TopStudy

Đáp án và lời giải

10 Bài tập Tính độ dài đoạn thẳng, độ dài vectơ (có lời giải)

Về trang đề

Câu 1

Lời giải do TopStudy biên soạn

Đáp án: B

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B.

a→.b→=2⇔∣a→∣.∣b→∣.cos(a→,b→)=2\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=2\Leftrightarrow |\overrightarrow{a}|.|\overrightarrow{b}|.cos(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})=2

⇔2.∣b→∣.cos60∘=2⇔2.∣b→∣.12=2⇔∣b→∣=2\Leftrightarrow 2.|\overrightarrow{b}|.cos60^{\circ}=2\Leftrightarrow 2.|\overrightarrow{b}|.\frac{1}{2}=2\Leftrightarrow |\overrightarrow{b}|=2.

Câu 2

Lời giải do TopStudy biên soạn

Đáp án: A

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A.

a→.b→=3⇔∣a→∣.∣b→∣.cos(a→,b→)=3⇔∣a→∣.2.cos30∘=3\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=\sqrt{3}\Leftrightarrow |\overrightarrow{a}|.|\overrightarrow{b}|.cos(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})=\sqrt{3}\Leftrightarrow |\overrightarrow{a}|.2.cos30^{\circ}=\sqrt{3}

⇔∣a→∣.2.32=3⇔∣a→∣=1\Leftrightarrow |\overrightarrow{a}|.2.\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}\Leftrightarrow |\overrightarrow{a}|=1.

Câu 3

Lời giải do TopStudy biên soạn

Đáp án: D

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D.

a→.b→=4⇔∣a→∣.∣b→∣.cos(a→,b→)=4⇔∣a→∣.∣b→∣.cos60∘=4\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=4\Leftrightarrow |\overrightarrow{a}|.|\overrightarrow{b}|.cos(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})=4\Leftrightarrow |\overrightarrow{a}|.|\overrightarrow{b}|.cos60^{\circ}=4

⇔∣a→∣.∣b→∣.12=4⇔∣a→∣.∣b→∣=8\Leftrightarrow |\overrightarrow{a}|.|\overrightarrow{b}|.\frac{1}{2}=4\Leftrightarrow |\overrightarrow{a}|.|\overrightarrow{b}|=8.

Ta có: {∣a→∣.∣b→∣=8∣a→∣+∣b→∣=6⇔{∣a→∣.∣b→∣=8∣b→∣=6−∣a→∣⇔{∣a→∣.(6−∣a→∣)=8 (1)∣b→∣=6−∣a→∣\{\begin{matrix}|\overrightarrow{a}|.|\overrightarrow{b}|=8 \\ |\overrightarrow{a}|+|\overrightarrow{b}|=6\end{matrix}\Leftrightarrow \{\begin{matrix}|\overrightarrow{a}|.|\overrightarrow{b}|=8 \\ |\overrightarrow{b}|=6-|\overrightarrow{a}|\end{matrix}\Leftrightarrow \{\begin{matrix}|\overrightarrow{a}|.(6-|\overrightarrow{a}|)=8\ (1) \\ |\overrightarrow{b}|=6-|\overrightarrow{a}|\end{matrix}

Xét (1) ta có : 6∣a→∣−∣a→∣2=8⇔−∣a→∣2+6∣a→∣−8=0⇔[∣a→∣=4∣a→∣=26|\overrightarrow{a}|-{|\overrightarrow{a}|}^{2}=8\Leftrightarrow -{|\overrightarrow{a}|}^{2}+6|\overrightarrow{a}|-8=0\Leftrightarrow [\begin{matrix}|\overrightarrow{a}|=4 \\ |\overrightarrow{a}|=2\end{matrix}

Vì ∣a→∣>3|\overrightarrow{a}|>3 nên ta có: ∣a→∣=4|\overrightarrow{a}|=4.

Câu 4

Lời giải do TopStudy biên soạn

Đáp án: A

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A.

Ta có:

BC2=BC→2=(AC→−AB→)2=AC→2−2AC→.AB→+AB→2B{C}^{2}={\overrightarrow{BC}}^{2}={(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB})}^{2}={\overrightarrow{AC}}^{2}-2\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AB}+{\overrightarrow{AB}}^{2}

=AC2−2AC→.AB→+AB2=A{C}^{2}-2\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AB}+A{B}^{2}.

Ta có:

cos⁡(AC→,AB→)=cos⁡A^=cos30∘=32\cos (\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AB})=\cos \widehat{A}=cos30^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}

∣AC→∣=AC=a; ∣AB→∣=AB=2a|\overrightarrow{AC}|=AC=a;\ |\overrightarrow{AB}|=AB=2a

AC→.AB→=∣AC→∣.∣AB→∣.cos(AB→,AC→)=a.2a.32=3a2\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AB}=|\overrightarrow{AC}|.|\overrightarrow{AB}|.cos(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})=a.2a.\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}{a}^{2}

Do đó, ta có:

BC2=AC2−2AC→.AB→+AB2=a2−2.3a2+(2a)2=(5−23)a2B{C}^{2}=A{C}^{2}-2\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AB}+A{B}^{2}={a}^{2}-2.\sqrt{3}{a}^{2}+{(2a)}^{2}=(5-2\sqrt{3}){a}^{2}

⇒BC=a5−23\Rightarrow BC=a\sqrt{5-2\sqrt{3}}.

Câu 5

Lời giải do TopStudy biên soạn

Đáp án: B

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B.

Ta có:

BC2=BC→2=(AC→−AB→)2=AC→2−2AC→.AB→+AB→2B{C}^{2}={\overrightarrow{BC}}^{2}={(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB})}^{2}={\overrightarrow{AC}}^{2}-2\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AB}+{\overrightarrow{AB}}^{2}

=AC2−2AC→.AB→+AB2=A{C}^{2}-2\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AB}+A{B}^{2}.

Ta có:

cos⁡(AC→,AB→)=cos⁡A^=cos45∘=22\cos (\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AB})=\cos \widehat{A}=cos45^{\circ}=\frac{\sqrt{2}}{2}

∣AC→∣=AC=3; ∣AB→∣=AB=2|\overrightarrow{AC}|=AC=3;\ |\overrightarrow{AB}|=AB=2

AC→.AB→=∣AC→∣.∣AB→∣.cos(AB→,AC→)=3.2.22=32\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AB}=|\overrightarrow{AC}|.|\overrightarrow{AB}|.cos(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})=3.2.\frac{\sqrt{2}}{2}=3\sqrt{2}

Do đó, ta có:

BC2=AC2−2AC→.AB→+AB2=32−2.32+22=13−62B{C}^{2}=A{C}^{2}-2\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AB}+A{B}^{2}={3}^{2}-2.3\sqrt{2}+{2}^{2}=13-6\sqrt{2}

⇒BC=13−62\Rightarrow BC=\sqrt{13-6\sqrt{2}}.

Câu 6

Lời giải do TopStudy biên soạn

Đáp án: D

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D.

Ta có:

CM2=CM→2=(BC→−BM→)2=BC→2−2BC→.BM→+BM→2C{M}^{2}={\overrightarrow{CM}}^{2}={(\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{BM})}^{2}={\overrightarrow{BC}}^{2}-2\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{BM}+{\overrightarrow{BM}}^{2}

=BC2−2BC→.BM→+BM2=B{C}^{2}-2\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{BM}+B{M}^{2}

Ta có:

cos(BC→,BM→)=cos⁡CBM^=cos60∘=12cos(\overrightarrow{BC},\overrightarrow{BM})=\cos \widehat{CBM}=cos60^{\circ}=\frac{1}{2}.

∣BC→∣=BC=2cm|\overrightarrow{BC}|=BC=2cm; ∣BM→∣=BM=1cm|\overrightarrow{BM}|=BM=1cm

Ta có: BC→.BM→=∣BC→∣.∣BM→∣.cos(BC→,BM→)=2.1.12=1\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{BM}=|\overrightarrow{BC}|.|\overrightarrow{BM}|.cos(\overrightarrow{BC},\overrightarrow{BM})=2.1.\frac{1}{2}=1

CM2=BC2−2BC→.BM→+BM2=22−2.1+12=3⇒CM=3C{M}^{2}=B{C}^{2}-2\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{BM}+B{M}^{2}={2}^{2}-2.1+{1}^{2}=3\Rightarrow CM=\sqrt{3} (cm)

Mà M là trung điểm của AC

⇒AC=2CM=23\Rightarrow AC=2CM=2\sqrt{3} cm.

Câu 7

Lời giải do TopStudy biên soạn

Đáp án: A

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A.

AM là trung tuyến nên M là trung điểm của BC.

Do đó, có: AB→+AC→=2AM→⇒4AM→2=(AB→+AC→)2\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AM}\Rightarrow 4{\overrightarrow{AM}}^{2}={(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})}^{2}

⇔4AM2=AB2+2AB→.AC→+AC2\Leftrightarrow 4A{M}^{2}=A{B}^{2}+2\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}+A{C}^{2}.

cos⁡(AB→,AC→)=cos⁡A^=cos⁡120∘=−12\cos (\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})=\cos \widehat{A}=\cos 120^{\circ}=-\frac{1}{2}

∣AB→∣=AB=4|\overrightarrow{AB}|=AB=4

∣AC→∣=AC=3|\overrightarrow{AC}|=AC=3

AB→.AC→=∣AB→∣.∣AC→∣.cos⁡(AB→,AC→)=4.3.(−12)=−6\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=|\overrightarrow{AB}|.|\overrightarrow{AC}|.\cos (\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})=4.3.(\frac{-1}{2})=-6

4AM2=AB2+2AB→.AC→+AC2=42+2.(−6)+32=134A{M}^{2}=A{B}^{2}+2\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}+A{C}^{2}={4}^{2}+2.(-6)+{3}^{2}=13

⇒AM2=134⇔AM=132\Rightarrow A{M}^{2}=\frac{13}{4}\Leftrightarrow AM=\frac{\sqrt{13}}{2}

Câu 8

Lời giải do TopStudy biên soạn

Đáp án: D

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D.

Theo quy tắc hình bình hành ta có:

AB→+AD→=AC→⇔AC→2=(AB→+AD→)2\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}\Leftrightarrow {\overrightarrow{AC}}^{2}={(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD})}^{2}

⇔AC2=AB2+2AB→.AD→+AD2\Leftrightarrow A{C}^{2}=A{B}^{2}+2\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD}+A{D}^{2}

Ta có:

cos(AB→,AD→)=cos⁡BAD^=cos60∘=12cos(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD})=\cos \widehat{BAD}=cos60^{\circ}=\frac{1}{2}

AB→.AD→=AB.AD.cos(AB→,AD→)=2a.a.12=a2\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD}=AB.AD.cos(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD})=2a.a.\frac{1}{2}={a}^{2}

AC2=AB2+2AB→.AD→+AD2=4a2+2.a2+a2=7a2A{C}^{2}=A{B}^{2}+2\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD}+A{D}^{2}=4{a}^{2}+2.{a}^{2}+{a}^{2}=7{a}^{2}

⇒AC=a7\Rightarrow AC=a\sqrt{7}.

Câu 9

Lời giải do TopStudy biên soạn

Đáp án: D

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D.

Theo quy tắc hình bình hành ta có:

BA→+BC→=BD→⇔BD→2=(BA→+BC→)2\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BD}\Leftrightarrow {\overrightarrow{BD}}^{2}={(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC})}^{2}

⇔BD2=BA2+2BA→.BC→+BC2\Leftrightarrow B{D}^{2}=B{A}^{2}+2\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}+B{C}^{2}.

Ta có:

cos(BA→,BC→)=cos⁡CBA^=cos120∘=−12cos(\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC})=\cos \widehat{CBA}=cos120^{\circ}=-\frac{1}{2}

BA→.BC→=BA.BC.cos(BA→,BC→)=3.2.(−12)=−3\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}=BA.BC.cos(\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC})=3.2.(-\frac{1}{2})=-3

BD2=BA2+2BA→.BC→+BC2=32+2.(−3)+22=7B{D}^{2}=B{A}^{2}+2\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}+B{C}^{2}={3}^{2}+2.(-3)+{2}^{2}=7

⇒BD=7\Rightarrow BD=\sqrt{7}

Câu 10

Lời giải do TopStudy biên soạn

Đáp án: A

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A.

Ta có: BI = 2CI ⇒BI→=23BC→=23(AC→−AB→)\Rightarrow \overrightarrow{BI}=\frac{2}{3}\overrightarrow{BC}=\frac{2}{3}(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB})

⇔BI→2=49(AC→−AB→)2=49(AC2−2AC→.AB→+AB2)\Leftrightarrow {\overrightarrow{BI}}^{2}=\frac{4}{9}{(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB})}^{2}=\frac{4}{9}(A{C}^{2}-2\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AB}+A{B}^{2}).

Ta có:

cos⁡(AC→,AB→)=cos⁡A^=cos60o=12\cos (\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AB})=\cos \widehat{A}=cos{60}^{o}=\frac{1}{2}

∣AC→∣=AC=5; ∣AB→∣=AB=4|\overrightarrow{AC}|=AC=5;\ |\overrightarrow{AB}|=AB=4

AC→.AB→=∣AC→∣.∣AB→∣.cos(AB→,AC→)=5.4.12=10\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AB}=|\overrightarrow{AC}|.|\overrightarrow{AB}|.cos(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})=5.4.\frac{1}{2}=10

BI2=49(AC2−2AC→.AB→+AB2)=49(52−2.10+42)=283B{I}^{2}=\frac{4}{9}(A{C}^{2}-2\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AB}+A{B}^{2})=\frac{4}{9}({5}^{2}-2.10+{4}^{2})=\frac{28}{3}

⇒BI=2213\Rightarrow BI=\frac{2\sqrt{21}}{3}.