10 câu Trắc nghiệm Toán 10 chân trời sáng tạo Bài tập ôn tập chương 4 có đáp án (Vận dụng)

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Vì tanα = –3 nên $\frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = - 3$ do đó cosα ≠ 0.

Ta có $H = \frac{{6\sin \alpha - 7\cos \alpha }}{{6\cos \alpha + 7\sin \alpha }}$

$= \frac{{6.\frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} - 7.\frac{{\cos \alpha }}{{\cos \alpha }}}}{{6.\frac{{\cos \alpha }}{{\cos \alpha }} + 7.\frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}}}$ (vì cosα ≠ 0)

$= \frac{{6.\tan \alpha - 7}}{{6 + 7.\tan \alpha }}$

$= \frac{{6.\left( { - 3} \right) - 7}}{{6 + 7.\left( { - 3} \right)}} = \frac{5}{3}$.

Vậy ta chọn phương án D.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta có sinα – cosα = $\frac{1}{{\sqrt 5 }}$.

$\Rightarrow {\left( {\sin \alpha - \cos \alpha } \right)^2} = {\left( {\frac{1}{{\sqrt 5 }}} \right)^2}$

$\Rightarrow {\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha - 2\sin \alpha \cos \alpha = \frac{1}{5}$

$\Rightarrow 1 - 2\sin \alpha \cos \alpha = \frac{1}{5}$ (Vì sin$^{2}$α + cos$^{2}$α = 1, áp dụng Bài tập 5a, trang 65, Sách giáo khoa Toán 10, Tập một)

$\Rightarrow 2\sin \alpha \cos \alpha = \frac{4}{5}$

$\Rightarrow \sin \alpha \cos \alpha = \frac{2}{5}$

$\Rightarrow {\sin ^2}\alpha {\cos ^2}\alpha = \frac{4}{{25}}$

Ta có $E = \sqrt {{{\sin }^4}\alpha + {{\cos }^4}\alpha }$

$= \sqrt {{{\left( {{{\sin }^2}\alpha } \right)}^2} + {{\left( {{{\cos }^2}\alpha } \right)}^2}}$

$= \sqrt {{{\left( {{{\sin }^2}\alpha } \right)}^2} + 2{{\sin }^2}\alpha {{\cos }^2}\alpha + {{\left( {{{\cos }^2}\alpha } \right)}^2} - 2{{\sin }^2}\alpha {{\cos }^2}\alpha }$

$= \sqrt {{{\left( {{{\sin }^2}\alpha + {{\cos }^2}\alpha } \right)}^2} - 2{{\sin }^2}\alpha {{\cos }^2}\alpha }$

$= \sqrt {{1^2} - 2.\frac{4}{{25}}} = \frac{{\sqrt {17} }}{5}$

Vậy ta chọn phương án B.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Ta có $2\cos \alpha + \sqrt 2 \sin \alpha = 2$

$$\Leftrightarrow \sqrt 2 \sin \alpha = 2 - 2\cos \alpha$$

⇒ 2sin$^{2}$α = (2 – 2cosα)$^{2}$

⇔ 2(1 – cos$^{2}$α) = 4 – 8cosα + 4cos$^{2}$α

⇔ 6cos$^{2}$α – 8cosα + 2 = 0 (1)

Đặt t = cosα.

Vì 0° < α < 90° nên 0 < t < 1.

Phương trình (1) tương đương với: 6t$^{2}$ – 8t + 2 = 0

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1\\t = \frac{1}{3}\end{array} \right.$

Vì 0 < t < 1 nên ta nhận $t = \frac{1}{3}$.

Với $t = \frac{1}{3}$, ta có $\cos \alpha = \frac{1}{3}$.

Suy ra ${\cos ^2}\alpha = \frac{1}{9}$

Áp dụng Bài tập 5a, trang 65, Sách giáo khoa Toán 10, Tập một, ta có:

sin$^{2}$α + cos$^{2}$α = 1

$\Leftrightarrow {\sin ^2}\alpha = 1 - {\cos ^2}\alpha = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$.

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin \alpha = \frac{{2\sqrt 2 }}{3}\\\sin \alpha = - \frac{{2\sqrt 2 }}{3}\end{array} \right.$

Vì 0° < α < 90° nên α là góc nhọn.

Do đó sinα > 0.

Vì vậy ta nhận $\sin \alpha = \frac{{2\sqrt 2 }}{3}$.

Ta có $\cot \alpha = \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }} = \frac{1}{3}:\frac{{2\sqrt 2 }}{3} = \frac{1}{3}.\frac{3}{{2\sqrt 2 }} = \frac{1}{{2\sqrt 2 }} = \frac{{\sqrt 2 }}{4}$.

Vậy ta chọn phương án D.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

⦁ Ta xét khẳng định (I):

Áp dụng định lí côsin cho ∆ABC ta có:

b$^{2}$ – c$^{2}$ = c$^{2}$ + a$^{2}$ – 2ca.cosB – (a$^{2}$ + b$^{2}$ – 2ab.cosC)

= c$^{2}$ + a$^{2}$ – 2ca.cosB – a$^{2}$ – b$^{2}$ + 2ab.cosC

= c$^{2}$ – b$^{2}$ + 2a(b.cosC – c.cosB)

Þ b$^{2}$ – c$^{2}$ = c$^{2}$ – b$^{2}$ + 2a(b.cosC – c.cosB)

Þ 2(b$^{2}$ – c$^{2}$) = 2a(b.cosC – c.cosB)

Þ b$^{2}$ – c$^{2}$ = a(b.cosC – c.cosB).

Do đó khẳng định (I) đúng.

⦁ Ta xét khẳng định (II):

Áp dụng hệ quả định lí sin cho ∆ABC ta có:

(b + c)sinA = $\left( {2R.\sin B + 2R.\sin C} \right).\frac{a}{{2R}}$

$$= \left( {\sin B + \sin C} \right).\frac{{2R.a}}{{2R}}$$

= a(sinB + sinC).

Vì vậy khẳng định (II) đúng.

⦁ Ta xét khẳng định (III):

Áp dụng hệ quả định lí sin cho ∆ABC ta có:

2R.sinB.sinC = $2R.\frac{b}{{2R}}.\frac{c}{{2R}}$

$= \frac{{bc}}{{2R}} = \frac{{abc}}{{4R}}.\frac{2}{a}$

$= \frac{{2S}}{a} = {h_a}$.

Vì vậy khẳng định (III) đúng.

⦁ Ta xét khẳng định (IV):

Áp dụng hệ quả định lí sin cho ∆ABC ta có:

R.r.(sinA + sinB + sin C) = $R.r.\left( {\frac{a}{{2R}} + \frac{b}{{2R}} + \frac{c}{{2R}}} \right)$

$$= R.r.\frac{1}{R}\left( {\frac{a}{2} + \frac{b}{2} + \frac{c}{2}} \right)$$

$= r.\frac{{a + b + c}}{2} = r.p = S$.

Vì vậy khẳng định (IV) đúng.

Vậy có 4 khẳng định đúng, ta chọn phương án D.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

• Theo hệ quả của định lí côsin, ta có:

$\cos B = \frac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{2ac}}$ và $\cos C = \frac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{2ab}}$.

• Theo hệ quả định lí sin, ta có:

$\sin A = \frac{a}{{2R}};\,\,\sin B = \frac{b}{{2R}};\,\,\sin C = \frac{c}{{2R}}$.

• Ta có $\sin A = \frac{{\sin B + \sin C}}{{\cos B + \cos C}}$

⇔ sinA(cosB + cosC) = sinB + sinC

$\Leftrightarrow \frac{a}{{2R}}.\left( {\frac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{2ac}} + \frac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{2ab}}} \right) = \frac{b}{{2R}} + \frac{c}{{2R}}$

$\Leftrightarrow \frac{a}{{2R}}.\frac{1}{{2a}}\left( {\frac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{c} + \frac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{b}} \right) = \frac{{b + c}}{{2R}}$

$\Leftrightarrow \frac{1}{2}\left( {\frac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{c} + \frac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{b}} \right) = b + c$

$\Leftrightarrow \frac{{b\left( {{a^2} + {c^2} - {b^2}} \right) + c\left( {{a^2} + {b^2} - {c^2}} \right)}}{{bc}} = 2\left( {b + c} \right)$

⇔ a$^{2}$b + bc$^{2}$ – b$^{3}$ + a$^{2}$c + b$^{2}$c – c$^{3}$ = 2b$^{2}$c + 2bc$^{2}$

⇔ b$^{3}$ + c$^{3}$ – (a$^{2}$b + a$^{2}$c) + (b$^{2}$c + bc$^{2}$) = 0

⇔ (b + c)(b$^{2}$ – bc + c$^{2}$) – a$^{2}$(b + c) + bc(b + c) = 0

⇔ (b + c)(b$^{2}$ – bc + c$^{2}$ – a$^{2}$ + bc) = 0

⇔ (b + c)(b$^{2}$ + c$^{2}$ – a$^{2}$) = 0

⇔ b + c = 0 (vô lí vì b, c > 0) hoặc b$^{2}$ + c$^{2}$ = a$^{2}$

⇔ AC$^{2}$ + AB$^{2}$ = BC$^{2}$

Áp dụng định lí Pytago đảo, ta được ∆ABC vuông tại A.

Vậy ta chọn phương án A.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Diện tích ∆ABC là: $S = \frac{1}{2}a.{h_a} = \frac{1}{2}b.{h_b} = \frac{1}{2}c.{h_c}$.

Suy ra ${h_a} = \frac{{2S}}{a};\,\,{h_b} = \frac{{2S}}{b};\,\,{h_c} = \frac{{2S}}{c}$.

Diện tích ∆ABC là:

$S = \frac{1}{2}bc.\sin A = \frac{1}{2}ac.\sin B = \frac{1}{2}ab.\sin C$.

Suy ra $\sin A = \frac{{2S}}{{bc}};\,\,\sin B = \frac{{2S}}{{ac}};\,\,\sin C = \frac{{2S}}{{ab}}$.

Ta có a.sinA + b.sinB + c.sinC = h$_{a}$ + h$_{b}$ + h$_{c}$

$\Leftrightarrow a.\frac{{2S}}{{bc}} + b.\frac{{2S}}{{ac}} + c.\frac{{2S}}{{ab}} = \frac{{2S}}{a} + \frac{{2S}}{b} + \frac{{2S}}{c}$

$\Leftrightarrow 2S.\left( {\frac{a}{{bc}} + \frac{b}{{ac}} + \frac{c}{{ab}}} \right) = 2S.\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \right)$

$\Leftrightarrow \frac{a}{{bc}} + \frac{b}{{ac}} + \frac{c}{{ab}} = \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}$

$\Leftrightarrow \frac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{{abc}} = \frac{{bc + ac + ab}}{{abc}}$

⇔ a$^{2}$ + b$^{2}$ + c$^{2}$ = bc + ac + ab

⇔ 2a$^{2}$ + 2b$^{2}$ + 2c$^{2}$ = 2bc + 2ac + 2ab

⇔ (a$^{2}$ – 2ab + b$^{2}$) + (a$^{2}$ – 2ac + c$^{2}$) + (b$^{2}$ – 2bc + c$^{2}$) = 0

⇔ (a – b)$^{2}$ + (a – c)$^{2}$ + (b – c)$^{2}$ = 0

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a - b = 0\\a - c = 0\\b - c = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = b\\a = c\\b = c\end{array} \right.$

⇔ a = b = c.

Vậy ∆ABC là tam giác đều.

Do đó ta chọn phương án B.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Xét ∆ABH vuông tại H có $\tan \widehat {ABH} = \frac{{AH}}{{HB}} = \frac{4}{{20}} = \frac{1}{5}$.

Suy ra $\widehat {ABH} \approx 11^\circ 19'$.

Ta có CB ⊥ BH (cái cây vuông góc với mặt đất)

Suy ra $\widehat {CBH} = 90^\circ$.

Do đó $\widehat {CBA} + \widehat {ABH} = 90^\circ$

Vì vậy $\widehat {CBA} = 90^\circ - \widehat {ABH} \approx 90^\circ - 11^\circ 19' = 78^\circ 41'$.

∆ABC có $\widehat {CAB} + \widehat {CBA} + \widehat {ACB} = 180^\circ$ (định lí tổng ba góc trong một tam giác)

Suy ra $\widehat {ACB} = 180^\circ - \left( {\widehat {CAB} + \widehat {CBA}} \right) \approx 180^\circ - \left( {45^\circ + 78^\circ 41'} \right) = 56^\circ 19'$.

∆ABH vuông tại H nên theo định lí Pythagore ta có:

AB$^{2}$ = AH$^{2}$ + BH$^{2}$

= 4$^{2}$ + 20$^{2}$ = 416

Suy ra AB = $4\sqrt {26}$ (m)

Áp dụng định lí sin cho ∆ABC, ta được $\frac{{BC}}{{\sin \widehat {BAC}}} = \frac{{AB}}{{\sin \widehat {ACB}}}$

Suy ra $\frac{{BC}}{{\sin 45^\circ }} = \frac{{4\sqrt {26} }}{{\sin 56^\circ 19'}}$

Do đó $BC = \frac{{4\sqrt {26} .\sin 45^\circ }}{{\sin 56^\circ 19'}} \approx 17{,}33$ (m).

Giá trị này gần với 17,5 (m)

Vậy ta chọn phương án A.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Ta có $\widehat {CAD} + \widehat {BAD} = 180^\circ$ (hai góc kề bù).

$\Rightarrow \widehat {BAD} = 180^\circ - \widehat {CAD} = 180^\circ - 63^\circ = 117^\circ$.

∆ABD có: $\widehat {BAD} + \widehat {ADB} + \widehat {ABD} = 180^\circ$ (định lí tổng ba góc trong một tam giác)

$\Rightarrow \widehat {ADB} = 180^\circ - \left( {\widehat {BAD} + \widehat {ABD}} \right) = 180^\circ - \left( {117^\circ + 48^\circ } \right) = 15^\circ$.

Áp dụng định lí sin cho ∆ABD, ta được $\frac{{BD}}{{\sin \widehat {BAD}}} = \frac{{AB}}{{\sin \widehat {ADB}}}$

Suy ra $\frac{{BD}}{{\sin 117^\circ }} = \frac{{24}}{{\sin 15^\circ }}$

Do đó $BD = \frac{{24.\sin 117^\circ }}{{\sin 15^\circ }} \approx 82{,}6$ (m)

∆BCD vuông tại C: $\sin \widehat {CBD} = \frac{{CD}}{{BD}}$.

Suy ra $h = CD = BD.\sin \widehat {CBD} \approx 82{,}6.\sin 48^\circ = 61{,}4$ (m)

Giá trị này gần với 60,5 m.

Vậy ta chọn phương án D.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta có $\widehat {BAC} + \widehat {CAD} = \widehat {BAD} = 50^\circ$

Do đó $\widehat {BAC} = 50^\circ - \widehat {CAD} = 50^\circ - 40^\circ = 10^\circ$.

∆ABD có: $\widehat {ABD} + \widehat {BAD} + \widehat {ADB} = 180^\circ$ (định lí tổng ba góc trong một tam giác)

$\Rightarrow \widehat {ABD} = 180^\circ - \left( {\widehat {BAD} + \widehat {ADB}} \right) = 180^\circ - \left( {50^\circ + 90^\circ } \right) = 40^\circ$.

Áp dụng định lí sin cho ∆ABC, ta được $\frac{{AC}}{{\sin \widehat {ABC}}} = \frac{{BC}}{{\sin \widehat {BAC}}}$

Suy ra $AC = \frac{{BC.\sin \widehat {ABC}}}{{\sin \widehat {BAC}}} = \frac{{5.\sin 40^\circ }}{{\sin 10^\circ }} \approx 18{,}5$ (m)

∆ACD vuông tại D: $\sin \widehat {CAD} = \frac{{CD}}{{AC}}$.

Suy ra $CD = AC.\sin \widehat {CAD} \approx 18{,}5.\sin 40^\circ \approx 11{,}9$ (m)

Chiều cao của tòa nhà là:

CH = CD + DH = 11,9 + 7 = 18,9 (m)

Giá trị này gần với 19 m nhất.

Vậy ta chọn phương án B.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có $\widehat {BAC} + \widehat {CAH} = \widehat {BAH} = 90^\circ$.

$\Rightarrow \widehat {BAC} = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$.

Ta có $\widehat {ABC} = \widehat {ABD} + \widehat {DBC} = 90^\circ + 15^\circ 30' = 105^\circ 30'$.

∆ABC có $\widehat {BAC} + \widehat {ABC} + \widehat {ACB} = 180^\circ$ (định lí tổng ba góc trong một tam giác)

Suy ra $\widehat {ACB} = 180^\circ - \left( {\widehat {BAC} + \widehat {ABC}} \right) = 180^\circ - \left( {60^\circ + 105^\circ 30'} \right) = 14^\circ 30'$.

Áp dụng định lí sin cho ∆ABC, ta được $\frac{{AC}}{{\sin \widehat {ABC}}} = \frac{{AB}}{{\sin \widehat {ACB}}}$

Suy ra $AC = \frac{{AB.\sin \widehat {ABC}}}{{\sin \widehat {ACB}}} = \frac{{70.\sin 105^\circ 30'}}{{\sin 14^\circ 30'}} \approx 269{,}4$ (m)

∆ACH vuông tại H: $\sin \widehat {CAH} = \frac{{CH}}{{AC}}$

Suy ra $CH = AC.\sin \widehat {CAH} \approx 269{,}4.\sin 30^\circ = 134{,}7$ (m)

Vậy ngọn núi cao khoảng 134,7 m.

Giá trị này gần với 135 m nhất.

Do đó ta chọn phương án A.