$ – c$^{2}$ = c$^{2}$ + a$^{2}$ – 2ca.cosB – (a$^{2}$ + b$^{2}$ – 2ab.cosC)

= c$^{2}$ + a$^{2}$ – 2ca.cosB – a$^{2}$ – b$^{2}$ + 2ab.cosC

= c$^{2}$ – b$^{2}$ + 2a(b.cosC – c.cosB)

Þ b$^{2}$ – c$^{2}$ = c$^{2}$ – b$^{2}$ + 2a(b.cosC – c.cosB)

Þ 2(b$^{2}$ – c$^{2}$) = 2a(b.cosC – c.cosB)

Þ b$^{2}$ – c$^{2}$ = a(b.cosC – c.cosB).

Do đó khẳng định (I) đúng.

⦁ Ta xét khẳng định (II):

Áp dụng hệ quả định lí sin cho ∆ABC ta có:

(b + c)sinA = $\left( {2R.\sin B + 2R.\sin C} \right).\frac{a}{{2R}}$

$$= \left( {\sin B + \sin C} \right).\frac{{2R.a}}{{2R}}$$

= a(sinB + sinC).

Vì vậy khẳng định (II) đúng.

⦁ Ta xét khẳng định (III):

Áp dụng hệ quả định lí sin cho ∆ABC ta có:

2R.sinB.sinC = $2R.\frac{b}{{2R}}.\frac{c}{{2R}}$

$= \frac{{bc}}{{2R}} = \frac{{abc}}{{4R}}.\frac{2}{a}$

$= \frac{{2S}}{a} = {h_a}$.

Vì vậy khẳng định (III) đúng.

⦁ Ta xét khẳng định (IV):

Áp dụng hệ quả định lí sin cho ∆ABC ta có:

R.r.(sinA + sinB + sin C) = $R.r.\left( {\frac{a}{{2R}} + \frac{b}{{2R}} + \frac{c}{{2R}}} \right)$

$$= R.r.\frac{1}{R}\left( {\frac{a}{2} + \frac{b}{2} + \frac{c}{2}} \right)$$

$= r.\frac{{a + b + c}}{2} = r.p = S$.

Vì vậy khẳng định (IV) đúng.

Vậy có 4 khẳng định đúng, ta chọn phương án D.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

• Theo hệ quả của định lí côsin, ta có:

$\cos B = \frac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{2ac}}$ và $\cos C = \frac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{2ab}}$.

• Theo hệ quả định lí sin, ta có:

$\sin A = \frac{a}{{2R}};\,\,\sin B = \frac{b}{{2R}};\,\,\sin C = \frac{c}{{2R}}$.

• Ta có $\sin A = \frac{{\sin B + \sin C}}{{\cos B + \cos C}}$

⇔ sinA(cosB + cosC) = sinB + sinC

$\Leftrightarrow \frac{a}{{2R}}.\left( {\frac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{2ac}} + \frac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{2ab}}} \right) = \frac{b}{{2R}} + \frac{c}{{2R}}$

$\Leftrightarrow \frac{a}{{2R}}.\frac{1}{{2a}}\left( {\frac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{c} + \frac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{b}} \right) = \frac{{b + c}}{{2R}}$

$\Leftrightarrow \frac{1}{2}\left( {\frac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{c} + \frac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{b}} \right) = b + c$

$\Leftrightarrow \frac{{b\left( {{a^2} + {c^2} - {b^2}} \right) + c\left( {{a^2} + {b^2} - {c^2}} \right)}}{{bc}} = 2\left( {b + c} \right)$

⇔ a$^{2}$b + bc$^{2}$ – b$^{3}$ + a$^{2}$c + b$^{2}$c – c$^{3}$ = 2b$^{2}$c + 2bc$^{2}$

⇔ b$^{3}$ + c$^{3}$ – (a$^{2}$b + a$^{2}$c) + (b$^{2}$c + bc$^{2}$) = 0

⇔ (b + c)(b$^{2}$ – bc + c$^{2}$) – a$^{2}$(b + c) + bc(b + c) = 0

⇔ (b + c)(b$^{2}$ – bc + c$^{2}$ – a$^{2}$ + bc) = 0

⇔ (b + c)(b$^{2}$ + c$^{2}$ – a$^{2}$) = 0

⇔ b + c = 0 (vô lí vì b, c > 0) hoặc b$^{2}$ + c$^{2}$ = a$^{2}$

⇔ AC$^{2}$ + AB$^{2}$ = BC$^{2}$

Áp dụng định lí Pytago đảo, ta được ∆ABC vuông tại A.

Vậy ta chọn phương án A.