10 Bài tập Xét tính chia hết của một tổng các lũy thừa cùng cơ số (có lời giải)

Đáp án đúng là: B

A = 16$^{5}$ + 2$^{15}$

= (2$^{4}$)$^{5}$ + 2$^{15}$

= 2$^{20}$ + 2$^{15}$

= 2$^{15}$.2$^{5}$ + 2$^{15}$

= 2$^{15}$. (2$^{5}$ + 1)

= 2$^{15}$. (32 + 1)

= 2$^{15}$. 33

Vì 33$\vdots$33 nên (2$^{15}$. 33)$\vdots$33

Vậy A = 16$^{5}$ + 2$^{15}$ chia hết cho 33.

Đáp án đúng là: A

B = 3 + 3$^{2}$ + 3$^{3}$ + 3$^{4}$

= (3 + 3$^{2}$) + (3$^{3}$ + 3$^{4}$)

= 3. (1 + 3) + 3$^{3}$. (1 + 3)

= 3.4 + 3$^{3}$.4

= 4. (3 + 3$^{3}$)

Vì 4$\vdots$4 nên 4. (3 + 3$^{3}$)$\vdots$4

Vậy A = 3 + 3$^{2}$ + 3$^{3}$ + 3$^{4}$ chia hết cho 4.

Đáp án đúng là: C

M = 5 + 5$^{2}$ + 5$^{3}$ + 5$^{4}$ + 5$^{5}$ + 5$^{6}$

= (5 + 5$^{2}$ + 5$^{3}$) + (5$^{4}$ + 5$^{5}$ + 5$^{6}$)

= 5. (1 + 5 + 5$^{2}$) + 5$^{4}$. (1 + 5 + 5$^{2}$)

= 5.31 + 5$^{4}$.31

= 31. (5 + 5$^{4}$)

Vì 31$\vdots$31 nên 31. (5 + 5$^{4}$)$\vdots$31

Vậy M = 5 + 5$^{2}$ + 5$^{3}$ + 5$^{4}$ + 5$^{5}$ + 5$^{6}$chia hết cho 31.

Đáp án đúng là: A

C = 2 + 2$^{2}$ + 2$^{3}$ + … + 2$^{2010}$

= (2 + 2$^{2}$ + 2$^{3}$) + (2$^{4}$ + 2$^{5}$ + 2$^{6}$) + … + (2$^{2008}$ + 2$^{2009}$ + 2$^{2010}$)

= 2. (1 + 2 + 2$^{2}$) + 2$^{4}$. (1 + 2 + 2$^{2}$) + … + 2$^{2008}$. (1 + 2 + 2$^{2}$)

= 2.7 + 2$^{4}$.7 + … + 2$^{2008}$.7

= 7. (2 + 2$^{4}$ + … + 2$^{2008}$)

Do C tách được dưới dạng 7.k nên C chia hết cho 7.

Đáp án đúng là: D

D = 3 + 3$^{2}$ + 3$^{3}$ + … + 3$^{2012}$

= (3 + 3$^{2}$ + 3$^{3}$ + 3$^{4}$) + (3$^{5}$ + 3$^{6}$ + 3$^{7}$ + 3$^{8}$) + … + (3$^{2009}$ + 3$^{2010}$ + 3$^{2011}$ + 3$^{2012}$)

= 3. (1 + 3 + 3$^{2}$ + 3$^{3}$) + 3$^{5}$. (1 + 3 + 3$^{2}$ + 3$^{3}$) + … + 3$^{2009}$. (1 + 3 + 3$^{2}$ + 3$^{3}$)

= 3.40 + 3$^{5}$.40 + … + 3$^{2009}$.40

= 40. (3 + 3$^{5}$ + … + 3$^{2009}$)

Do D tách được dưới dạng 40.k nên D chia hết cho 40.