TopStudy

Đáp án và lời giải

10 Bài tập Xét tính chia hết của một tổng các lũy thừa cùng cơ số (có lời giải)

Về trang đề

Câu 1

Lời giải do TopStudy biên soạn

Đáp án: B

Đáp án đúng là: B

A = 165^{5} + 215^{15}

= (24^{4})5^{5} + 215^{15}

= 220^{20} + 215^{15}

= 215^{15}.25^{5} + 215^{15}

= 215^{15}. (25^{5} + 1)

= 215^{15}. (32 + 1)

= 215^{15}. 33

Vì 33⋮\vdots33 nên (215^{15}. 33)⋮\vdots33

Vậy A = 165^{5} + 215^{15} chia hết cho 33.

Câu 2

Lời giải do TopStudy biên soạn

Đáp án: A

Đáp án đúng là: A

B = 3 + 32^{2} + 33^{3} + 34^{4}

= (3 + 32^{2}) + (33^{3} + 34^{4})

= 3. (1 + 3) + 33^{3}. (1 + 3)

= 3.4 + 33^{3}.4

= 4. (3 + 33^{3})

Vì 4⋮\vdots4 nên 4. (3 + 33^{3})⋮\vdots4

Vậy A = 3 + 32^{2} + 33^{3} + 34^{4} chia hết cho 4.

Câu 3

Lời giải do TopStudy biên soạn

Đáp án: C

Đáp án đúng là: C

M = 5 + 52^{2} + 53^{3} + 54^{4} + 55^{5} + 56^{6}

= (5 + 52^{2} + 53^{3}) + (54^{4} + 55^{5} + 56^{6})

= 5. (1 + 5 + 52^{2}) + 54^{4}. (1 + 5 + 52^{2})

= 5.31 + 54^{4}.31

= 31. (5 + 54^{4})

Vì 31⋮\vdots31 nên 31. (5 + 54^{4})⋮\vdots31

Vậy M = 5 + 52^{2} + 53^{3} + 54^{4} + 55^{5} + 56^{6}chia hết cho 31.

Câu 4

Lời giải do TopStudy biên soạn

Đáp án: A

Đáp án đúng là: A

C = 2 + 22^{2} + 23^{3} + … + 22010^{2010}

= (2 + 22^{2} + 23^{3}) + (24^{4} + 25^{5} + 26^{6}) + … + (22008^{2008} + 22009^{2009} + 22010^{2010})

= 2. (1 + 2 + 22^{2}) + 24^{4}. (1 + 2 + 22^{2}) + … + 22008^{2008}. (1 + 2 + 22^{2})

= 2.7 + 24^{4}.7 + … + 22008^{2008}.7

= 7. (2 + 24^{4} + … + 22008^{2008})

Do C tách được dưới dạng 7.k nên C chia hết cho 7.

Câu 5

Lời giải do TopStudy biên soạn

Đáp án: D

Đáp án đúng là: D

D = 3 + 32^{2} + 33^{3} + … + 32012^{2012}

= (3 + 32^{2} + 33^{3} + 34^{4}) + (35^{5} + 36^{6} + 37^{7} + 38^{8}) + … + (32009^{2009} + 32010^{2010} + 32011^{2011} + 32012^{2012})

= 3. (1 + 3 + 32^{2} + 33^{3}) + 35^{5}. (1 + 3 + 32^{2} + 33^{3}) + … + 32009^{2009}. (1 + 3 + 32^{2} + 33^{3})

= 3.40 + 35^{5}.40 + … + 32009^{2009}.40

= 40. (3 + 35^{5} + … + 32009^{2009})

Do D tách được dưới dạng 40.k nên D chia hết cho 40.

Câu 6

Lời giải do TopStudy biên soạn

Đáp án: B

Đáp án đúng là: B

S = 30^{0} + 32^{2} + 34^{4} + 36^{6} + … + 32002^{2002}

= (30^{0} + 32^{2} + 34^{4}) + (36^{6} + 38^{8} + 310^{10}) + … + (31998^{1998} + 32000^{2000} + 32002^{2002})

= 30^{0}. (1 + 32^{2} + 34^{4}) + 36^{6}. (1 + 32^{2} + 34^{4}) + … + 31998^{1998}. (1 + 32^{2} + 34^{4})

= 91 + 36^{6}.91 + … + 31998^{1998}.91

= 91. (1 + 36^{6} + … + 31998^{1998})

Vì 91⋮\vdots7 nên 91. (1 + 36^{6} + … + 31998^{1998})⋮\vdots7

Do đó S = 30^{0} + 32^{2} + 34^{4} + 36^{6} + … + 32002^{2002} chia hết cho 7.

Câu 7

Lời giải do TopStudy biên soạn

Đáp án: C

Đáp án đúng là: C

S = 32^{2} + 33^{3} + 34^{4} + 35^{5} + … + 32021^{2021}

= 32^{2} + (33^{3} + 34^{4} + 35^{5}) + (36^{6} + 37^{7} + 38^{8}) + … + (32019^{2019} + 32020^{2020} + 32021^{2021})

= 9 + 33^{3}. (1 + 3 + 32^{2}) + 36^{6}. (1 + 3 + 32^{2}) + … + 32019^{2019}. (1 + 3 + 32^{2})

= 9 + 33^{3}.13 + 36^{6}.13 + … + 32019^{2019}.13

= 9 + 13. (33^{3} + 36^{6} + … + 32019^{2019})

Vì 13⋮\vdots13 nên 13. (33^{3} + 36^{6} + … + 32019^{2019})⋮\vdots13

Do đó S = 9 + 13. (33^{3} + 36^{6} + … + 32019^{2019}) chia 13 dư 9.

Câu 8

Lời giải do TopStudy biên soạn

Đáp án: A

Đáp án đúng là: A

A = 1 + 4 + 42^{2} + 43^{3} + 44^{4} + 45^{5} + … + 460^{60}

= 1 + (4 + 42^{2}+ 43^{3}) + (44^{4} + 45^{5} + 46^{6}) + … + (458^{58} + 459^{59} + 460^{60})

= 1 + 4. (1 + 4 + 42^{2}) + 44^{4}. (1 + 4 + 42^{2}) + … + 458^{58}. (1 + 4 + 42^{2})

= 1 + 4.21 + 44^{4}.21 + … + 458^{58}.21

= 1 + 21. (4 + 44^{4} + … + 458^{58})

Vì 21⋮\vdots21 nên 21. (4 + 44^{4} + … + 458^{58})⋮\vdots21

Do đó A = 1 + 4 + 42^{2} + 43^{3} + 44^{4} + 45^{5} + … + 460^{60}chia 21 dư 1.

Câu 9

Lời giải do TopStudy biên soạn

Đáp án: D

Đáp án đúng là: D

B = 2 + 22^{2} + 23^{3} + 24^{4} + … + 2100^{100}

= 2. (1 + 2 + 22^{2} + 23^{3} + … + 299^{99})

Vì 2. (1 + 2 + 22^{2} + 23^{3} + … + 299^{99}) chia hết cho 2 nên B chia hết cho 2

B = 2 + 22^{2} + 23^{3} + 24^{4} + … + 2100^{100}

= (2 + 22^{2} + 23^{3} + 24^{4}) + (25^{5} + 26^{6} + 27^{7} + 28^{8}) + … + (297^{97} + 298^{98} + 299^{99} + 2100^{100})

= 2. (1 + 2 + 22^{2} + 23^{3}) + 25^{5}. (1 + 2 + 22^{2} + 23^{3}) + … + 297^{97}. (1 + 2 + 22^{2} + 23^{3})

= 2.15 + 25^{5}.15 + … + 297^{97}.15

= 15. (2 + 25^{5} + … + 297^{97})

Vì 15⋮\vdots5 nên 15. (2 + 25^{5} + … + 297^{97})⋮\vdots5

Do đó B chia hết cho 5

B chia hết cho cả 2 và 5 nên B có chữ số tận cùng là 0.

Câu 10

Lời giải do TopStudy biên soạn

Đáp án: A

Đáp án đúng là: A

C = 1 + 2 + 22^{2} + 23^{3} + 24^{4} + … + 211^{11}

= (1 + 2 + 22^{2} + 23^{3} + 24^{4} + 25^{5}) + (26^{6} + 27^{7} + 28^{8} + 29^{9} + 210^{10} + 211^{11})

= (1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32) + 26^{6}. (1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32)

= 63 + 26^{6}.63

Vì 63⋮\vdots9 nên (63 + 26^{6}.63)⋮\vdots9

Do đó C chia hết cho 9 nên số dư bằng 0.