10 Bài tập Tính độ dài đoạn thẳng, độ dài vectơ (có lời giải)

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B.

$\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=2\Leftrightarrow |\overrightarrow{a}|.|\overrightarrow{b}|.cos(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})=2$

$\Leftrightarrow 2.|\overrightarrow{b}|.cos60^{\circ}=2\Leftrightarrow 2.|\overrightarrow{b}|.\frac{1}{2}=2\Leftrightarrow |\overrightarrow{b}|=2$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A.

$\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=\sqrt{3}\Leftrightarrow |\overrightarrow{a}|.|\overrightarrow{b}|.cos(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})=\sqrt{3}\Leftrightarrow |\overrightarrow{a}|.2.cos30^{\circ}=\sqrt{3}$

$\Leftrightarrow |\overrightarrow{a}|.2.\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}\Leftrightarrow |\overrightarrow{a}|=1$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D.

$\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=4\Leftrightarrow |\overrightarrow{a}|.|\overrightarrow{b}|.cos(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})=4\Leftrightarrow |\overrightarrow{a}|.|\overrightarrow{b}|.cos60^{\circ}=4$

$\Leftrightarrow |\overrightarrow{a}|.|\overrightarrow{b}|.\frac{1}{2}=4\Leftrightarrow |\overrightarrow{a}|.|\overrightarrow{b}|=8$.

Ta có: $\{\begin{matrix}|\overrightarrow{a}|.|\overrightarrow{b}|=8 \\ |\overrightarrow{a}|+|\overrightarrow{b}|=6\end{matrix}\Leftrightarrow \{\begin{matrix}|\overrightarrow{a}|.|\overrightarrow{b}|=8 \\ |\overrightarrow{b}|=6-|\overrightarrow{a}|\end{matrix}\Leftrightarrow \{\begin{matrix}|\overrightarrow{a}|.(6-|\overrightarrow{a}|)=8\ (1) \\ |\overrightarrow{b}|=6-|\overrightarrow{a}|\end{matrix}$

Xét (1) ta có : $6|\overrightarrow{a}|-{|\overrightarrow{a}|}^{2}=8\Leftrightarrow -{|\overrightarrow{a}|}^{2}+6|\overrightarrow{a}|-8=0\Leftrightarrow [\begin{matrix}|\overrightarrow{a}|=4 \\ |\overrightarrow{a}|=2\end{matrix}$

Vì $|\overrightarrow{a}|>3$ nên ta có: $|\overrightarrow{a}|=4$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A.

Ta có:

$B{C}^{2}={\overrightarrow{BC}}^{2}={(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB})}^{2}={\overrightarrow{AC}}^{2}-2\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AB}+{\overrightarrow{AB}}^{2}$

$=A{C}^{2}-2\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AB}+A{B}^{2}$.

Ta có:

$\cos (\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AB})=\cos \widehat{A}=cos30^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}$

$|\overrightarrow{AC}|=AC=a;\ |\overrightarrow{AB}|=AB=2a$

$\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AB}=|\overrightarrow{AC}|.|\overrightarrow{AB}|.cos(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})=a.2a.\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}{a}^{2}$

Do đó, ta có:

$B{C}^{2}=A{C}^{2}-2\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AB}+A{B}^{2}={a}^{2}-2.\sqrt{3}{a}^{2}+{(2a)}^{2}=(5-2\sqrt{3}){a}^{2}$

$\Rightarrow BC=a\sqrt{5-2\sqrt{3}}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B.

Ta có:

$B{C}^{2}={\overrightarrow{BC}}^{2}={(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB})}^{2}={\overrightarrow{AC}}^{2}-2\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AB}+{\overrightarrow{AB}}^{2}$

$=A{C}^{2}-2\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AB}+A{B}^{2}$.

Ta có:

$\cos (\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AB})=\cos \widehat{A}=cos45^{\circ}=\frac{\sqrt{2}}{2}$

$|\overrightarrow{AC}|=AC=3;\ |\overrightarrow{AB}|=AB=2$

$\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AB}=|\overrightarrow{AC}|.|\overrightarrow{AB}|.cos(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})=3.2.\frac{\sqrt{2}}{2}=3\sqrt{2}$

Do đó, ta có:

$B{C}^{2}=A{C}^{2}-2\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AB}+A{B}^{2}={3}^{2}-2.3\sqrt{2}+{2}^{2}=13-6\sqrt{2}$

$\Rightarrow BC=\sqrt{13-6\sqrt{2}}$.